正弦定理与余弦定理时

1.余弦定理(1)语言叙述：三角形任何一边的平方等于_________________减去__________________________的积的_________．(2)公式表达：a2＝____________________；b2＝____________________；c2＝____________________.其他两边的平方和

这两边与它们夹角的余弦

两倍

b2＋c2－2bccosA

a2＋c2－2accosB

a2＋b2－2abcosC

第1页/共28页第一页，共29页。(3)变形：cosA＝________________；cosB＝________________；cosC＝________________.2．余弦定理及其变形的应用应用余弦定理及其变形可解决两类解三角形的问题，一类是已知两边及其________解三角形，另一类是已知________解三角形．夹角三边

第2页/共28页第二页，共29页。3．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，则cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．规律：设c是△ABC中最大的边(或C是△ABC中最大的角)，则a2＋b2<c2⇔△ABC是_______三角形，且角C为_______；a2＋b2＝c2⇔△ABC是_______三角形，且角C为______；a2＋b2>c2⇔△ABC是_______三角形，且角C为_______．钝角钝角

直角

直角锐角

锐角

第3页/共28页第三页，共29页。题型一、已知两边及一角解三角形

第4页/共28页第四页，共29页。第5页/共28页第五页，共29页。第6页/共28页第六页，共29页。题型二、已知三边解三角形

第7页/共28页第七页，共29页。第8页/共28页第八页，共29页。变式训练2．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，试求最大角的度数．第9页/共28页第九页，共29页。解：由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c，∴a∶b∶c＝3∶5∶7，∴角C为最大角，可令a＝3t，b＝5t，c＝7t(t>0)，第10页/共28页第十页，共29页。例3、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，确定△ABC的形状．题型三、判断三角形的形状

第11页/共28页第十一页，共29页。解：解法一：利用角的关系来判断．∵A＋B＋C＝180°，∴sinC＝sin(A＋B)．又∵2cosAsinB＝sinC，∴2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，∴sin(A－B)＝0.∵A与B均为△ABC的内角，∴A＝B．第12页/共28页第十二页，共29页。第13页/共28页第十三页，共29页。变式训练3、在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．第14页/共28页第十四页，共29页。第15页/共28页第十五页，共29页。解法二：已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosB·cosC，∴b2＋c2＝b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosB·cosC，∵b2cos2C＋c2cos2B＋2bccosBcosC＝(bcosC＋ccosB)2＝a2，∴b2＋c2＝a2，∴△ABC为直角三角形．第16页/共28页第十六页，共29页。题型四、正、余弦定理的综合应用例4第17页/共28页第十七页，共29页。第18页/共28页第十八页，共29页。第19页/共28页第十九页，共29页。变式训练4．若本例题中(2)的条件不变，试求“△ABC内切圆的半径r”．第20页/共28页第二十页，共29页。第21页/共28页第二十一页，共29页。1.在△ABC中，若a<b<c，且c2<a2＋b2，则△ABC为(

)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．不存在解：∵a<b<c，且c2<a2＋b2，∴∠C为锐角．又∵∠C为最大角．故选B．课堂练习第22页/共28页第二十二页，共29页。第23页/共28页第二十三页，共29页。第24页/共28页第二十四页，共29页。4．已知三角形的两边长分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x2＋3x－2＝0的根，则第三边的长是________．第25页/共28页第二十五页，共29页。第26页/共28页第二十六页，共29页。余弦定理第27页/共28页第二十七页，共29页。谢谢您的观看！第28页/共28页第二十八页，共29页。内容总结1.余弦定理。第1页/共28页。a2＋b2>c2⇔△ABC是_______三角形，且角C为__