浙江省玉环县泸浦镇初级中学人教版七年级数学上册正数和负数同步辅导

正数和负数1．正数和负数(1)正数的概念小学学过的数除零以外，都是大于0的数，这样的数叫做正数．如：3,，＋eq\f(3,4)，….正数前面加“＋”(正)号，有时根据需要“＋”可以省略不写．(2)负数的概念在正数的前面加上符号“－”(负)的数叫做负数．如：－5，－，－2eq\f(3,7)，….注意：负数前面的“－”(负)号不能省略．(3)一个数前面的“＋”“－”号叫做它的符号．破疑点对正数和负数的理解要特别注意：“大于0”是正数的本质，当用字母表示数时，不能只看带不带“＋”号，不要误认为“a”前面是正号就是正数，也不要以为“－a”前面带有“－”号就是负数，关键是看这个数是不是大于0.【例1】下面哪些是正数，哪些是负数？－11,，＋73，－，eq\f(1,6)，－eq\f(3,4)，－,100.分析：像，＋73，eq\f(1,6)，100等比0大的数是正数．像－11，－，－eq\f(3,4)，－等在正数前面带有负号的数是负数．解：正数是：，＋73，eq\f(1,6)，100；负数是：－11，－，－eq\f(3,4)，－.2．零的性质(1)零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数，零是正、负数的分界．(2)零是自然数，是整数，是偶数．(3)0的意义在计数时表示“没有”．(4)零是表示具有相反意义量的基准数．(此时它不能表示没有．)例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高，收支平衡可记作0元．【例2】判断下列说法是否正确．(1)零是正数；()(2)零是整数；()(3)零是非负数；()(4)零是偶数．()解析：(1)零既不是正数，也不是负数，故不正确；(2)零是自然数，也是整数，故正确；(3)正数和零称为非负数，故正确；(4)4,2,0，－2，－4，……都是偶数，故正确．答案：(1)×(2)√(3)√(4)√3．相反意义的量(1)含义：生产和生活中某件事情常常存在与其相反或相对的另一面，如：“向左”与“向右”、“增加”与“减少”等，当它们与数字、单位结合在一起时就构成相反意义的量．(2)应用方法：相反意义的量可用正数和负数表示．至于哪一种量为正，可以自由确定，当已知一个量用正数表示时，与其相反意义的量就用负数表示，反之亦然．习惯上把“前进、上升、零上温度、增加”等规定为正，而把“后退、下降、零下温度、减少”等规定为负．【例3－1】(1)如果零上3℃记为＋3℃，那么－(2)如果下降3米记为－3米，那么上升5米应记为__________；(3)如果前进5千米，记为＋5千米，那么后退6千米应记为__________；(4)支出10元人民币记账为－10元，那么＋20元表示的意义是__________；(5)某仓库运出货物20千克记为－20千克，那么运进35千克货物应记为__________．解析：(1)零上3℃规定为＋3℃，即“＋”号表示“零上”，那么与它相反意义的量“零下”就规定为“(2)本小题的“－”号表示“下降”，因此，“上升”应记为“＋”，也就是说，具有相反意义的两个量，把其中的一个规定为正时，那么另一个即为负．(3)～(5)小题类似．答案：(1)零下7℃；(2)＋5米；(3)－6千米；(4)收入20元人民币；(5)＋35千克析规律相反意义的量的规定习惯题中的“零上、上升、前进、收入、运进、增产”表示的量均为正数，与它们意义相反的量则都用负数表示．【例3－2】用正负数表示下列相反意义的量．(1)存入银行100元，从银行取出200元；(2)高出海平面500米，低于海平面200米；(3)超出正常体重5kg，不足正常体重3kg；(4)汽车向左行驶20千米，向右行驶300千米．分析：可人为规定相反意义量的一方为正，则另一方为负．如可规定“存入、高出海平面、超出正常体重、汽车向左行驶”为正，则“取出、低于海平面、不足正常体重、向右行驶”即为负．