2023版高中数学第三章概率3.2古典概型学案苏教版必修3

3.2古典概型1．理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能的根本领件．(重点、难点)2．理解古典概型的特点，掌握等可能事件的概率计算方法．(重点)[根底·初探]教材整理1根本领件与等可能事件阅读教材P100前四段的内容，并完成下面的问题．1．根本领件在1次试验中可能出现的每一个根本结果称为根本领件．2．等可能事件假设在1次试验中，每个根本领件发生的可能性都相同，那么称这些根本领件为等可能根本领件．填空：(1)在a，b，c，d四个数中选取2个字母，其中根本领件的个数为________．【解析】从a，b，c，d中选取两个字母，根本领件有：ab，ac，ad，bc，bd，cd，共6种．【答案】6(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上〞________根本领件．(填“是〞或“不是〞)【解析】抛掷两枚硬币的根本领件有“正正〞，“正反〞，“反正〞，“反反〞，共4种，其中“至少一枚正面向上〞包括“正正〞、“正反〞、“反正〞三种情况，故不是根本领件．【答案】不是教材整理2古典概型阅读教材P100第五段至“例1〞上边的内容，并完成下面的问题．1．古典概型的概念(1)特点：①有限性：所有的根本领件只有有限个；②等可能性：每个根本领件的发生都是等可能的．(2)定义：将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型．2．古典概型概率的计算公式如果1次试验的等可能根本领件共有n个，那么每一个等可能根本领件发生的概率都是eq\f(1,n)；如果某个事件A包含了其中m个等可能根本领件，那么事件A发生的概率为P(A)＝eq\f(m,n).即P(A)＝eq\f(事件A包含的根本领件数,试验的根本领件总数).填空：(1)从1,2,3中任取两个数字，设取出的数字中含有3为事件A，那么P(A)＝________.【解析】从1,2,3中任取两个数字，共有1和2,1和3,2和3,3种根本领件，其中包含3的有1和3,2和3两种，所以P(A)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)(2)假设甲、乙、丙三人随机地站成一排，那么甲、乙两人相邻而站的概率为________．【解析】甲、乙、丙三人随机地站成一排有(甲乙丙)、(甲丙乙)、(乙甲丙)、(乙丙甲)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共6种排法，甲、乙相邻而站有(甲乙丙)、(乙甲丙)、(丙甲乙)、(丙乙甲)共4种排法，由概率计算公式得甲、乙两人相邻而站的概率为eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)[小组合作型]根本领件的计数问题袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，(1)两个都是黑球的根本领件共有多少种；(2)求两球颜色为一红一白的根本领件共有多少种；(3)求一白一黑的根本领件共有多少种.【精彩点拨】用列举法(或列表法)把每一种情况都列举出来．【自主解答】法一：列举法．记红球为A,2个白球为B1，B2,3个黑球为C1，C2，C3，那么从中任取2个球，根本领件共有(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(A，C3)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共计15种，(1)两个都是黑球的有如下3种(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)．(2)两球颜色为一红一白的有如下2种(A，B1)，(A，B2)．(3)两球颜色为一白一黑的有如下6种：(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)．法二：列表法．记红球为A,2个白球为B1，B2,3个黑球为C1，C2，C3，那么从中任取2球的所有情况如下：(注意取的2球与顺序无关).AB1B2C1C2C3A(A，B1)(A，B2)(A，C1)(A，C2)(A，C3)B1(B1，B2)(B1，C1)(B1，C2)(B1，C3)B2(B2，C1)(B2，C2)(B2，C3)C1(C1，C2)(C1，C3)C2(C2，C3)C3(1)两个球都是黑球的根本领件有3个，即(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)．(2)两球颜色一红一白的根本领件有2个，即(A，B1)，(A，B2)．(3)两球一黑一白的根本领件有6个，即(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B2，C3)．求根本领件个数的常用方法．(1)列举法此法适用于情境比拟简单，根本领件个数不是很多的概率问题，计算时只需将随机事件所含的根本领件一一列出即可．注意列举时必须按一定顺序，做到不重不漏．(2)列表法此法适用于试验结果不是太多的情况，求解时通常把根本领件问题转化为“实数对〞的问题，以便更直接地找出根本领件个数．列表法的优点是准确、不易遗漏，其中最常用的方法是坐标系法．(3)树形图法：树形图法是进行列举的一种常用方法，适用于较复杂问题中根本领件数的求解．[再练一题]1．将一枚硬币连续掷三次，试写出所有的根本领件．【解】法一：列举法．(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8种情况．法二：画树形图．共8种情况.古典概型的判断及概率的计算(1)以下四个试验中是古典概型的是________．(填序号)①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率．【精彩点拨】根据古典概型的两个特点进行判断．【自主解答】序号分析结果①满足有限性，等可能性是②满足有限性，等可能性是③不满足等可能性不是④满足有限性，等可能性是【答案】①②④(2)将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个根本领件．①请写出所有的根本领件；②求满足条件“eq\f(x,y)为整数〞的事件的概率；③求满足条件“x－y＜2〞的事件的概率．【精彩点拨】先列举出所有根本领件，判断事件包含的根本领件个数，然后利用公式求解．【自主解答】①先后抛掷两次正四面体的所有根本领件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个根本领件．②用A表示满足条件“eq\f(x,y)为整数〞的事件，那么A包含的根本领件有：(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)，共8个根本领件．