2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试39复数含解析苏教版

PAGE9-考点测试39复数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，低难度考纲研读1.理解复数的基本概念2．理解复数相等的充要条件3．了解复数的代数表示法及其几何意义4．会进行复数代数形式的四则运算5．了解复数代数形式的加、减运算的几何意义一、基础小题1．(－1＋i)(2i＋1)＝()A．1－i B．1＋iC．－3－i D．－3＋i答案C解析由题意，得(－1＋i)(2i＋1)＝－2i－1－2＋i＝－3－i，故选C.2．已知m为实数，i为虚数单位，若m＋(m2－4)i>0，则eq\f(m＋2i,2－2i)＝()A．i B．1C．－i D．－1答案A解析因为m＋(m2－4)i>0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>0，,m2－4＝0，))可得m＝2，故eq\f(m＋2i,2－2i)＝eq\f(21＋i,21－i)＝i.故选A.3．已知复数z＝eq\f(1－i,3＋4i)(其中i为虚数单位)，则|z|的值为()A.eq\f(2,25) B．eq\f(\r(2),25)C．eq\f(2,5) D．eq\f(\r(2),5)答案D解析解法一：因为z＝eq\f(1－i,3＋4i)＝eq\f(1－i3－4i,3＋4i3－4i)＝eq\f(－1－7i,25)，所以|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,25)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,25)))2)＝eq\f(\r(2),5).故选D.解法二：因为z＝eq\f(1－i,3＋4i)，所以|z|＝|eq\f(1－i,3＋4i)|＝eq\f(|1－i|,|3＋4i|)＝eq\f(\r(2),5).故选D.4．已知复数z＝(1＋ai)(1－2i)(a∈R)为纯虚数，则实数a＝()A．2 B．－2C．eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案D解析z＝(1＋2a)＋(a－2)i，由已知得1＋2a＝0且a－2≠0，解得a＝－eq\f(1,2)，故选D.5．下列各式的运算结果为实数的是()A．－i(1＋i) B．i(1－i)C．(1＋i)－(1－i) D．(1＋i)(1－i)答案D解析对于A，－i(1＋i)＝1－i；对于B，i(1－i)＝1＋i；对于C，(1＋i)－(1－i)＝2i；对于D，(1＋i)(1－i)＝2.故选D.6．已知复数z＝eq\f(3,1－2i)(i是虚数单位)，则z的实部为()A．－eq\f(3,5) B．eq\f(3,5)C．－eq\f(1,5) D．eq\f(1,5)答案B解析∵z＝eq\f(3,1－2i)＝eq\f(31＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(3,5)＋eq\f(6,5)i，∴z的实部为eq\f(3,5).故选B.7．若复数z＝eq\f(i,1＋i)(i为虚数单位)，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A.eq\f(1,2)i B．－eq\f(1,4)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)答案D解析解法一：∵z＝eq\f(i,1＋i)＝eq\f(i1－i,2)＝eq\f(1＋i,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴z·eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))＝eq\f(1,2)，故选D.解法二：∵z＝eq\f(i,1＋i)，∴|z|＝eq\f(1,|1＋i|)＝eq\f(\r(2),2)，∴z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝eq\f(1,2)，故选D.8．复数z＝eq\f(2,1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点的坐标为()A．(1,1) B．(1，－1)C．(－1,1) D．(－1，－1)答案B解析z＝eq\f(2,1＋i)＝eq\f(21－i,1＋i1－i)＝1－i，故复数z＝eq\f(2,1＋i)在复平面内对应的点的坐标是(1，－1)，故选B.9．已知复数z＝i＋i2020，则在复平面内z对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案A解析∵i＋i2020＝1＋i，∴i＋i2020在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，所以该点在第一象限．故选A.10．设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝3＋i，则z1z2＝()A．10 B．－10C．－9＋i D．－9－i答案B解析因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，z1＝3＋i，所以z2＝－3＋i，所以z1z2＝(3＋i)·(－3＋i)＝－9－1＝－10，故选B.11．在复平面内表示复数eq\f(i,m－i)(m∈R，i为虚数单位)的点位于第二象限，则实数m的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－∞，0)C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)答案C解析由题意，得eq\f(i,m－i)＝eq\f(im＋i,m2＋1)＝－eq\f(1,m2＋1)＋eq\f(m,m2＋1)i，因为在复平面内该复数对应的点位于第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m2＋1)<0，,\f(m,m2＋1)>0，))解得m>0，即m∈(0，＋∞)，故选C.12．下面四个命题中，正确的是()A．