江苏省徐州市新沂第四中学2023年高三数学理期末试卷含解析

江苏省徐州市新沂第四中学2023年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设双曲线的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A、B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为A. B. C. D. 参考答案：C2.设f：x→x2是集合A到B的映射，如果B＝{1,2}，则A∩B只可能是

A．?或{1}

B．{1}

C．?或{2}

D．?或{1}或{2}参考答案：A略3.设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式的解集为(

)A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣1，0）∪（0，1）参考答案：D【考点】奇函数．【专题】压轴题．【分析】首先利用奇函数定义与得出x与f（x）异号，然后由奇函数定义求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后结合f（x）的单调性解出答案．【解答】解：由奇函数f（x）可知，即x与f（x）异号，而f（1）=0，则f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上为增函数，则奇函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，当0＜x＜1时，f（x）＜f（1）=0，得＜0，满足；当x＞1时，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不满足，舍去；当﹣1＜x＜0时，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，满足；当x＜﹣1时，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不满足，舍去；所以x的取值范围是﹣1＜x＜0或0＜x＜1．故选D．【点评】本题综合考查奇函数定义与它的单调性．4.由，及轴围成的图形的面积为：A、28

B、26

C、30

D、参考答案：A5.已知α为第二象限角，，则sin2α=(

)A． B． C． D．参考答案：A【考点】二倍角的正弦；同角三角函数间的基本关系．【专题】计算题．【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：因为α为第二象限角，，所以cosα=﹣=﹣．所以sin2α=2sinαcosα==．故选A．【点评】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．6.已知集合M={x|x2=x}，N={﹣1，0，1}，则M∩N=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{1} D．{0}参考答案：B【考点】交集及其运算．【分析】求出M中方程的解确定出M，找出M与N的交集即可．【解答】解：由M中方程变形得：x（x﹣1）=0，解得：x=0或x=1，即M={0，1}，∵N={﹣1，0，1}，∴M∩N={0，1}．故选：B．7.函数在区间上的值域为，则的最小值为（

）A．2

B．1

C．

D．参考答案：B8.设，，若，则实数的取值范围是（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A集合，而，因为，所以，选A.9.若集合，，则等于

（

）A．{1,2,3}

B．{4,5,6}

C．{5,6,7}

D．{3,4,5,6}参考答案：B10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且时，.给出下列命题:①当时；②函数f(x)有三个零点；③的解集为；④都有.其中正确的命题有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个参考答案：D【分析】先求出时，，从而可判断①正确；再根据可求及的解，从而可判断②③正确，最后依据导数求出函数的值域后可判断④正确.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且时，.所以当时，，故，故①正确.所以，当时，即函数有三个零点，故②正确.不等式等价于或，解不等式组可以得或，所以解集为，故③正确.当时，，，当时，，所以在上为增函数；当时，，所以在上为减函数；所以当时的取值范围为，因为为上的奇函数，故的值域为，故都有，故④正确.综上，选D.【点睛】（1）对于奇函数或偶函数，如果知道其一侧的函数解析式，那么我们可以利用或来求其另一侧的函数的解析式，注意设所求的那一侧的函数的自变量为.（2）对于偶函数，其单调性在两侧是相反的，并且，对于奇函数，其单调性在两侧是相同的．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若复数z满足，其中i为虚数单位，则z=（

）A. B. C. D.参考答案：B【分析】根据复数的除法，求出复数z即可.【详解】复数z满足，

，故本题选B.【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.12.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形。∠ACB=900，AC=6，BC=CC1=，P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值为___________参考答案：13.点O是锐角的外心，，若，则

参考答案：【知识点】平面向量的基本定理及其意义．F2【答案解析】解析：如图，点在上的射影是点，它们分别为的中点，由数量积的几何意义，可得，依题意有，即，同理，即综上，将两式相加可得：，即【思路点拨】利用数量积的定义在左右分别乘以，即可求得．14.函数的单调增区间是

