北科高数上册第三章答案

习题3-1（A）1证明：显然f（x）在[2,3]上连续、可导，且f(2)=f(3),显然在[2,3]连续。则有介值定理可知，在[2,3]区间上必存在一点使得所以罗尔定理对f（x）在区间[2,3]上成立2证明：显然函数在[0,]上连续、可导，，又，而-1<<0所以由介值定理可知必存在一点，使得所以拉格朗日中值定理对f（x）在区间[0,]上成立3证明：令，显然其在[0,1]上连续、可导。由罗尔定理知，在[0,1]上必存在一点使得，即所以在[0,1]上柯西中值定理对f（x）和g（x）成立4证明：令则即f（x）恒等于一常数，又f（0）=0，所以5证明：令则即,又6解：因为，由罗尔定理可知，在[0,1],[1,2],[2,3],[3,4]区间分别存在四个点，使得7证明：（1）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则由拉格朗日中值定理可知：，即（2）设，显然函数在整个定义域内连续、可导，则由拉格朗日中值定理可知：在[a,b]区间上有，即（3）设，则在[b,a]上函数连续、可导，由拉格朗日中值定理可知：存在一点，使得又因为，所以，即8证明：设，二者在[0，]上均连续、可导，并且对任意都有，由柯西中值定理知，存在使，即9证明：设则由拉格朗日中值定理知，，使得10证明：设，函数在[a,b]上连续，在（a,b）内可导则由罗尔定理可知，在（a,b）内至少存在一点使得：，即11证明：设，其在[0,1]上连续，在（0,1）内可导又，由罗尔定理可得=012证明：设，利用反证法，设若方程有至少4个根，则，又f（x）在定义域内至少4阶连续、可导，则由罗尔定理可知，至少存在点，使得再次利用罗尔定理，则存在点，使得=0由罗尔定理可知，在（）内至少存在一点使得而，即不可能找到一点使得f（x）的三阶导数为零，所以假设不成立，即方程至多有3个根13证明：令，其在[0,]上连续，在（0,）内可导又,所以由罗尔定理可知至少存在一点，使得即14证明：令，此函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，又因为，由介值定理可知，在[1/2,1]之间存在c使得F（c）=0=F(0)，由罗尔定理可知，在[0,c]内至少存在一点使得15提示：令，对f（x）和g（x）用柯西中值定理即可得证16提示：令，f（x）、g（x）在[a,b]上用柯西中值定理可证习题3-1（B）17证明：因为f（x）在[0,3]上连续，所以f（x）在[0,2]上连续，且在[0,2]上必有最大值M和最小值m，于是故由介值定理知，至少存在一点，使因为f（c）=1=f（3），且f（x）在[c,3]上连续，在（c,3）内可导，所以由罗尔定理可知，必存在18证明：，因为f（x）在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0,则由罗尔定理知在（a，b）内必存在一点c使得，由于所以，即内单调减在（a，x）（x<c）上利用拉格朗日中值定理知，即在（c，b）上利用拉格朗日中值定理同理可得即在[a,b]上，19证明：因为y=f（x）在x=0的某邻域内具有n阶导数由柯西中值定理得：反复运用柯西中值定理，得：使得：即使得：20证明：设，由题知F（x）在[a,b]上连续，(a,b)内可导则，又即，即即21证明：令，对F（x）应用拉格朗日中值定理，则存在使得成立再对在[a,b]上利用拉格朗日中值定理，则存在，使成立由上两式有22证明：（1）令，则g（x）在[0,1]上连续，且所以存在，使得即f()=1-(2)根据拉格朗日中值定理，存在，使得，，从而习题3—2(A)1．用洛必达法则求下列极限.(1)（2）==(3)(4)(5)(6)(7)==(8)(9)(10)=(11)(12)(13)(14)由于所以(15)由于所以（16）（17）（18）由于所以2.验证下列极限存在，但不能由洛必达法则得出.(1)此极限不存在，洛必达法则不适用.原极限=（2）此极限不存在，洛必达法则不适用.原极限=3.设函数具有一阶连续导数，且，试求：.解：因具有一阶连续导数，从而连续，时，.则.4.设连续，试用洛必达法则证明证：当.且分子、分母（视为h的函数）都有导数，又注意到分母的导数，，故对（B）5.用洛必达法则求下列极限.(1)(2)(4)(6)(8),所以6．解：若使在连续，则满足，又故当时，在连续.7.解：由于所以，即函数在点处连续.习题3—3(A)解：解：令同理可得：，故.3.解：故.4.解：故.5.解：故.6.解：故并得到;故.7.解.，因为，，所以，所以.8．解：由已知，，所以.9.估计下列近似公式的绝对误差.解：（1），所以，故，，.(2)因为，.所以，10.解：，11.利用三阶泰勒公式求下列各数的近似值并估计误差.解：（1），.(2),,,其中（3），.12.利用泰勒公式求下列极限.(1)所以，.(2)因为.所以（3）所以[()]=(4).13.解：由题意可得：，即得证.14.有误，无法证明.15.证明：，即2，（），.(B)16.解：=.18.解：.20.解：，.21.证明：，.第四节函数的单调性与极值判定（1）A（2）D（3）B（4）A（5）A（6)B（7）B（1）解的定义域为，.令，得.当时，，故在上单调增加；当或时，，故在上单调减少.解的定义域为,.故在上单调增加，在上单调减少.