若复数z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，则z1·z2∈RB．若复数z1，z2满足z1－z2∈R，则z1∈R，z2∈RC．若复数z1，z2满足|z1|＝|z2|，则z1＝z2或z1＝－z2D．若复数z1，z2满足z1＋z2∈R，则z1∈R，z2∈R答案A解析若复数z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，则z1·z2＝eq\o(z,\s\up6(－))2·z2＝|z2|2∈R，故A中命题正确；取z1＝1＋i，z2＝2＋i，则z1－z2＝－1∈R，而z1∉R，z2∉R，故B中命题错误；取z1＝1＋i，z2＝1－i，满足|z1|＝|z2|，不满足z1＝z2或z1＝－z2，故C中命题错误；取复数z1＝1＋i，z2＝1－i，满足z1＋z2∈R，不满足z1∈R，z2∈R，故D中命题错误．故选A.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z满足|z－i|＝1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则()A．(x＋1)2＋y2＝1 B．(x－1)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1 D．x2＋(y＋1)2＝1答案C解析由已知条件，可得z＝x＋yi.∵|z－i|＝1，∴|x＋yi－i|＝1，∴x2＋(y－1)2＝1.故选C.14．(2019·全国卷Ⅱ)设z＝－3＋2i，则在复平面内eq\o(z,\s\up6(－))对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案C解析eq\o(z,\s\up6(－))＝－3－2i，故eq\o(z,\s\up6(－))对应的点(－3，－2)位于第三象限．故选C.15．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝()A．－1－i B．－1＋iC．1－i D．1＋i答案D解析由z(1＋i)＝2i，得z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(2i1－i,2)＝i(1－i)＝1＋i.故选D.16．(2019·北京高考)已知复数z＝2＋i，则z·eq\o(z,\s\up6(－))＝()A.eq\r(3) B．eq\r(5)C．3 D．5答案D解析∵z＝2＋i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝2－i.∴z·eq\o(z,\s\up6(－))＝(2＋i)(2－i)＝5.故选D.17．(2018·全国卷Ⅰ)设z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i，则|z|＝()A．0 B．eq\f(1,2)C．1 D．eq\r(2)答案C解析因为z＝eq\f(1－i,1＋i)＋2i＝eq\f(1－i2,1＋i1－i)＋2i＝eq\f(－2i,2)＋2i＝i，所以|z|＝eq\r(0＋12)＝1，故选C.18．(2018·全国卷Ⅱ)eq\f(1＋2i,1－2i)＝()A．－eq\f(4,5)－eq\f(3,5)i B．－eq\f(4,5)＋eq\f(3,5)iC．－eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i D．－eq\f(3,5)＋eq\f(4,5)i答案D解析∵eq\f(1＋2i,1－2i)＝eq\f(1＋2i2,5)＝eq\f(－3＋4i,5)，∴选D.19．(2018·全国卷Ⅲ)(1＋i)(2－i)＝()A．－3－i B．－3＋iC．3－i D．3＋i答案D解析(1＋i)(2－i)＝2－i＋2i－i2＝3＋i，故选D.20．(2018·浙江高考)复数eq\f(2,1－i)(i为虚数单位)的共轭复数是()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－i答案B解析∵eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝1＋i，∴eq\f(2,1－i)的共轭复数为1－i.21．(2018·北京高考)在复平面内，复数eq\f(1,1－i)的共轭复数对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析∵eq\f(1,1－i)＝eq\f(1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴其共轭复数为eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，又eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i在复平面内对应的点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))在第四象限，故选D.22．(2017·北京高考)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案B解析∵复数(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i在复平面内对应的点在第二象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))∴a＜－1.故选B.23．(2017·山东高考)已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋eq\r(3)i，z·eq\o(z,\s\up6(－))＝4，则a＝()A．1或－1 B．eq\r(7)或－eq\r(7)C．－eq\r(3) D．eq\r(3)答案A解析∵z＝a＋eq\r(3)i，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝a－eq\r(3)i.又∵z·eq\o(z,\s\up6(－))＝4，∴(a＋eq\r(3)i)(a－eq\r(3)i)＝4，∴a2＋3＝4，∴a2＝1，∴a＝±1.故选A.24．