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第五章数值积分§5.1

构造数值积分公式的基本方法§5.2Newton-Cotes§5.3复化求积公式§5.4龙贝格求积算法引言第五章但在实际计算中常常会碰到一些困难：

数值积分基本形式为了便于讨论，我们假定被积函数在闭区间上连续。引言第五章这就是插值型数值求积公式,数值积分公式的余项第五章§5.2

牛顿-科特斯求积公式积分区间的等分点作为求积节点牛顿—科特斯公式即Newton-Cotes公式是指等距节点下使用Lagrange插值多项式建立的数值求积公式.1、求积公式构造令即有n阶Newton-Cotes求积公式Newton-Cotes公式的余项(误差)注意是等距节点所以Newton-Cotes公式化为上式称为梯形求积公式，记为Cotes系数为求积公式为2.辛浦生公式上式称为Simpson求积公式.第五章为使求积公式能对更多的积分具有较好的实际计算意义,就要求它对尽可能多的被积函数都准确地成立.2、求积公式的代数精度2、求积公式的代数精度容易验证梯形公式，辛浦生公式，科特斯公式分别具有1，3，5次代数精度。

因此所以该积分公式具有3次代数精确度。

积分第一中值定理：如果f(x),g(x)在区间[a,b]连续，且g(x)在区间(a,b)上不变号，则存在使得

3、求积公式的截断误差证:4、牛顿－科特斯公式的稳定性因为牛顿－科特斯公式对于f(x)=1必然准确成立，因而有假设计算时有误差

即则在实际中用代替产生的误差为1、复化梯形公式§5.3复化求积公式3.1常用复化求积公式各节点为相加后得复化梯形公式第五章2、复化辛浦生公式

相加后得复化辛浦生公式…(5.20)式中原积分的精确值为精度最高精度次高精度最低

比较三个公式的结果显然复合辛普森求积公式具有精度高,计算较简便等优点.3.2复化求积公式的截断误差

第五章§5.3复化求积公式3.2复化求积公式的截断误差

第五章§5.3复化求积公式3.3区间逐次分半求积法

实际计算时常采用“事后估计误差”的方法。即在步长逐次半分的过程中，反复利用复化求积公式进行计算。并同时查看相继两次计算结果的误差是否达到要求，直到所求得的积分近似值满足精度要求为止。§5.3复化求积公式第五章复化求积公式是提高精确度的一种有效方法，但在使用复化型求积公式之前，必须进行先验估计，以确定节点数目，从而确定合适的等分步长；误差估计困难；由复化梯形(Trapz)公式为--------(1)--------(2)积分值为--------(3)积分值为假定在上变化不大,即有得上式也可写为P.65（4）这说明用作为积分I的近似值时,其误差近似为

实际计算中的递推公式为计算过程中常用是否满足作为控制计算精度的条件.（5）例5

用区间逐次分半的梯形公式计算要求其误差不超过（其精确值为）。解利用式（5）编程计算，其结果见下表通过类似的推导，还可得到下面的结论-------(6)在区间逐次分半过程中，采用事后估计误差的方法，可以确定合适的计算步长。所以，区间逐次分半求积法也称为步长自动选择的变步长求积法。对于辛浦生公式,假定在上变化不大,则有对于柯特斯公式,假定在上变化不大,则有-------(7)§5.4Romberg算法无论从代数精度还是收敛速度,复化梯形公式都是较差的由上节公式可以看出,将积分区间等分时,用复化梯形公式计算的结果为积分I的近似值,其误差近似为可以设想，如果用这个误差作为的一种补偿,即将作为积分的近似值，可望提高其精确程度。第五章直接根据复化求积公式，不难验证…(5.29)同样可得这说明,将区间对分前后两次复化梯形公式的值,按上式作线性组合恰好等于复化辛浦生公式的值它比更接近于近似值。…(5.30)…(5.31)式（5.31）称为龙贝格求积公式。外推加速公式以上整个过程称为Romberg算法将上述结果综合后其中外推加速公式可简化为--------(4.4)Romberg算法的收敛阶高达m+1的两倍Romberg算法求解步骤Romberg算法的代数精度为m的两倍可以证明，由梯形序列外推得到辛浦生序列、由辛浦生序列外推得到柯特斯序列以及由柯特斯序列外推得到龙贝格序列，每次外推都可以使误差阶提高二阶。利用龙贝格序列求积的算法称为龙贝格算法。这种算法具有占用内存少、精确度高的优点。因此，成为实际中常用的求积算法。下面给出龙贝格求积算法的计算步骤：第一步：算出根据公式（5）计算第二步：将分半,算出后,根据公式(5)计算再根据公式（5.29）计算第三步：再将区间分半,算出根据公再根据公式(5.30)计算式(5.26),(5.29)计算第四步：再将区间分半,计算根据公式(5.31)计算第五步：再将区间分半,类似上述过程计算重复上述过程可计算得到一直算到龙贝格序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。可以证明：如果f(x)充分光滑，那么梯形序列、辛浦生序列、柯特斯序列与龙贝格序列均收敛到所求的积分值。例:P.68

k01234533.13.1333333.1311773.1415693.1421183.1389893.1415933.14159