【决战高考】2019年高考数学二轮解题方法篇专题3解题策略第7讲

第7讲配凑法在解题中的应用[方法精要]为解答某些数学识题，常在运算或证明过程中奇妙地配上一些适合的数或式，凑成某一适合的形式，以使问题迅速解决，我们称这种解题技巧为配凑法．当题目给出的信息依据常规思路难以办理或结构差异比较显然时，常借助题目中的信息或特定的背景利用配凑法解决．题型一配凑法在函数中的应用例11已知f(x)－2f()＝x，求f(x)的分析式．x破题切入点x与111x互为倒数，故可用x取代x，近似解方程组，消去f(x)，即可求出f(x)的分析式．1111，解因为f(x)－2f()＝x，用x取代x可得f()－2f(x)＝xxx1联立fx－2fx＝x，11fx－2fx＝x，1x2＋2消去f(x)可得f(x)＝－3x，x2＋2所以f(x)的分析式是f(x)＝－3x.题型二配凑法在三角函数中的应用例2求cos20°cos40°cos60°cos80°.破题切入点20°、40°、80°恰好有二倍角的关系，而1cos60°＝可不用考虑变形，有二倍角的2关系即可联想到二倍角公式的应用，故分子、分母同乘2sin20配°凑成二倍角公式，频频利用二倍角公式即可．解cos20°cos40°cos60°cos80°2sin20cos20°°cos40°cos60°cos80°＝2sin20°1sin40cos°40cos°80°＝2·2sin20°1sin80cos°80°＝4·2sin20°1sin160°＝·°82sin20＝1sin20°1.·＝16sin20°16题型三配凑法在数列中的应用例3设{an}是公比为q的等比数列．求{an}的前n项和公式；设q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．破题切入点本题求数列的通项公式要分类谈论，分公比等于1和不等于1两种状况，当公比不等于1时，在前n项和Sn＝a1＋a2＋＋an－1＋an的两边同乘以q，获得qSn＝qa1＋qa2＋＋qan－1＋qan，配凑成错位相减的方法，而后整理就可以求出前n项和公式．解(1)分两种状况谈论．①当q＝1时，数列{an}是首项为a1的常数列，所以Sn＝a1＋a1＋＋a1＝na1.②当q≠1，Sn＝a1＋a2＋＋an－1＋an，两边同时乘以q(配凑成错位同类项)qSn＝qa1＋qa2＋＋qan－1＋qan.上边两式错位相减：(1－q)Sn＝a1＋(a2－qa1)＋(a3－qa2)＋＋(an－qan－1)－qana1－qan.所以Sn＝a1－qana11－qn＝.1－q1－qna1，q＝1，综上，Sn＝a11－qnq≠1.1－q(2)设{an}是公比q≠1的等比数列，假设数列{an＋1}是等比数列．则①当?n∈N*，使得an＋1＝0成立，则{an＋1}不是等比数列．②当?n∈N*n＋1≠0成立，，使得aan＋1＋1a1qn＋1则＝1n－1＋1恒为常数αaaqa1qn－1(q－α)＝α－1当a1≠0时，q＝1.这与题目条件q≠1矛盾．综上两种状况，假设数列{an＋1}是等比数列均不成立，所以当q≠1时，数列{an＋1}不是等比数列．题型四配凑法在几何中的应用例4如图，在△ABC中，已知三个角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且∠A＝120°，322求证：S△ABC＝[a－(b－c)]．12破题切入点由∠A＝120°知，∠B＋∠C＝60°，有这样的三个三角形可以配凑成一个等边三角形花环，求出两个三角形的面积的差，即为三个三角形面积的和，就可以求出△ABC的面积．证明以下列图，暗影部分是三个△ABC的面积，1＝°32S△BCD＝a·a·sin604a，2S1·sin60°2△32＝4(b－c)，1所以S△ABC＝3(S△BCD－S△AEF)13232＝3[4a－4(b－c)]3212[a－(b－c)]．总结提升“配凑”就是经过适合的拼与凑，使问题简洁、了然，从而达到比较简单解决问题的目的．一般来说，配与凑老是相辅相成、互为依赖、互为增补的，所谓配凑就是在解题过程中，对某些题目同时给式子的分子、分母乘以同一个不等于零的式子，也许给式子左右加减同一个式子，也许有目的地假造一个式子，使要解证的式子能出现某种特定的形式，或拥有某种特征，使问题向特定的方向转变，最后到问题的解决．配凑法是一种启示思想的好方法．1．方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是()11A.<k<1B．k<或k>144C．k∈R1或k＝1D．k＝4答案B分析把方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0化为圆的标准方程的形式(x－2k)2＋(y－1)2＝4k2－5k＋211，若表示圆，须满足4k－5k＋1>0，即k<4或k>1.2．函数f(x)＝log0.5(－2x2＋5x＋3)的单调递加区间是()55，＋∞)A．(－∞，]B．[44155，3)C．(－，]D．[244答案D分析要使函数有意义，须满足－2x2＋5x＋3>0，1即－2<x<3，25令t＝－2x＋5x＋3，其在x∈[4，3)上单调递减，又知y＝log0.5t单调递减，依据复合函数的单调性，5原函数在x∈[4，3)上单调递加．