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数z满足eq\f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2；p4：若复数z∈R，则eq\o(z,\s\up6(－))∈R.其中的真命题为()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4答案B解析对于命题p1，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，得b＝0，则z∈R成立，故正确；对于命题p2，设z＝a＋bi(a，b∈R)，由z2＝(a2－b2)＋2abi∈R，得a·b＝0，则a＝0或b＝0，复数z为实数或纯虚数，故错误；对于命题p3，设z1＝a＋bi(a，b∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，由z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i∈R，得ad＋bc＝0，不一定有z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2，故错误；对于命题p4，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则由z∈R，得b＝0，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝a∈R成立，故正确．故选B.25．(2019·天津高考)i是虚数单位，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5－i,1＋i)))的值为________．答案eq\r(13)解析∵eq\f(5－i,1＋i)＝eq\f(5－i1－i,1＋i1－i)＝2－3i，∴eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5－i,1＋i)))＝|2－3i|＝eq\r(13).26．(2019·浙江高考)复数z＝eq\f(1,1＋i)(i为虚数单位)，则|z|＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析z＝eq\f(1,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i1－i)＝eq\f(1－i,1－i2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，易得|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).27．(2019·江苏高考)已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________．答案2解析(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i，因为其实部为0，故a＝2.28．(2018·天津高考)i是虚数单位，复数eq\f(6＋7i,1＋2i)＝________.答案4－i解析eq\f(6＋7i,1＋2i)＝eq\f(6＋7i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(20－5i,5)＝4－i.29．(2017·浙江高考)已知a，b∈R，(a＋bi)2＝3＋4i(i是虚数单位)，则a2＋b2＝________，ab＝________.答案52解析解法一：∵(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，a，b∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＝3，,2ab＝4))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－\f(4,a2)＝3，,ab＝2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,ab＝2.))∴a2＋b2＝2a2－3＝5，ab解法二：由解法一知ab＝2，又|(a＋bi)2|＝|3＋4i|＝5，∴a2＋b2＝5.30．(2016·天津高考)已知a，b∈R，i是虚数单位．若(1＋i)(1－bi)＝a，则eq\f(a,b)的值为________．答案2解析由(1＋i)(1－bi)＝a，得1＋b＋(1－b)i＝a，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋b＝a，,1－b＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以eq\f(a,b)＝2.三、模拟小题31．(2019·新乡一模)若复数z满足z(2－i)＝18＋11i，则z的实部为()A．－5 B．5C．－8 D．8答案B解析因为z＝eq\f(18＋11i,2－i)＝5＋8i，所以z的实部为5.32．(2019·湖南湘潭一模)若复数z满足(1＋i)z＝2i，则复数eq\o(z,\s\up6(－))的虚部为()A．－i B．1C．－1 D．i答案C解析由题意可知，z＝eq\f(2i,1＋i)＝1＋i，故eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，所以其虚部为－1.33．(2019·山西吕梁一模)已知复数z＝eq\f(3＋4i,1＋2i)，则|eq\o(z,\s\up6(－))|＝()A.eq\r(5) B．eq\r(10)C．2eq\r(5) D．5答案A解析解法一：因为z＝eq\f(3＋4i,1＋2i)＝eq\f(3＋4i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(11－2i,5)，所以eq\o(z,\s\up6(－))＝eq\f(11＋2i,5)，|eq\o(z,\s\up6(－))|＝|eq\f(11＋2i,5)|＝eq\f(1,5)eq\r(112＋22)＝eq\r(5).解法二：|eq\o(z,\s\up6(－))|＝|z|＝eq\f(|3＋4i|,|1＋2i|)＝eq\f(5,\r(5))＝eq\r(5).故选A.34．(2019·开封一模)已知复数z满足(1＋eq\r(3)i)z＝