2023年一元二次方程竞赛训练题

一元二次方程竞赛训练题1.方程是实数)有两个实根、,且0<<1,1＜＜２,那么k的取值范围是(）(A)３<k<４；(B)－２<k＜-1；（C）3<ｋ<４或－2＜k＜-1 ﻩ（D）无解。２．方程，有两个整数根,则3．方程的解是（）(A）；（B)；（C)或；(D)．4．已知关于ｘ的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为2和4;乙由于看错了某一项系数的符号,误求得两根为－1和４，那么，.5．若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是()(Ａ)>（B)=(C)<；(D）不拟定.６．若方程有四个非零实根,且它们在数轴上相应的四个点等距排列,则=_________＿__．7.假如方程的三根可以作为一个三角形的三边之长,那么实数ｍ的取值范围是（)ﻩﻩ(A);(B）；（C）；（Ｄ）8.设是二次方程的两个根,那么,的值等于（)(Ａ)（Ｂ）8；(C）６；（D)0..9.已知m,ｎ是有理数，并且方程有一个根是，那么m+n的值是_____＿。求所有正实数ａ，使得方程仅有整数根。已知且,则=_＿＿＿_＿_＿。12．已知:ａ,ｂ，c三数满足方程组，试求方程bｘ２+cx－a=0的根。13．设m是整数，且方程的两根都大于而小于,则m=_＿_＿＿_＿＿__＿＿．14.已知实数，且满足,.则的值为（).（Ａ)２3(B)（C)(D)1５．假如x和y是非零实数，使得和,那么x＋ｙ等于（).（A）3(B)(Ｃ）（Ｄ)1６.已知实数a、b、x、ｙ满足，，则．17.实数x、y、z满足x＋y+z＝5,xy+ｙz+zx=3,则z的最大值是.18．已知a，b是实数,关于x，ｙ的方程组有整数解，求ａ,b满足的关系式．19.已知b2-4ac是一元二次方程ａx２＋ｂx＋c=0(a≠0)的一个实数根,则ab的取值范围为（)(A)(B)(Ｃ)(D）２0．在中,斜边AB＝5，而直角边BC，AC之长是一元二次方程的两根,则ｍ的值是()A、4B、-1Ｃ、4或-1D、－4或121．已知ａ为实数，且使关于x的二次方程有实根,该方程的根x所能取到的最大值是。22．设,,为互不相等的实数，且满足关系式①及，②求的取值范围．一元二次方程竞赛训练题(答案）：1.解:记由２．8.原方程整理为设x1,x2为方程的两个整数根,由x1+ｘ２=a+8，知a为整数,因此，ｘ-a和ｘ-8都是整数。故由原方程知x－ａ=x-8(=±1)∴所以a＝83.(D)设是方程的解，则—也是方程的解,排除(Ａ)、（B）;(D)的两值必是方程的解，否则方程的解也不是（C).将代入方程，左边≠０，排除（C).4．６设甲将a看为ａ′,由韦达定理得由于一次项系数b的符号不改变判别式的值,因此，乙只能是看错a或ｃ的符号.于是a’由①②得5．(B)设是方程的根,则．所以.6.设，原方程变为．设此方程有根,则原方程的四个根为，.由于它们在数轴上相应的四个点等距排列，∴,故．由韦达定理,得,,于是,∴．7.(C）由于有两根,故≥０,得m≤１．原方程的三根为，,.显然,x2≤x1≤x３.注意到，由此得.8．（Ｄ)∵x1，x2是二次方程的两个根,∴,,即,.由根与系数的关系知,从而有.９.3ﻩ由于m、n为有理数，方程一根，那么另一个根为,由韦达定理。得m=4,n=-1,∴ｍ+n=310．设两整数根为x,y（ｘ≤ｙ） ∴x=5时,ａ=２５时，y＝２0时；ｘ=６时,ａ=18时，y=１2；x=7时,a不是整数,x=8时；a＝１6，y=8；于是a=25或1８或16均为所求。１１解.:,即,，,，,1２.由方程组得：a、ｂ是方程x2－8x＋ｃ2-c+4８＝0的两根△＝-4(c-）２≥0，c＝4a=b=4所以原方程为x2+x-1＝0x1=，x2=13．解：这是一个二次方程的区间根问题，可根据二次函数图象的特点建立关于m的不等式，先求出ｍ的取值范围,再由ｍ是整数拟定m的根．设ｆ（x)=3x2+mx-2，由二次函数的图象,得解得∵m是整数,∴只有m=4．１4.答:选（B)∵a、b是关于x的方程的两个根，整理此方程，得，∵,∴，.故a、b均为负数.因此15.答：选(D)将代入,得.（１）当x>0时，，方程无实根;（2）当x<０时，,得方程解得,正根舍去，从而.于是.故.因此,结论(D）是在对的的.16.答:解：由,得，∵，∴.因而，1７．答:解:∵,,∴x、ｙ是关于ｔ的一元二次方程的两实根.∵,即，.∴，当时，．故ｚ的最大值为．18.解：将代入,消去a、b，得,………(5分）.若ｘ＋1＝０,即，则上式左边为0，右边为不也许.所以x＋1≠0，于是.由于x、ｙ都是整数,所以,即或0，进而ｙ=8或０.故或………(10分）当时,代入得，;当时,代入得，.综上所述,ａ、b满足关系式是,或者，ａ是任意实数.………(1519.Ｂ20.设方程的根为,依题意＝即解得m=4或-1但>0，２m-１>0所以m>０故ｍ=4选Ａ21.a为实数，当时,关于a的二次方程有实根，于是 。当a=０时，x＝0综上,２2．解法1:由①-2×②得，所以.当时,.…10分又当＝时，由①，②得，③，④将④两边平方，结合③得，化简得，故，解得,或．所以,的取值范围为且，.……………１5分解法２：由于,,所以=＝,所以