3．已知f(x)＋2f(－x)＝2x，则f(x)的分析式是()24A．f(x)＝－3xB．f(x)＝－3xC．f(x)＝－2xD．f(x)＝x答案C分析因为f(x)＋2f(－x)＝2x，用－x取代x可得f(－x)＋2f(x)＝－2x，两式联立得f(x)＝－2x.4．已知点P(x，y)的坐标满足25x2＋25y2＝|3x－4y－12|，则点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆答案C分析因为25x2＋25y2＝|3x－4y－12|，所以x2＋y2＝|3x－4y－12||3x－4y－12|5＝22.3＋4把坐标满足的关系式配凑成到原点的距离与到直线3x－4y－12＝0的距离相等，又因为直线不经过原点，故吻合抛物线的定义，所以其轨迹是抛物线．a2＋b2的最小值是()5．已知0<x<1，a>0，b>0，a，b为常数，则x1－xA．4abB．2(a2＋b2)C．(a＋b)2D．(a－b)2答案C分析因为0<x<1，所以0<1－x<1，2222所以a＋b＝(a＋b)[x＋(1－x)]x1－xx1－x21－xa2＝a2＋b2＋xb＋x1－xa2＋2ab＋b2＝(a＋b)2.6．已知α、β为锐角，且cosα＝4，tan(α－β)＝－1，则cosβ的值是()53910910A．－50B.50910C．±50D．以上都不对答案B4分析因为cosα＝5，α为锐角，2423所以sinα＝1－cosα＝1－5＝5，ππ又tan(α－β)＝－1，－<α－β<，32210310所以sin(α－β)＝－10，cos(α－β)＝10，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)91050.7．若函数f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，则()A．f(2)<f(3)<g(0)B．g(0)<f(3)<f(2)C．f(2)<g(0)<f(3)D．g(0)<f(2)<f(3)答案D分析因为f(x)，g(x)分别是R上的奇函数，偶函数，且满足f(x)－g(x)＝ex，－x－x，所以f(－x)－g(－x)＝e，即－f(x)－g(x)＝eex－e－xex＋e－x联立可得f(x)＝2，g(x)＝－2，依据函数的单调性f(2)<f(3)，而g(0)＝－1<f(2)．8．若x2＋x－1＝0，则x3＋2x2＋x＋1的值等于________．答案

3±52分析x3＋2x2＋x＋1＝x(x2＋x－1)＋(x2＋x－1)＋x＋2，因为x2＋x－1＝0，所以x3＋2x2＋x＋1＝x＋2，－1±5由x2＋x－1＝0，解得x＝2，所以x3＋2x2＋x＋1＝3±5.29．求sin220°＋cos250°＋sin20cos50°°的值．22°＋sin20cos50°°，解设M＝sin20°＋cos50配凑一个对偶式22°＋cos20°sin50，°则N＝cos20°＋sin50M＋N＝2＋sin70，°1M－N＝－cos40°＋cos100°－2，M＋N＝2＋sin70，°即1M－N＝－sin70－°2，3解得M＝4.223所以sin20°＋cos50°＋sin20cos50°°的值为4.4＋1的最小值．10．已知0<x<1，求函数y＝x1－x解因为0<x<1，所以1－x>0.1所以y＝x＋1－x＝[x＋(1－x)](4＋1)x1－x＝5＋41－xx≥9.＋x1－x41－xx当且仅当x＝，1－x2即x＝3时，上式取“＝”，故ymin＝9.11．正项数列{an}的前n项和{Sn}满足：S2n－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝n＋1*，都有Tn<5.22，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N64n＋2an(1)n2－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，解由S得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.因为{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.n＋1(2)证明因为an＝2n，bn＝22.n＋2ann＋1111则bn＝4n2n＋22＝16[n2－n＋22]．1111111111Tn＝16[1－32＋22－42＋32－52＋＋n－2－n＋12＋n2－n＋2]121111＝16[1＋22－n＋12－n＋22]<115.16(1＋2)＝6422212．(2014北·京)已知椭圆C：x＋2y＝4.(1)求椭圆C的离心率；设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．2解(1)由题意，椭圆C的标准方程为x4＋y2＝1，所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.所以a＝2，c＝2.2故椭圆C的离心率e＝a＝2.设点A，B的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，此中x