2023年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及解答

2０23年北京市中学生数学竞赛高一年级复赛试题及参考解答202３年５月１6日8:３０～10：３0.一、填空题小题号12345答案20２3５1.函数是定义在R上的周期为3的函数,右图中表达的是该函数在区间上的图像.则的值等于.答：.理由:则2.方程的所有根的立方和等于.答:.解:方程等价于………＝1\＊GB3①与……=2＼*GB3②由=１＼*GB3①得：，由=2＼＊GB3②得:，所以所以.所以.3.如右图,AB与⊙Ｏ切于点Ａ.连接B与⊙Ｏ内一点Ｄ的线段交圆于点C.并且AＢ=6,ＤC＝CB=３，OＤ=２,则⊙O的半径等于.答：解:延长BD交圆于Ｅ，延长OD交圆于F,G(如左图）.FG是⊙O的直径.设⊙O的半径为ｒ，由切割线定理,有即所以DE=6.由相交弦定理可得即所以解得．4．满足方程的函数.答：解：取x＝1和ｘ=0代入方程,得，进而得于是经检查，所求的函数满足方程．5．若一个自然数比它的数字和恰好大2023,这样的自然数叫做“好数”,则所有“好数”的和等于.答：20２３5.解:设其中是自然数n的数字和.则函数是非严格的增函数．所以满足条件的所有自然数只有10个:２0２3,２023,2023,202３，202３,2023，202３,2023，２０23,２０23.其和为２023+２023+2０23+20２３+2023+2０2３＋2023＋2023＋2０２3+２023=２023５.二、(满分１5分)如图,四个阴影三角形的面积都等于1（1）求证:;（2)求证:；（3)求的值.解答:(1）设，连接AＢ2，则连接B1C2，CA2，则Ｂ1C2//CＡ２,所以由所以同理，设设因此,得(２)由上所证，易知也就是所以.同理由BA2=B1A2可证得因此（3）由即这样由解得（负根舍去！).所以因此三、(满分1５分）能否将2023写成k个互不相等的质数的平方和?假如能,请拟定出所有的ｋ值,并对相应的k值各写出一个例子;假如不能,请简述理由．解:（1)设为质数,若２023能写成k个质数的平方和，则当时,取最小的10个互不相等的质数的平方和，则4+9+25+４9+121＋169+28９+361+52９＋8４1=2397>2023，因此（2)由于只有一个偶质数2，其余质数都是奇数,而奇数的平方仍是奇数,并且被8除余1．所以若时,则２02３=，则都是奇数．若,左边２02３被8除余2.当k=4时,右边被8除余4;当ｋ=6时,右边被8除余6；当k＝8时,右边被8除余０;这３种情况等式都不能成立.当ｋ=2时,由于质数中只有32被３除余0,而其余所有质数的平方都被3除余１.因此，两个不同质数的平方之和被3除余1或余2,而２０23被3除余０.所以,2023不能表为2个互不相等的质数的平方和.因此,当时,２０2３都不能表达为2个、４个、６个、8个质数的平方之和.(３）对时，k＝1时,2023显然不是一个质数的平方.k=3时，若2023＝其中必有一个偶质数的平方,两个奇质数的平方．左边被８除余2，右边被８除余6，等式不能成立.k=5时,若２02３=其中必有一个偶质数的平方,4个奇质数的平方.左边被8除余２，右边被８除余0,等式不能成立.k=９时,若2023＝,其中必有一个偶质数的平方，两个奇质数的平方.左边被8除余２,右边被８除余4,等式不能成立．只有k=7时，2023=,左边被8除余2,右边被８除余2,等式也许成立.我们试算可知，，因此，2０2３只可以表达为７个不同质数的平方和.唯一地k=7,其例如上.四、(满分15分）已知平面上９个点，任两点间的距离都不小于1.证明，其中至少存在两个点间的距离不小于证明:设已知的9个点的集合记为S.则在平面上可画一直线l，使S在l同一侧．平移直线l，直到碰到S中的点O为止.这时,S中的点在直线l上或l的同一侧.以Ｏ为圆心1为半径画圆与直线l交成半圆区域Ｐ，再以O为圆心为半径画半圆,如图所示,与直线ｌ和前面画的半圆（O，１）交成半圆环Q.我们看到,已知9个点中一个点为Ｏ,其余8个点不能在半圆区域P中，我们证明,这８个点中至少有一个点不在半圆环Q中.事实上，我们以Ｏ为始点作射线,将半圆环Q等分为圆心角为的7个相等的社区域，如图记为Q1,Q2，Q3，Q4,Q5,Q6,Q7,我们估计中两点间的距离().半圆环宽度;且(由于）可见，每个中任两点间的距离都小于1.所以每个中至多分布S的前述8个点中的1个点.因此,前述8个点中至少有一点Ａ要分布在半圆（）之外．因此五、(满分15分）已知如图，凸四边形AＢCD的对角线交点为O.O1,O2，O3，Ｏ４分别为△AOB,△ＢＯＣ，△COD，△DOA的内切圆圆心,相应的内切圆半径ｒ1，r２,r3，r4满足关系式求证：（1)四边形ＡＢCD存在内切圆;(2）Ｏ1，Ｏ2,O3,O4四点共圆．证明：(1)设ＡB=ａ,BC=b，CD=c，ＤA=d,AO=x,BO=y,ＣO=ｕ，DO＝v，,则.根据已知等式(其中,S是三角形的面积,p是半周长，r是内切圆半径）,由已知条件得到关系式，由此得出aｕv＋cｘｙ＝bxv+ｄyu.平方得用余弦定理表达a２，ｂ2,ｃ２，d２并代入上式，得化简得2ac-2ｋuv–2ｋxy=2bd＋2kxv+２kyｕ.等式左右两边同时添加x2+ｙ2+u2+ｖ２得2ａc+（ｕ2＋ｖ２-2kuv）＋（x2+y2–２kｘy)=2bd+(x2+ｖ2-2kxｖ)+(y２+ｕ2－2kyu)即２ac+c2+ａ2=２bd＋d２+b2，也就是由此得证四边形ABＣＤ存在内切圆．(2）设易知,Ｏ1,O,O3三点共线,O2，Ｏ,O4三点共线，且.因此要证Ｏ１,O2，O3，O4四点共圆，我们必须证明OO1×ＯＯ３=OO2×OO4.或者①事实上，设由O引向的