解：(1)存入银行100元记为＋100元，则从银行取出200元记为－200元；(2)高出海平面500米，记为＋500米，则低于海平面200米可记为－200米；(3)超出正常体重5kg，记为＋5kg，则不足正常体重3kg可记为－3kg；(4)汽车向左行驶20千米，记为＋20千米，则向右行驶300千米记为－300千米．4．运用正负数表示相反意义的量在实际生活中，常常把零上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正的，而把与它们相反意义的量规定为负，用负数表示．引入负数后，“0”不再仅仅表示没有，而是正数和负数的分界线，具有初始位置的意义．(1)相反意义的量基准明确就是说变化过程方向明确，数量明确，不受其他数的影响，也不用关心起始点，此类问题只要规定好一个方面为正，则另一个方面为负就可以．警误区相反意义的量的理解相反意义的量并不唯一，如：增加5千克与减少10千克和减少3千克都是相反意义的量．(2)相反意义的量基准不明确有些数据型的量，起点不是以0开始，需要把某一个数值视为基准点0，如平均数等．,【例4－1】小王骑车向东走了10千米，又向西走了5千米．怎样用正负数表示？分析：有两种表示方法，分向东或向西为正两种情况．解：若规定向东为正，则小王骑车向东走了10千米，表示为＋10千米，向西走了5千米，可表示为－5千米．若规定向西为正，则小王骑车向东走了10千米，表示为－10千米，向西走了5千米，可表示为＋5千米．【例4－2】如图，小王骑车从0点向东走了10千米到A点，接着又向西走了5千米到B点，规定向东为正，用正负数表示A，B两点．分析：从0开始，小王向东走了10千米，规定向东为正，则A点表示为＋10；小王又向西走了5千米后，与0点的距离为5千米，且在0点东侧，于是B点表示＋5.解：A点表示＋10，B点表示＋5.【例4－3】某项科学研究，以45分钟为一个时间单位，规定9：15记为－1,10：45记为1，则上午7：45应该怎样记？分析：关键是找到10时为基准点0.因为7：45到10时共有3个45分钟，故7：45记为－3.解：7：45应记为－3.5.正、负数的判断在正数的前面加上“＋”号，以强调它是正数，如正数3写作＋3，通常“＋”号省略不写；负数前面的“－”号不能省略，如负数5写作－5.正数和负数是相对而言的，取决于作为基准的量，但一般情况下，人们习惯上这样来规定正数和负数：收入为正，支出为负；零上为正，零下为负；高出海平面为正，低于海平面为负．判断一个数是否是负数，关键是看是否正数前面带有“－”号，而不是看它是否有“－”号．例如：－(－3)就不是负数．警误区正负数的有关名称顾名思义，非负数表示不是负数的数，就是0或正数，同样非正数表示不是正数的数，虽然0既不是正数，也不是负数，但属于非负数或非正数．【例5－1】指出下列各数中，哪些是正数，哪些是负数．－2，＋2eq\f(1,3)，0,3eq\f(1,5)，204，－，＋，－5eq\f(1,7).分析：根据正数和负数的意义来判断．还要特别注意0既不是正数也不是负数．解：＋2eq\f(1,3)，3eq\f(1,5)，204，＋是正数；－2，－，－5eq\f(1,7)是负数．解技巧负数的判定认为凡是不带“－”号的数都是正数是错误的，“一个数不是正数就是负数”这是初学正负数概念时容易出现错误的地方．只有在正数的前面添上“－”号才是负数．【例5－2】判断下列说法是否正确．(1)任意一个正数，前面加上“－”号，就是一个负数．(2)大于零的数都是正数．(3)字母a既是正数，又是负数．分析：(1)负数就是正数前面加上负号的数，故正确；(2)正数都是大于0的数，故正确；(3)字母既可以表示正数也可以表示负数，它是个未知数，故错误．解：(1)对；(2)对；(3)错．6．正负数计算时差的应用在地理学中，经常用正数和负数来计算比较一个城市时间的早和晚．通常是把某一城市定为标准时间0，比它早的为正，比它晚的为负．解技巧时间转换时间转换时要注意每昼夜是24小时．【例6】下面是几个城市与北京的时差，纽约：－13，巴黎：－7，东京：＋1.如果北京现在是早上7：00，那么纽约、巴黎、东京分别是几时？分析：关键：负数表示比北京晚的时间数．