知识讲解正弦函数、余弦的性质

函数y

f(xI

xI都有f(xT

f(x)Ty

f定义是对Ixxf(xT)

f(x)xf(xT)

f(x)都不能说Ty

f(xRR[-[-最小正周期最小正周期 最大值点(2k2最小值点(2k2最大值点2k2k,(k,2xk2x正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线ysin(xysin(xysinxysinxyAsin(x)yAcos(xA,0函数yAsin(x)与函数yAcos(x)可看作是由正弦函数ysinxycosxysinxycosx值域A,yAsin(x)yAcos(xA,0的函数的单调区间可以xysinxycos的单调递增（减）区间对应解出x（）2k2

x2k(kZ2

解出x的范围所得区间即为增区间，由2k2

x2k3(kZx2yAsin(x)yAcos(xA,0yAsin(x，当k(kz时为奇函数，当k(kz2yAcos(x，当k(kz时为偶函数，当k(kz)2yAsin(x)，yAcos(xyAsin(x)yAcos(xx其周期为T2ysinxxk(kzyAsin(x)（2最小值，因此函数yAsin(x)的对称轴由xk(kz2xk(kz)，即对称中心为k0(kz)．同理，yAcos(x)的对称轴由 xk(kz解出，对称中心的横坐标由xk(kz2xRyAsin(x)yAcos(x2sin2xcosx例2sin2xcosx【答案】x2k2x2k2kZ 2∴定义域为x2k2x2k2kZ 1ylg(2sinx12sinx－1＞0，即sinx12kx2k5（k∈Z ∴函数的定义域为x2kx2k5kZ y=3―2siny2sin2x，x, 3 66 ycosx2cosx【答案（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3, （1）∵－1≤sinx≤1，∴－2≤2sinx≤2，∴－2≤－2sinx≤2，∴1≤3－2sinx≤5，∴函 （2）∵ x ，∴02x ∴0sin2x1．∴02sin2x2 3 3 （3）∵ycosx2cosx11 cosx cosx 1cos当cosx=－1时， 113 ∴函数的值域为3 【总结升华】一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数1y=cos2x+4sinx―2【解析】y=cos2x+4sin=―sin2x+4sin=―(sin∵－1≤sinsinx=―1时，ymin=―6sinx=13y2sinx 4 y2sinx2sinx 4 y2sinxy2sinx 4∴

x

3（k∈Z 2k3x2k7（k∈Z．x的递增 间为2k ,2k 444y2

（k∈Z．yAsinxA0,0的单调区间的确定，基本思想是把x

【变式1（2015 期中）已知函数ysin(1 【答案（1）T=4π，[1 （2） （1）由题意函数的周期T12 ∵x∈[0，π]，∴1x[ 6

4∴sin(1x)[1 3] 即函数在区间[0，π]上的值域为[1 3] （2）ysin(1x ysin(1x

令 x 2k 令 x 2k 解得4k5x4k

x k=－1，可得7x ∴函数的单调递增区间为：[2和[52]． 4．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)（2）f(x)

2sin(2x5)222sinx【思路点拨（1）f(x

（2）（1）函数定义域为R，且f(x)

2sin2x5 2sin2x

2cos2x 2 f(xf(x恒成立f(x)

2sin2x5 （2）2sinx－1＞0，即sinx1，得函数定义域为2k2k5（k∈Z）x2

f(x)是否等于f(x)f(x，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．xf(x=sin(x+①对任意的f(x②不存在f(x③存在f(x④对任意的f(x .因为当 当=2kπ，k∈Zf(x=sinx当=2(k+1)π，k∈Zf(x)sinx当2当=2kπ2

，k∈Zf(x，k∈Zf(x=-cosx，f(x所以②和③都是正确的.无论为何值都不能使f(x)恒等于零.所以f(x)【解析】①，kπ(k∈Z)；或2

+kπ(k∈Z)；或者2

5（2015）f(x2sin(2x4x（1）当sin(2x)1，即2x2k xk3，k∈Z8f（x）2x的集合为{x|x3kkZ}；8 （2）由 2k2x 2k，得 kx k k,3k] 2k2x32k3kx7k f（x）的单调递减区间为[3k7k

（3）

k，得x

k f（x）x31k k，得x k，k∈Z，即对称中心为 k,0) x轴的交点，即此时的正弦0．【课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836例1（1）ysin(x)（2）ycos(2x) 【解析】（1）tx，则ysinxsint的对称轴方程是tk（kZ） 4 k （k∈Z， （k∈Z． ysinxxk（k∈Z． 4 xk，xk，即对称中心为k,0 令t2xycos2xcost的对称轴方程是tk（k∈Z2x

k 3 Zxk（k∈Z． ycos2xxk（k∈Z． 3

k5,0

k ，x

212，即对称中心为

6．求下列函数的周期：（2）（3） 3 3 3 6（4）y2sin1xcos1 3 6 （1）①zx，而sin(2z)sinzf(2z)3

f(z)f(x2)fx 3 3 z=2xf(x)cos2xcoszcos(z2)cos(2x2)cos[2(xf(x)

f(x) zx f(x)3sinz3sin(z2)3sinx23sinx4

f(x4)

3

2sin22x6cos2x62cos2x6cos2x6cos2x6 ∴T12

4【课堂：正弦函数、余弦函数的性质394836例2（1）y|sinx（2）ysin|x|ysin(2x)3（1）是T

（2）（3）T227．已知函数f(x)log1|sinx|．2法．在（4）f(x)log1|sinx|ylog1u，u=|t|，t=sinx复合而成． （1）由|sinx|0，得sinx0∵0|sinx|1，∴log1|sinx|02（2）∵f(x)log1|sin(x)|log1|sinx|f(x) f(x∵f(x)log1|sin(x)|log1|sinx|f(x) π（t=|sinxkk时，sinx＞0，t=|sinx| 2 xkk时，sinx＜0，t=|sinx| yl