直线与平面平面与平面相对位置学习资料

1例1试判断直线AB是否平行于平面CDE。fgfgbaabcededc结论：直线AB不平行于定平面XO第1页/共54页第一页，共55页。2例2过点K作一水平线AB平行于已知平面ΔCDE。baaffbcededkkcXO第2页/共54页第二页，共55页。33.1.2平面与平面平行

若平面内的两相交直线对应地平行于另一平面内的两相交直线，则这两个平面平行。PSEFDACB第3页/共54页第三页，共55页。4fededfcaacbbmnmnrrss结论：两平面平行XO例3试判断两平面是否平行第4页/共54页第四页，共55页。5例4已知定平面由平行两直线AB和CD给定。试过点K作一平面平行于已知平面。emnmnfefsrsrddcaacbbkkXO第5页/共54页第五页，共55页。6例5试判断两平面是否平行结论：两平面平行efefsrsddcaacbbrPHSHXO第6页/共54页第六页，共55页。73.2相交问题3.2.1积聚性法3.2.2辅助平面法第7页/共54页第七页，共55页。8交点与交线的性质

直线与平面、平面与平面不平行则必相交。直线与平面相交有交点，交点既在直线上又在平面上，因而交点是直线与平面的共有点。两平面的交线是直线，它是两个平面的共有线。求线与面交点、面与面交线的实质是求共有点、共有线的投影。PABKDBCALKEF第8页/共54页第八页，共55页。93.2.1积聚性法

当直线为一般位置，平面的某个投影具有积聚性时，交点的一个投影为直线与平面积聚性投影的交点，另一个投影可在直线的另一个投影上找到。VHPHPABCacbkNKM第9页/共54页第九页，共55页。10直线可见性的判别bbaaccmmnkn

特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影能直接判别直线的可见性--观察法VHPHPABCacbkNKMk在平面之前第10页/共54页第十页，共55页。11XOa’a(b)b’c’e’d’cefdf’kk’例6铅垂线AB与一般位置平面ΔCDE相交，求交点并判别可见性。第11页/共54页第十一页，共55页。12（2）两平面相交fk

求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,由于特殊位置平面的某些投影有积聚性，交线可直接求出。VHMmnlPBCacbPHkfFKNLnlmmlnbaccabXOfk第12页/共54页第十二页，共55页。13平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLbbacnlmcmalnfkfkXO第13页/共54页第十三页，共55页。14平面可见性的判别VHMmnlBCackfFKNLXObbacnlmcmalnfkfk第14页/共54页第十四页，共55页。15过AB作平面P垂直于H投影面3.2.2辅助平面法DECP12KBA第15页/共54页第十五页，共55页。162PH1作题步骤：1、过AB作铅垂平面P。2、求P平面与ΔCDE的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与AB的交点K。XOabbacdeedc12kk第16页/共54页第十六页，共55页。17直线AB与平面ΔCDE相交，判别可见性。(

)abbaceedcd124（

）kkXO33421第17页/共54页第十七页，共55页。18以正垂面为辅助平面求线面交点12QV21步骤：1、过EF作正垂平面Q。2、求Q平面与ΔABC的交线ⅠⅡ。3、求交线ⅠⅡ与EF的交点K。feefbaacbckk第18页/共54页第十八页，共55页。19

利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。FBCALKED两一般位置平面相交求交线的方法第19页/共54页第十九页，共55页。201、用直线与平面求交点的方法求出两平面的两个共有点K、L。baccbaddeffePVQV21kkll2、连接两个共有点，画出交线KL。XO作题步骤12第20页/共54页第二十页，共55页。21利用重影点判别可见性baccballnmmnkeek3

4

()34

21()1

2XO两平面相交，判别可见性第21页/共54页第二十一页，共55页。22例7试过K点作一直线平行于已知平面ΔABC，并与直线EF相交。acbacbfeefkkXO第22页/共54页第二十二页，共55页。23分析FPCABEKH

过已知点K作平面P平行于

ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。第23页/共54页第二十三页，共55页。24作图步骤mnhhnmffacbacbeekkPV11221、过点K作平面KMN//

