2023版高考数学考点56不等式选讲试题解读与变式

考点56不等式选讲【考纲要求】1.理解绝对值的几何意义，并了解以下不等式成立的几何意义及取等号的条件：①|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)．②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a．3.通过一些简单问题了解证明不等式的根本方法：比拟法、综合法、分析法．【命题规律】不等式选讲近几年高考中是在解答题中第23题考查，一般设计绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题以及不等式的证明问题，难度中等.【典型高考试题变式】〔一〕绝对值不等式的解法例1.【2023新课标1】函数，.〔1〕当a=1时，求不等式的解集；〔2〕假设不等式的解集包含[–1，1]，求实数a的取值范围.【分析】〔1〕将代入，不等式等价于，对按，，讨论，得出不等式的解集；〔2〕当时，.假设的解集包含，等价于当时.那么在的最小值必为与之一，所以且，从而得.〔2〕当时，.所以的解集包含，等价于当时.又在的最小值必为与之一，所以且，得.所以的取值范围为.【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题.【变式1】【2023陕西山大附中等晋豫名校联考】函数〔1〕求不等式的解集；〔2〕设，假设关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围.【解析】〔1〕原不等式可化为：，即或，由得或，由得或，综上原不等式的解为或.〔2〕原不等式等价于的解集非空，令，即，由，所以，所以.【变式2】【2023湖北省荆州市质检】函数.〔1〕当时，求的解集；〔2〕假设的解集包含集合，求实数的取值范围.【解析】(1)当时，，，上述不等式可化为或或解得或或所以或或，所以原不等式的解集为〔二〕不等式的证明例2.【2023年新课标2】．证明：〔1〕；〔2〕．【分析】〔1〕展开所给的式子，然后结合题意进行配方即可证得结论，注意向靠拢；〔2〕利用均值不等式的结论结合题意证得即可得出结论．【解析】〔1〕〔2〕因为所以，因此．【名师点睛】利用根本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．假设不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．【变式1】假设a>0，b>0，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\r(ab)．〔1〕求a3＋b3的最小值；〔2〕是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由【变式2】【2023河北邯郸联考】设．〔1〕求的解集；〔2〕当时，求证：．【解析】〔1〕由得：或或，解得，所以的解集为.〔2〕当，即时，要证，即证.因为，所以，即.〔三〕绝对值不等式的恒成立、参数范围问题例3.【2023新课标3】函数f〔x〕=│x+1│–│x–2│.〔1〕求不等式f〔x〕≥1的解集；〔2〕假设不等式的解集非空，求m的取值范围.【分析】〔1〕将函数零点分段然后求解不等式即可；〔2〕由题意结合绝对值不等式的性质有，那么m的取值范围是.【解析】〔1〕，当时，无解；当时，由得，，解得；当时，由解得.所以的解集为.〔2〕由得，而，且当时，.故实数m的取值范围为.【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想.【变式1】【2023河南中原名校质检】关于的不等式.〔1〕当时，解不等式；〔2〕如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.【解析】〔1〕原不等式变为.当时，原不等式化为，解得，所以当时，原不等式化为，所以.当时，原不等式化为，解得，所以.综上，原不等式解集为.【变式2】函数f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|.〔1〕求不等式f(x)≤6的解集；〔2〕假设关于x的不等式f(x)<|a－1|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【解析】〔1〕原不等式等价于eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2)，,〔2x＋1〕＋〔2x－3〕≤6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)≤x≤\f(3,2)，,〔2x＋1〕－〔2x－3〕≤6))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,2)，,－〔2x＋1〕－〔2x－3〕≤6，))解得eq\f(3,2)<x≤2或－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(3,2)或－1≤x<－eq\f(1,2).所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤2}．〔2〕因为f(x)＝|2x＋1|＋|2x－3|≥|(2x＋1)－(2x－3)|＝4，所以|a－1|>4，所以a<－3或a>5，所以实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(5，＋∞)．【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化与化归思想.④函数方程思想.【温馨提示】①绝对值不等式中含参数时，通常要进行分类探求，注意分类要做到不重不漏；注意在分段时不要遗漏区间的端点值．②分析法证明不等式是“执果索因〞，要注意书写的格式和语言的标准．③用综合法证明不等式时，应注意观察不等式的结构特点，选择恰当的公式作为依据，其中均值不等式是最常用的.【典例试题演练】1.【2023辽宁鞍山中学二模】函数.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设关于的不等式有解，求实数的取值范围.【解析】〔1〕当时，无解；当时，；当时，.综上，实数的取值范围为.〔2〕函数的最小值为，，所以.2.【2023广西贺州桂梧高中联考】函数的一个零点为2.〔1〕求不等式的解集；〔2〕假设直线与函数的图象有公共点，求的取值范围.【解析】〔1〕由，，得，所以，所以或或，解得，故不等式的解集为.〔2〕，作出函数的图象，如下图，直线过定点，当此直线经过点时，；当此直线与直线平行时，.故由图可知，.3.【2023四川省凉山州检测】函数．〔1〕假设不等式的解集为空集，求实数的取值范围；〔2〕假设方程有三个不同的解，求实数的取值范围．【解析】〔1〕令，那么，作出函数的图象，由图可知，函数的最小值为，所以，即，综上，实数的取值范围为.〔2〕在同一坐标系内作出函数图象和的图象如以下图所示，由题意可知，把函数的图象向下平移1个单位以内〔不包括1个单位〕与的图象始终有3个交点，从而．4.【20236广西柳州市模拟】函数．〔1〕假设，解不等式；〔2〕如果，，求的取值范围．〔2〕假设，的最小值为；假设，的最小值为．所以，，所以实数的取值范围是．5.设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：〔1〕ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)；〔2〕2eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥1．【证明】〔1〕由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1．所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤eq\f(1,3)．〔2〕因为eq\f(a2,b)＋b≥2a，eq\f(b2,c)＋c≥2b，eq\f(c2,a)＋a≥2c，故eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