解：纽约：－13表示比北京晚13小时，当北京是早上7：00时，纽约是前一天的18：00；巴黎比北京晚7小时，现在正好是前一天的24：00.东京比北京早1小时，现在是早上8：00.7.正负数在股票交易中的应用日常生活中水位的变化，股市行情变化，温度升降等都可以用正数和负数表示，不仅能表示出变化的方向，而且还能表示出变化幅度的大小．例如：在股市上，上涨记为“＋”，下跌记为“－”，不涨不跌记为“0”．【例7】王先生上周五买进某种股票3000股，每股16元，下表为本周五个交易日的涨跌情况(单位：元)：星期一二三四五每股涨跌－－相对于前一个交易日，哪天股票是上涨的，哪天是下跌的？分析：根据股票交易表示法，正数表示上涨，负数表示下跌．解：周一、周二、周五这三天是上涨的，周三、周四是下跌的．8.正负数在产品检测中的应用某一产品质量是否合格，都有一定的指标数值，而实际生产的产品，可能在这一标准上下波动，波动值在规定的范围内称为合格，超出了规定值，则不合格．一般把产品的标准值记为0，在标准值以上的记为正，以下的记为负．解技巧正负数的应用技巧抓住标准数，标准以上记为“＋”，标准以下记为“－”，即比标准数量多多少记为“＋”的多少，少多少记为“－”的多少．【例8】某品牌奶粉标准质量454克．超出2克的记为＋2克，若低于标准质量3克以上，则视为不合格．现抽取10袋进行检测，结果如下：袋号12345678910记作－203－4－3－5＋4＋4－5－3(1)这10袋中，有几袋不合格？(2)质量最大的是哪袋？实际质量是多少？(3)质量最小的是哪袋，实际质量是多少？分析：是在基准数基础上的波动，所以在基准数基础上加减．解：(1)有3袋不合格，分别是第4袋、第6袋、第9袋．(2)质量最大的是第7,8袋，实际质量均是454＋4＝458(克)；(3)质量最小的是第6,9袋，实际质量均为454－5＝449(克)．9.用正负数表示误差范围生产中，虽然对产品的尺寸、质量等都设计了标准规格，但是，一般在实际加工中，每个产品不可能都做得与标准规格完全一样，通常在某个范围内，只要不影响使用，产品比标准规格稍大一点，或稍小一点，都属于合格品，而超出这个范围的产品就是不合格的了．在生产和检验产品时，通常在生产图纸上，对每个产品的合格范围有明确的规定．例如，图纸上注明一个零件的直径是(30±mm，这样标注表示零件直径的标准尺寸是30mm，实际产品的直径最大可以是(30＋mm，最小可以是(30－mm，在这个范围内的产品都是合格的，这里给出了允许误差的大小．允许误差一般用正负数的形式写出．【例9－1】某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为(25±kg、(25±kg、(25±kg的字样，从中任意取出两袋，它们的质量最多相差()．A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg解析：从条件中可以看出，在三袋面粉中，最多可以超出标准质量0.3kg，最低可以低于标准质量0.3kg，所以从中任意取出两袋，它们的质量最多相差0.6kg.要正确地解答本题，不仅要知道面粉袋上标有质量为(25±m)kg的意义，还要考虑到两袋面粉如何搭配才能使差值最大，显然考虑到最大的可能与最小的可能的差值．答案：B【例9－2】工厂要加工一种轴，直径在299.5mm到300.2mm之间的产品都是合格的，生产图纸通常用Φ300＋－表示直径的长度，＋表示最大可比300mm多0.2mm，－表示最小可比300mm少0.5mm，加工一根轴，图上标明的加工要求是Φ450＋－，则下列零件合格的是()．A．448mm B．449mmC．450.01mm D．451.0mm答案：C10.用正负数探索数列研究数字的排列规律，要从两方面入手，一是要观察符号的排列规律；二是数字本身与序号及其他数字之间的顺序关系．析规律正负数的表示规律解决这类题目要充分考查所给数据，关键在于抓住序号与对应数字之间的规律，找出能准确反映变化规律的关系，由特殊到一般，并注意验证．【例10】观察下列按次序排成的一列数，你能发现它的排列有什么规律？它后面的三个数是什么数？试把它写出来．(1)2，－4,6