浙江省杭州市八中高三数学上学期周末自

第11-页浙江杭州八中2023届上学期高三数学周末自测卷十一第I卷〔选择题〕一、单项选择题1．集合，那么的真子集个数为〔〕A.B.C.D.2．设，是虚数单位，那么“〞是“复数为纯虚数〞的〔〕A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件3．定义在上的偶函数满足，且在上单调递减，设,，，那么,,的大小关系是〔〕A.B.C.D.4．在数列中，，，那么的值为〔〕A.B.5C.D.5．函数的图象大致为〔〕A.B.C.D.6．现有六支足球队参加单循环比赛〔即任意两支球队只踢一场比赛〕，第一周的比赛中，各踢了场，各踢了场，踢了场，且队与队未踢过，队与队也未踢过，那么在第一周的比赛中，队踢的比赛的场数是〔〕A.B.C.D.7．设函数，假设方程恰好有三个根，分别为，那么的值为〔〕A.B.C.D.8．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，那么该四棱锥的外接球的外表积为〔〕A.B.C.D.9．函数假设，且函数存在最小值，那么实数的取值范围为〔〕A.B.C.D.10．双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，那么双曲线的离心率为〔〕A.B.C.D.第II卷〔非选择题〕二、填空题11．我国古代数学著作?九章算术?有如下问题：“今有蒲〔水生植物名〕生一日，长三尺；莞〔植物名，俗称水葱、席子草〕生一日，长一尺．蒲生日自半，莞日自倍．问几何日而长等？〞意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．假设蒲、莞长度相等，那么所需的时间约为_____日．〔结果保存一位小数，参考数据：，〕-10212.随机变量的分布列，其中那么=，=.13．在中，内角，，的对边分别为，，，且．〔1〕；〔2〕假设，那么．14.集合是同一坐标平面内一些点组成的集合，假设,且,那么原点到直线的距离是，集合所表示的区域的最大面积.15．向量，满足，，那么的最小值是_______，与夹角的余弦值的最大值是_______.16.有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标的数字之和等于10，那么不同的排法共有种〔用数字作答〕．17.平面直角坐标系中，椭圆左、右焦点分别是，焦距为，假设曲线:满足对,与至多2个公共点，求椭圆的离心率的范围是.三、解答题18．〔本小题总分值14分〕函数在区间上的最大值为.(Ⅰ)求常数的值;(Ⅱ)在中,角所对的边长分别为,假设,,面积为,求边长.19．如图,在四棱锥中,点是棱上一点,且,底面是正方形,△为正三角形,平面与平面交于直线,且平面⊥平面.(1)求证:∥平面；(2)求直线与平面所成角的大小.〔第19题图〕(此题总分值15分)设函数f(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x). (1)求函数f(x)的值域； (2)当实数x∈[0,1]，证明：f(x)≤2－eq\f(1,4)x2.21．〔此题总分值15分〕抛物线，过点的直线交抛物线于两点，点关于轴的对称点为．〔1〕当时，求线段的中点的坐标；〔2〕假设，求面积的最大值．22.〔此题总分值15分〕设函数．数列满足，．〔1〕证明：函数在区间是增函数；〔2〕证明：；〔3〕设，整数，证明：．浙江杭州八中2023届上学期高三数学周末自测卷十一参考答案1．B【解析】因为抛物线的图象与直线的图象，有两个交点，所以有两个元素，故的真子集个数为，应选B.2．B【解析】由复数为纯虚数，那么，解得，所以是复数为纯虚数的充要条件，应选B．3．C【解析】因为偶函数满足，所以函数的周期为，那么，，因为，且函数在上单调递减，所以，应选C．4．B【解析】在数列中，，所以，所以是以为周期的周期数列，因为，应选B．5．C【解析】因为函数，由，可得，所以函数的定义域为，再由，可得，且在上为单调递增函数，应选C．6．D【解析】依据题意：踢了场，队与队未踢过，那么C队参加的比赛为：；D踢了场，队与队也未踢过，那么D队参加的比赛为：；以上八场比赛中，包含了队参加的两场比赛，分析至此，三队参加的比赛均已经确定，余下的比赛在中进行，已经得到的八场比赛中，A,B各包含一场，那么在中进行的比赛中，，各踢了2场，即余下的比赛为：，综上可得，第一周的比赛共11场：，，那么队踢的比赛的场数是.此题选择D选项.7．D【解析】由题意，那么，画出函数的大致图象，如下图，由图可得，当时，方程恰有三个根，由得；由得，由图可知，与点关于直线对称；点和点关于对称，所以，所以，应选D．点睛：此题考查了正弦函数的图象，以及正弦函数的图象及对称性的应用，考查了整体思想和数形结合思想的应用，有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期，求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.8．C【解析】根据三视图得出，该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥，正方体的棱长为，为棱的中点，最大的侧面积为，应选C．9．A【解析】由分段函数的解析式可得：，即：，结合函数有最小值可得：，据此可得：，即实数的取值范围为.此题选择A选项.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．10．D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，那么，，设，那么，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，应选D．点睛：此题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11．2.6解析：设蒲的长度组成等比数列，其前项和；莞长度组成等比数列，其前项和；那么，化简得，得，即：12.；1解析：解得，，故13．；解析：〔1〕由及正弦定理得，从而，〔2〕由〔1〕知，假设，那么，所以14.1；解析：原点到直线的距离，所以是单位圆的切线上的点组成的集合，集合所表示的区域的最大面积。15．1；解析：设向量的夹角为，，所以，所以所以，解得；.16.432解析：数字之和为10的情况有4，4，1，1；4，3，2，1；