ABC平面。2、过直线EF作正垂平面P。3、求平面P与平面KMN的交线ⅠⅡ。4、求交线ⅠⅡ与EF的交点H。5、连接KH，KH即为所求。第24页/共54页第二十四页，共55页。253.3垂直问题3.3.1直线与平面垂直3.3.2平面与平面垂直第25页/共54页第二十五页，共55页。263.3.1直线与平面垂直VHPAKLDCBE

几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面的一切直线。第26页/共54页第二十六页，共55页。27

定理1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该平面的正平线的正面投影。VPAKLDCBEHaadcbdcbeeknknXO第27页/共54页第二十七页，共55页。28

定理2（逆）：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO第28页/共54页第二十八页，共55页。29acacnnmfdbdbfm例8平面由

BDF给定，试过定点M作平面的垂线。第29页/共54页第二十九页，共55页。30hhhhhhkkSVkkPVkkQH例9试过定点K作特殊位置平面的法线。第30页/共54页第三十页，共55页。31efemnmncaadbcdbfXO例10平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN是否垂直于定平面。第31页/共54页第三十一页，共55页。32例11试过点N作一平面，使该平面与V面的夹角为60°，与H面的夹角为45°。nnXO第32页/共54页第三十二页，共55页。33平面的法线与平面的最大斜度线对同一投影面的夹角互为补角HPAKFDCBEf分析第33页/共54页第三十三页，共55页。34直径任取NM|yM-yN||zM-zN|mhmnmk|zM-zN||yM-yN|30°45°mnmnkhnnXO作图过程第34页/共54页第三十四页，共55页。353.3.2两平面垂直

几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所有平面都垂直于该平面。PAB第35页/共54页第三十五页，共55页。36

反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。ABⅠⅡ两平面垂直两平面不垂直ⅡⅠAB第36页/共54页第三十六页，共55页。37ghacachkkfdbdbfgXO例12平面由

BDF给定，试过定点K作已知平面的垂面第37页/共54页第三十七页，共55页。38ghachackkbbgffdd结论：两平面不平行。XO例13试判断

ABC与相交两直线KG和KH所给定的平面是否垂直。第38页/共54页第三十八页，共55页。393.4综合问题分析及解法3.4.1空间几何元素定位问题3.4.2空间几何元素度量问题第39页/共54页第三十九页，共55页。40

平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。求解综合问题主要包括：空间几何元素的定位问题（交点、交线）和空间几何元素的度量问题（如距离、角度）。综合问题解题的一般步骤：

1.分析题意

2.明确所求结果，找出解题方法

3.拟定解题步骤第40页/共54页第四十页，共55页。41例14已知三条直线CD、EF和GH，求作一直线AB与CD平行，并且与EF、GH均相交。cghefdcefghdXO3.4.1空间几何元素定位问题第41页/共54页第四十一页，共55页。42分析

所求得直线AB一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。ABCDHGEF第42页/共54页第四十二页，共55页。43作图过程kkcghefdcefghdXOPV1122aabb第43页/共54页第四十三页，共55页。44例15试过定点A作直线与已知直线EF正交。aefafeXO第44页/共54页第四十四页，共55页。45分析EQFAK过已知点A作平面与已知直线EF交于点K，连接AK，AK即为所求。第45页/共54页第四十五页，共55页。46作图过程21aefafe122PVaefafe1kk21第46页/共54页第四十六页，共55页。47例16求点C到直线AB的距离。cabcabXO第47页/共54页第四十七页，共55页。48分析PABCK

过C点作直线AB的垂线CK一定在过C点并且与AB垂直的平面P内，过C点作一平面与直线AB垂直，求出该平面与AB的交点K，最后求出垂线CK的实长即为所求。第48页/共54页第四十八页，共55页。49作图过程cabcabXOeded1212kk所求距离第49页/共54页第四十九页，共55页。50例17求交叉直线AB和CD的公垂线。ccababXOdd3.4.1空间几何元素度量问题第50页/共54页第五十页，共55页。51分析LKABDCGHEFP

过一条直线CD作平面P平行于另一条直线AB，在过点A作平面P的垂线AH，求出垂足点E；在平面P上过点E作直线EF∥AB与直线CD交于点K；过点K作直线KL∥AH交AB于L点，KL即为所求的公垂线。第51页/共54页第五十一页，共55页。52作图过程ccababXOddgg1122h