。参考答案：均可15.在公差为的等差数列中，若是的前项和，则数列也成等差数列，且公差为，类比上述结论，相应地在公比为的等比数列中，若是数列的前项积，则有

。参考答案：16.命题“”的否定是

▲

。参考答案：17.在复平面内，复数对应的点的坐标为___________．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（1）当a≥1时，求f（x）在[0，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；（2）对任意的正实数a，问：曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得△POQ（O为坐标原点）是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当0≤x＜e时，求导函数，可得f（x）在区间[0，e]上的最大值；（2）假设曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在y轴两侧．设P、Q的坐标，由此入手能得到对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．【解答】解：（1）∵f（x）=，当0≤x＜1时，f′（x）=﹣3x2+2x=﹣3x（x﹣），令f'（x）＞0，解得：0≤x＜，令f′（x）＜0，解得：＜x＜1，故f（x）在[0，）递增，在（，1）递减，而f（）=，∴f（x）在区间[0，1）上的最大值为，1≤x＜e时，f（x）=alnx，f′（x）=＞0，f（x）在[1，e]递增，f（x）max=f（e）=a≥1，综上f（x）在[0，e]的最大值是a；（2）曲线y=f（x）上存在两点P、Q满足题设要求，则点P，Q只能在y轴的两侧，不妨设P（t，f（t））（t＞0），则Q（﹣t，t3+t2），显然t≠1，∵△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，∴?=0，即﹣t2+f（t）（t3+t2）=0．（1）是否存在两点P、Q等价于方程（1）是否有解．若0＜t＜1，则f（t）=﹣t3+t2，代入（1）式得，﹣t2+（﹣t3+t2）（t3+t2）=0，即t4﹣t2+1=0，而此方程无实数解，因此t＞1．∴f（t）=alnt，代入（1）式得，﹣t2+（alnt）（t3+t2）=0，即=（t+1）lnt．（*），考察函数在h（x）=（x+1）lnx（x≥1），则h′（x）=lnx++1＞0，∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∵t＞1，∴h（t）＞h（1）=0，当t→+∞时，h（t）→+∞，∴h（t）的取值范围是（0，+∞）．∴对于a＞0，方程（*）总有解，即方程（1）总有解．因此对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上总存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上．19.已知函数．（Ⅰ）若，解不等式：；（Ⅱ）若的解集为，，求的最小值．111]参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）2.试题解析：（Ⅰ）当时，不等式为，即，∴或，即或，∴原不等式的解集为；………5分（Ⅱ），∵的解集为∴…………7分考点：绝对值不等式、基本不等式．20.在四棱锥P-ABCD中，，，，，为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD.（1）求二面角的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使异面直线DM和PE所成角的余弦值为？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）（2）存在点M为线段PC的三等分点满足题意，详见解析【分析】（1）利用向量法求二面角的余弦值；（2）设，利用向量法得到，解方程即得解.【详解】设是中点，为正三角形，则，平面平面，面，又∵，，所以为正三角形，，建立如图所示空间直角坐标系，则，于是，，(1)设平面的法向量为，由得一个法向量为，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则由图知为锐角，所以，二面角的余弦值为.(2)设，则，，所以解得或，所以存在点M为线段PC的三等分点.【点睛】本题主要考查空间二面角的求法，考查异面直线所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上，以过山脚（点C）的水平线为x轴，过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式y=x2+m，BC所在抛物线的解析式为y=（x﹣n）2，且B（4，4）．（1）求m，n值，并写出山坡线ABC的函数解析式；（2）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600（米），假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线y=（x﹣16）2．试求索道的最大悬空高度；（3）为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．试求出前三级台阶的长度（精确到厘米），并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由？参考答案：（1）将点B（4，4）分别代入y=﹣x2+m，y=（x﹣n）2，∴m=4+×16=8，n=8，∴f（x）=（2）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在BC上方时，悬空高度y=（x﹣16）2﹣（x﹣8）2=（﹣3x2+40x﹣96）=﹣（x﹣）2+，当x=时，ymax=∴索道的最大悬空高度为米．（3）在山坡线AB上，x=2，A（0，8）①令y0=8，得x0=0；令y1=8﹣0.002=7.998，得x1=2≈0.08944∴第一级台阶的长度为x1﹣x0=0.08944（百米）≈894（厘米），同理，令y2=8﹣2×0.002、y3=8﹣3×0.002，可得x2≈0.12649、x3≈0.15492∴第二级台阶的长度为x2﹣x1=0.03705（百米）≈371（厘米））第三级台阶的长度为x3﹣x2=0.02843（百米）≈284（厘米）②取点B（4，4），又