2018版高中数学第一章立体几何初步1.2.3第1课时直线与平面垂直学案2

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE16学必求其心得，业必贵于专精1．2.3第1课时直线与平面垂直学习目标1.理解直线与平面垂直的定义及性质.2.掌握直线与平面垂直的判定定理及推论，并会利用定理及推论解决相关的问题．知识点一直线与平面垂直的定义及性质思考在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化,为多少?梳理直线与平面垂直的定义及性质(1）直线与直线垂直如果两条直线相交于一点或________________相交于一点,并且交角为________,则称这两条直线互相垂直．(2)直线与平面垂直的定义及性质定义及符号表示图形语言及画法有关名称重要结论如果一条直线(AB）和一个平面（α)相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的________________．我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作__________把直线AB画成和表示平面的平行四边形的一边垂直直线AB：平面α的________；平面α：直线AB的______；点O：________；线段AO:点A到平面α的________;线段AO的长:点A到平面α的________如果一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的____________直线垂直知识点二直线和平面垂直的判定定理及推论将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触）．观察折痕AD与桌面的位置关系．思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直?梳理直线与平面垂直的判定定理及推论定理及推论文字语言图形语言符号语言判定定理条件:一条直线与平面内的两条________直线垂直,结论:这条直线与这个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥m,a⊥n,，，m∩n＝A））⇒a⊥α推论1条件:两条________直线中的一条垂直于一个平面，结论:另一条直线也垂直于这个平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,))⇒m⊥α推论2条件：两条直线垂直于________平面,结论：这两条直线平行eq\b\lc\\rc\｝（\a\vs4\al\co1（l⊥α,)）⇒l∥m类型一直线与平面垂直的判定例1如图，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点，求证:BC⊥平面PAC。引申探究若本例中其他条件不变，作AE⊥PC交PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.反思与感悟利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤（1)在这个平面内找两条直线，使它和这条直线垂直．(2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线．(3)根据判定定理得出结论．跟踪训练1如图,直角△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．（1）求证：SD⊥平面ABC;（2）若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC。类型二线面垂直的性质的应用例2如图所示,正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC,A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1反思与感悟平行关系与垂直关系之间的相互转化跟踪训练2如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A,EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l。类型三线面垂直的综合应用例3如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点,求证：MN⊥CD.反思与感悟若已知一条直线和某个平面垂直，证明这条直线和另一条直线平行，可利用线面垂直的性质定理，证明另一条直线和这个平面垂直,证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质．跟踪训练3如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a,CD＝a，F是BE（1）DF∥平面ABC；（2)AF⊥BD.1．如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况,能保证该直线与平面垂直的是()①三角形的两边；②梯形的两边;③圆的两条直径；④正六边形的两条边．A．①③ B．②C．②④ D．①②④2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(）A．平行 B．垂直C．相交 D．不确定3．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α,c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α4．如图，设平面α∩β＝EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分别是B，D,BD⊥EF，则AC与EF的位置关系是________．5。如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O1．直线与平面垂直的判定方法：（1)利用定义;(2)利用判定定理，其关键是在平面内找两条相交直线．2．对于线面垂直的性质定理(推论2）的理解:(1）直线与平面垂直的性质定理（推论2)给出了判定两条直线平行的另一种方法．（2)定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直"与“平行”关系转化的依据．答案精析问题导学知识点一思考不变,90°。梳理（1）经过平移后直角(2）任何直线都垂直AB⊥α垂线垂面垂足垂线段距离任意一条知识点二思考1不一定．思考2当AD⊥BD且AD⊥CD时,折痕AD与桌面垂直．梳理相交m⊂αn⊂α平行l∥m同一个m⊥α题型探究例1证明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.引申探究证明由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。跟踪训练1证明（1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC。在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，又因为SB＝SA，SD＝SD，所以△ADS≌BDS。所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D,所以SD⊥平面ABC。（2)因为BA＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥平面ABC,所以SD⊥BD。于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC。例2证明如图，连接AB1,B1C，BD,B1D1∵DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，∴AC⊥BD1。同理,BD1⊥B1C，∴BD1⊥平面AB1∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C∴EF⊥B1C又∵EF⊥AC，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1跟踪训练2证明因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB,又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB。因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a,又a⊥AB,EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此,a∥l.例3证明如图，取PD的中点E，连接AE,NE，因为N为PC的中点，则NE∥CD，NE＝eq\f(1，2)CD，又因为AM∥CD，AM＝eq\f(1，2）CD，所以AM∥NE,AM＝NE，即四边形AMNE是平行四边形，所以MN∥AE.因为PA⊥矩形ABCD所在平面,所以PA⊥CD，又四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD,PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,所以CD⊥AE，所以MN⊥CD。跟踪训练3证明(1)取AB的中点G,连接FG，CG，可得FG∥AE,FG＝eq\f(1,2)AE。∵CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，∴CD∥AE.又∵CD＝eq\f（1,2）AE,∴FG∥CD，FG＝CD。∴FG⊥平面ABC，∴四边形CDFG是矩形，DF∥CG。又∵CG⊂平面ABC，DF⊄平面ABC,∴DF∥平面ABC。（2）在Rt△ABE中，∵AE＝AB，F为BE的中点，∴AF⊥BE。∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB,∴DF⊥AB.∵AE⊥平面ABC,CG⊂平面ABC,∴AE⊥CG，∴AE⊥DF。且AE∩AB＝A，∴DF⊥平面ABE,∵AF⊂平面ABE，∴AF⊥DF.∵BE∩DF＝F，BE⊂平面BDE，DF⊂平面BDE，∴AF⊥平面BDE,∴AF⊥BD.当堂训练1．A2。B3。D4．垂直解析∵AB⊥α，CD⊥α，∴AB∥CD,故直线AB与CD确定一个平面．∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF,又BD⊥EF,AB∩BD＝B，∴EF⊥平面ABDC。∵AC⊂平面ABDC，∴AC⊥EF。5．证