3，3，2，2；

取出的卡片数字为4，4，1，1时；有种不同排法；取出的卡片数字为3，3，2，2时；有种不同排法；取出的卡片数字为4，3，2，1时；每个数字都有两种不同的取法，那么有种不同排法；

所以共有种不同排法17.解析：曲线:的图像最低点为，随着从到变化时，当为椭圆上这两个点和时，为临界点；所以只要在处的切线的斜率，既满足题意，而过的切线方程为，所以，所以18．【答案】解:(1) …4分因为,所以所以当即时,函数在区间上取到最大值此时,,得……7分(2)因为,所以,即,解得(舍去)或………9分因为,,所以.………10分因为面积为,所以,即.②由①和②解得………12分因为,所以……14分19．〔此题15分〕答案：〔1〕见解析；〔2〕〔1〕∵底面是正方形,∴.又平面,平面.∴∥平面.………………〔5分〕又平面与平面交于直线,∴∥,又平面,⊂平面,∴∥平面.…………〔7分〕〔2〕延伸平面与棱交于点,∴为的中点,∴是棱的中点.…………〔9分〕又,那么直线与平面所成角的大小等于直线与平面所成角的大小,…………………〔11分〕∵平面⊥平面,⊥,∴⊥平面,∴平面⊥平面,∵△为正三角形,∴⊥,∴⊥平面∴∠为直线与平面所成的角,又∠=,∴直线与平面所成角的大小为.…〔15分〕20.〔15分〕解(1)函数f(x)的定义域是[－1,1]， ∵f′(x)＝eq\f(\r(1－x)－\r(1＋x),2\r(1－x2))， 当f′(x)>0时，解得－1<x<0， 当f′(x)<0时，解得0<x<1， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(－1,0)上单调递增，…………4分 ∴f(x)min＝f(1)＝f(－1)＝eq\r(2)，f(x)max＝f(0)＝2，…………7分 ∴函数f(x)的值域为[eq\r(2)，2]． (2)证明：设h(x)＝eq\r(1－x)＋eq\r(1＋x)＋eq\f(1,4)x2－2，x∈[0,1]，h(0)＝0， ∵h′(x)＝－eq\f(1,2)(1－x)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(1＋x)－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)x ＝eq\f(1,2)xeq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\f(2,\r(1－x2)\r(1＋x)＋\r(1－x))))，10分 ∵eq\r(1－x2)(eq\r(1＋x)＋eq\r(1－x))＝eq\r(1－x2)·eq\r(2＋2\r(1－x2))≤2， ∴h′(x)≤0. ∴h(x)在(0,1)上单调递减， …………13分 又h(0)＝0，∴h(x)≤h(0)＝0， ∴f(x)≤2－eq\f(1,4)x2. …………15分21．〔此题15分〕答案：〔1〕；〔2〕16〔1〕当时，直线，联立直线与抛物线的方程，消去，得，………〔2分〕所以线段的中点的纵坐标为4，又点在直线上，故的坐标为.………………〔5分〕〔2〕设直线的方程为，与抛物线的方程联立，消去可得，.设，那么，…………〔7分〕且.联立直线与抛物线的方程，消去可得，所以，…………………〔9分〕所以，即直线过点，……………〔11分〕所以的面积，又………………