2023版高中数学第一章解直角三角形1.2应用举例第1课时距离和高度问题学案新人教B版必修5

第1课时距离和高度问题1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点)[根底·初探]教材整理实际测量中的有关名词、术语阅读教材P12～P13问题3，完成以下问题.实际测量中的有关名词、术语名称定义图示基线在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线铅垂平面与地面垂直的平面坡角坡面与水平面的夹角α为坡角坡比坡面的垂直高度与水平宽度之比坡比：i＝eq\f(h,l)仰角在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角俯角在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时视线与水平线的夹角判断(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低.()(2)三角形的三个角，能够求其三条边.()(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得.()(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角.()(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比.()(6)坡角的范围是[0，π].()【解析】(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高.(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边.(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得.(4)√.由坡角的定义可知.(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比.(6)×.坡角的范围是(0，π).【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×(6)×[小组合作型]测量距离问题要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距eq\r(3)km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离.【精彩点拨】将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.【自主解答】如下图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝eq\r(3)km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2×eq\r(3)×eq\f(\r(6)＋\r(2),2)×cos75°＝3＋2＋eq\r(3)－eq\r(3)＝5，∴AB＝eq\r(5)(km)，∴A，B之间的距离为eq\r(5)km.三角形中与距离有关的问题的求解策略：1解决三角形中与距离有关的问题，假设在一个三角形中，那么直接利用正、余弦定理求解即可；假设所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.2解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决[再练一题]1.如图1­2­1，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝120m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离.【导学号：18082023】图1­2­1【解】在△ABC中，AC＝120，∠A＝45°，∠C＝75°，那么∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝60°，由正弦定理，得AB＝ACeq\f(sinC,sinB)＝eq\f(120sin75°,sin60°)＝20(3eq\r(2)＋eq\r(6)).即A，B两点间的距离为20(3eq\r(2)＋eq\r(6))m.测量高度问题(1)如图1­2­2，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，CD＝100米，点C位于BD上，那么山高AB等于()图1­2­2A.100米 B.50eq\r(3)米C.50eq\r(2)米 D.50(eq\r(3)＋1)米(2)在一幢20m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是()A.20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3),3)))m B.20(1＋eq\r(3))mC.10(eq\r(6)＋eq\r(2))mD.20(eq\r(6)＋eq\r(2))m【精彩点拨】(1)解决此题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解.(2)解决此题关键是画出示意图.【自主解答】(1)设山高为h，那么由题意知CB＝h，DB＝eq\r(3)h，所以eq\r(3)h－h＝100，即h＝50(eq\r(3)＋1).(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20m，BC＝AD＝20m.在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20m，∴EC＝CD·tan60°＝20eq\r(3)m.∴BE＝BC＋CE＝(20＋20eq\r(3))m.选B.【答案】(1)D(2)B解决测量高度问题的一般步骤：1画图：根据条件画出示意图.2分析三角形：分析与问题有关的三角形.3求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用[再练一题]2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图1­2­3所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，请据此算出H的值.图1­2­3【解】由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124.因此，算出的电视塔的高度H是124m.[探究共研型]与立体几何有关的测量高度问题探究1A，B是海平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足.试画出符合题意的示意图.【提示】用线段CD表示山，用△DAB表示海平面.结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如下图：探究2在探究1中假设要求山高CD怎样求解？【提示】由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.如图1­2­4，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.图1­2­4【精彩点拨】利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝eq\f(h,tan30°)＝eq\r(3)h，然后在△BCD中利用余弦定理求解.【自主解答】在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，假设设AB＝h，那么BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，那么BD＝eq\r(3)h.在△BCD中，由余弦定理可得CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，即2002＝h2＋(eq\r(3)h)2－2·h·eq\r(3)h·eq\f(\r(3),2)，所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，即塔高AB＝200米.测量高度问题的两个关注点：1“空间〞向“平面〞的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.2“解直角三角形〞与“解斜三角形〞结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路[再练一题]3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，那么电视塔的高度是()【导学号：18082023】A.100eq\r(2)mB.400mC.200eq\r(3)m D.500m【解析】由题意画出示意图，设塔高AB＝hm，在Rt△ABC中，由得BC＝hm，在Rt△ABD中，由得BD＝eq\r(3)hm，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).【答案】D1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()A.d1>d2B.d1<d2C.d1>20m D.d2<20m【解析】如图，设旗杆高为h，那么d1＝eq\f(h,tan50°)，d2＝eq\f(h,tan40°).因为tan50°>tan40°，所以d1<d2.【答案】B2.在某个位置测得某山峰仰角为θ，对着山峰在地面上前进600m后测得仰角为2θ，继续在地面上前进200eq\r(3)m以后测得山峰的仰角为4θ，那么该山峰的高度为()A.200m B.300mC.400m D.100eq\r(3)m【解析】法一：如图，△BED，△BDC为等腰三角形，BD＝ED＝600(m)，BC＝DC＝200eq\r(3)(m).在△BCD中，由余弦定理可得cos2θ＝eq\f(6002＋200\r(3)2－200\r(3)2,2×600×200\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，∴2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，应选B.法二：由于△BCD是等腰三角形，eq\f(1,2)BD＝DCcos2θ，即300＝200eq\r(3)cos2θ.cos2θ＝eq\f(\r(3),2)，2θ＝30°，4θ＝60°.在Rt△ABC中，AB＝BC·sin4θ＝200eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝300(m)，应选B.【答案】B3.某人先向正东方向走了xkm，然后他向右转150°，向新的方向走了3km，结果他离出发点恰好为eq\r(3)km，那么x的值为()A.eq\r(3) B.2eq\r(3)C.2eq\r(3)或eq\r(3) D.3【解析】如图，在△ABC中由余弦定理得3＝9＋x2－6xcos30°，即x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解之得x＝2eq\r(3)或eq\r(3).【答案】C4.在高出海平面200m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________m.【解析】过点A作AH⊥BC于点H，由图易知∠BAH＝45°，∠CAH＝60°，AH＝200m，那么BH＝AH＝200m，CH＝AH·tan60°＝200eq\故两船距离BC＝BH＋CH＝200(eq\r(3)＋1)m.【答案】200(eq\r(3)＋1)5.如图1­2­5所示，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角为α，在塔底C处测得点A的俯角为β，铁塔BC局部的高为h，求出山高CD.图1­2­5【解】法一：在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，∠ABC＝90°－α，∠BAC＝α－β，∠BAD＝α，那么eq\f(BC,sinα－β)＝eq\f(AB,sin90°＋β)，∴AB＝eq\f(BCsin90°＋β,sinα－β).在Rt△ABD中，BD＝ABsin∠BAD＝eq\f(BCsin90°