解由于，易知在上单调增加，在上单调减少.解当时，，令得当时，，令得由极值的第一充分条件知：在内单调增加，在内单调减少.解故在上单调增加，在上单调减少.解故在上单调增加，在上单调减少.解故在上单调增加，在上单调减少.解利用对数求导法，得.故在上单调减少，在上单调增加.（1）解令=0，得.，，故该函数在处取得极大值5，在处该函数取得极小值4.解令得.处导数不存在.列表讨论易知：极大值为，，极小值为.解根据极值的第一充分条件知：处该函数取得极小值，处该函数取得极大值2.解=，令得。易知极小值为，极大值为.解，令得，易知极小值为.解，令得，极大值为(1)证令，在上连续，且.时，，显然.故在上单调减少，时，，即.证令，在上连续，且.时，，显然.时，连续.又由于时，，故在上单调增加，即.进而有在内单调增加，时，，即.证令，在上连续，且.时，，故在内单调增加，从而，即.证令，在连续，且.时，，，，故在内单调增加，且恒成立，进而表明在内单调增加，即当时，，于是得证.证令，在内连续，且。时，，即在内单调增加，，即.证令，在内连续，且.时，，即在内单调增加，，即.（1）解函数在上连续，必能取得最大值和最小值.，有一个驻点.因为，，比较后知在上的最大值为，最小值为.解由于令解得.又因为，所以是唯一的驻点.是极大值点即是最大值点.又因为对任意的有，故即为最小值点.（3）解当时，；当或时，；由得，，，比较知的最大值为，最小值为.解，令得.由，，知函数的最大值为，最小值为.解令，.由得，根据定理4.1，有在内单调减少，在内单调增加，，，，所以仅在内有一实根.解令，。由得，在上单调增加，在上单调减少，，的根的数目取决于的取值范围.当时，，此时有两个实根.当时，，此时有唯一实根.当时，，此时无实根.证，，令得.当时当时，，且，故而只有一个实根.解，，,故，即在内为增函数.，，所以方程有且仅有一个实根.解.令，当时，.又因为，.比较知的最大值为，最小值为.解，当为偶数时，恒成立，故此时无极值；当奇数时，令得，由极值的第一充分条件知：在内为增函数，在内为减函数，该函数在处取得极大值.解设内接矩形与椭圆在第一象限的交点为，内接矩形的面积记为，则显然当时，，即为椭圆的内接矩形中面积的最大值.解设切点坐标为，所求的三角形面积为，则切线的直线方程为切线与坐标轴的交点为，，于是该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为显然当，即切点坐标为时，解设圆锥形漏斗的高为，体积为，由题意知，，令得.由于，故当时，取得极大值同时也是最大值.解设漏斗的高为，体积为，由题意得，，令得，截取的扇形弧长为，此时留下的扇形的中心角为.解记物体受到桌面的支持力为，由力的正交分解原理有解得令，得，即力与水平线的夹角为时，力最小.解运用对数求导法得令得，时该函数不可导.该函数在上为单调递增函数，在上为单调减少函数.解显然在内为增函数；在内为减函数，故该函数取得极大值，，取得极小值.19.证，，在处连续.当时,故在上为增函数，从而，即可表明在上也为增函数，.所以当时，.20.证对任意的有，，.由极限的夹逼性知，从而在处连续.当时，可导，又因为显然为该函数的极值点，也为唯一的极值点.证令得.当时，，故在内为递减函数；当时，，故在上为递增函数.为该函数唯一的极值点同时也是最小值点.所以时有，即.证，.，，由函数表达式易知：当时，，即在上为减函数；由，当时，，即在内为增函数，，进而在内为增函数。综上，为该函数的极小值也为最小值，于是时，得证.证，.令得。是函数在上的唯一极大值点即是最大值点，此时。所以当时，证记,令，有.当时，，即在内单调增加，又因为，所以。进而，在区间内单调增加.第三章：第7节1：解：2：解：由于：则有：时，；时，3：解：对两边对求导，得：4：解：由得：两边对求导可得：5：解：由得：6：解：由可得：7：解：由两边对得8：证明：由得：得证.9：解：由得根据可得：渐屈线参数方程为：即：.10：解：由得：由得：渐屈线参数方程为：所以渐屈线方程为：即：.11：解：由得：根据公式得：根据的公式可得：则有所求曲率圆方程为：.12：解：由得：根据得：.13：解：由已知：可令则有：14：解：由得15：解：可另：，则有：由此可得：根据公式可得曲率中心为：所有所求的渐屈线参数方程为：.16：解：由得：则有：根据公式得曲率中心为：则有渐屈线的参数方程为：第三章总复习题4、设f（x）在[0.1]上连续，在(0.1)内可导，且f（0）=0，对任意的x∈（0.1）有f（x）≠0证明：存在∈（0.1）使。证明：设F（x）=f（x）f（1-x）因为f（x）在[0.1]上连续，在(0.1)内可导F（x）在[0.1]上连续，在(0.1)内可导根据罗尔定理得在[0.1]内必有使=0=0在[0.1]内f（x）≠0此式成立。5、设在上连续，在内可导，且，证明存在一点使得。证明：设，则，因为，F（0）=0，F（）=0且，sin（x）在连续在内可导在此区间上有同样的性质根据罗尔定理得在上必有一点使=0即整理后既得所证结果7设和都是可导函数，且证明：当x>a时证明：构造函数，因为所以又因为x>a得8、求极限1.===-2.利用罗比达法则，得罗比达法则得3.罗比达法则：罗比达法则=04.利用等价无穷小==5.===应用罗比达法则得===6=======7，=应用罗比达法则得=====18.=应用罗比达法则=应用罗比达法则，==应用一次罗比达法则=再使用一次罗比达=1