所以P(A)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).故满足条件“eq\f(x,y)为整数〞的事件的概率为eq\f(1,2).③用B表示满足条件“x－y＜2〞的事件，那么B包含的根本领件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)．共13个根本领件．那么P(B)＝eq\f(13,16)，故满足条件“x－y<2〞的事件的概率为eq\f(13,16).1．判断一个概率类型是否为古典概型的关键是看试验的结果是否满足有限性和等可能性．2．求古典概型概率的步骤：(1)求出根本领件总数n.(2)求出事件A包含的根本领件的个数m.(3)利用公式P(A)＝eq\f(事件A包含的根本领件数,试验的根本领件总数)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率．[再练一题]2．甲、乙两人做出拳游戏(锤子、剪子、布)，那么平局的概率是________；甲赢的概率是________；乙赢的概率是________．【解析】设平局为事件A，甲赢为事件B，乙赢为事件C.列出如下表格由上图容易得到，根本领件总数为9.(1)平局含3个根本领件(图中的△)；(2)甲赢含3个根本领件(图中的)；(3)乙赢含3个根本领件(图中的※)；用古典概率的计算公式，可得P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)；P(B)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)；P(C)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).【答案】eq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,3)[探究共研型]“有放回〞与“无放回〞事件的概率探究1一袋内有编号为1,2,3的三个小球，除编号外小球没有其他区别．(1)从中任取1球，每次取出后不放回，连续取2次，根本领件共有多少个？(2)从中任取1球，每次取后放回，连续取2次，根本领件共有多少个？【提示】(1)不放回抽取中，根本领件共有(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，共6个．(2)有放回的抽取，根本领件共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共9个．探究2“有放回〞与“无放回〞的区别是什么？探究1中的两种试验是否是古典概型？【提示】“有放回〞与“无放回〞取法的区别在于根本领件总数不同．“有放回〞地取元素时，被取元素个数不变；“无放回〞地取元素时，被取元素的个数取一次少一次．但两种取法都满足古典概型的两个特点，故都是古典概型．从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的4件产品中每次任取1件，连续取2次．(1)假设取后不放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率；(2)假设取后放回，求取出的2件产品中恰有一件次品的概率．【精彩点拨】eq\x(列出所有根本领件)→eq\x(设出事件A)→eq\x(确定A包含的根本领件)→eq\x(求概率)【自主解答】(1)取后不放回地取两次，所有根本领件为：(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)共有12个．设“取出的2件产品中恰有一件次品〞为事件A，那么A包含的根本领件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，共8个．故P(A)＝eq\f(8,12)＝eq\f(2,3)，即取出的2件产品中恰有一件次品的概率是eq\f(2,3).(2)取后放回地取两次，所有根本领件为：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)共16个．设“取出的2件产品中恰有一件次品〞为事件B，那么B包含的根本领件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b2，a1)，(b2，a2)，共8个．故P(B)＝eq\f(8,16)＝eq\f(1,2)，即取出的2件产品中恰有一件次品的概率为eq\f(1,2).1．在古典概型的条件下，用列举法把试验的所有结果一一列举出来，然后求出其中的事件A包含的根本领件的个数和根本领件总数，再利用古典概型概率公式求概率，这是一个形象、简单的好方法．2．在列举试验的所有结果时，一定要区分试验的具体情况，并按某一顺序把所有试验结果列举出来，同时要做到不重不漏．[再练一题]3．先后从分别标有数字1,2,3,4的4个大小、形状完全相同的球中，有放回地随机抽取2个球，那么抽到的2个球的标号之和不大于5的概率为________.【解析】根本领件共有4×4＝16(个)，其中抽到的2个球的标号之和不大于5的情况有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(4,1)，共10种，所以所求概率为eq\f(10,16)＝eq\f(5,8).【答案】eq\f(5,8)1．从1,2,3,4中任意取两个不同的数字组成两位数，那么根本领件共有________个．【解析】根本领件为12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共12个．【答案】122．随意安排甲、乙、丙3人在3天节日中值班，每人1天，那么甲安排在乙之前的概率为________．【解析】甲乙丙3人在3天值班的所有情况有：(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)共6种，其中甲安排在乙之前有3种，故所求概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)3．从分别写有A，B，C，D，E的5张卡片中，任取2张，这2张上的字母恰好按字母的顺序相邻的概率为________．【解析】从A，B，C，D，E中任取2张共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE10种情况，而字母的顺序相邻的情况有AB，BC，CD，DE4种情况．∴P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).【答案】eq\f(2,5)4．口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除颜色外完全相同，4个人按顺序依次从中摸出一球，那么第二个人摸到白球的概率为______