运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题

运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题江西省高安中学数学教研组章勇生江西省高安中学数学教研组章勇生本文“运用参数方程知识巧解直线与圆锥曲线相切问题”是我在运用几何画板作椭圆和双曲线时的一点感悟，运用这种方法解题，使运算量大大减少，学生易接受，并且解题成功率大大提高。关键词：一一对应、参数方程、三角变换一、 再现如何运用参数方程作椭圆和双曲线1、 用几何画板作椭圆：TOC\o"1-5"\h\z、以原点为圆心，分别以a,b长为半径作圆。 ,、在以a为半径的圆上任取一点M，连结OM，交以 .b为半径的圆于点N。 4 :、过点M作X轴的垂线,再过点N作前垂线的垂线交 网于点H。、同时点M和H点，再从菜单选项中选择轨迹便可■■■得所需要的椭圆。 ……理论根据：设ZAOM=e，则IOCI=IOMIcos。=acos0,ICHI=INDI=IONIsin。=bsin0,根据椭圆的参数方程知，点H的轨 ： ：迹是一个椭圆。 4 :■■- I -■■ I2、用几何画板作双曲线： 人.以坐标原点O为圆心，分别以a=OA、b=OB(a,b>0)为半径画两个圆；.圆OB与x轴的正方向交于点C，过C作x轴的垂线，\ |Ni/V.在圆OA上取一点P，连接。？，直线OP与过点CI: 芸/且和x轴垂直的直线交于点N，过点N作x轴的平行线 \B/ \NM； \ /:.过点P作PR垂直于OP,交x轴于点R；.过点R在x轴的垂线交直线NM于点M； [y/W:.分别选中点M和点P，用"作图"菜单中的"轨迹"功能，一J1*:L—画出双曲线。 \人/"灯"TOC\o"1-5"\h\z理论根据： 乂：设ZxOP=0，则IORI=IOPIsec0=asec0,IRMI=INCI= / \iIOCItane=btan0,根据双曲线的参数方程知，点M的轨 / \!迹是一个双曲线。 // 4 :\二、 从作图中得到的启示从作图中我们发现，椭圆中的e(0°^eV360°)与点M的位置，应该是一一对应的关系，即一个e的值对应一个M的位置，当e的值有两个，则说明对应着两个M点。同样，在双曲线中的e(0°^eV360°)与点？的位置，也应该是一一对应的关系，一个e的值也对应一个p的位置，而e的值不同，对应的p值也不同。于是，我们可以大胆地推测，如果是讨论椭圆m+b.=1与直线mx+ny+k=0相切的问题，可考虑将椭圆上的点表示成M(acos0，bsin0)，该点在直线mx+ny+k=0上，所以m・acos0+n*bsin0+k=0，再将此方程变形为，；(ma)+(nb*•sin(0+8)=-k，其中中=arctan竺nb或n—arctan竺。由于直线与椭圆相切，因此椭圆上满足直线mx+ny+k=0的点M只有一个，nb当且仅当lsin(。+^)1=1时，0有唯一解。I因此有v(ma*+(nb，=—k|，即(ma*+(nb)2=k2。同样对于双曲线三-苔=1与直线mx+ny+k=0相切的问题，可考虑将双曲线上的点表示成P(asec0，btan0)，该点在直线mx+ny+k=0上，所以m•asec0+n•btan0+k=0，同时乘以cos0得nbsin0+kcos0+ma=0,再将此方程变形为\：(nb2+(*•sin(0+8)=-ma，k-、 k其中^=arctan^或n—arctan艾。由于直线与双曲线相切，因此双曲线上满足直线的点Pnb nb只有一个，当且仅当|sin(0+^)|=1时，0有唯一解。因此有x(nb)2+(k)2=—ma|，即k2+(nb)2=(ma*。以上结论虽然直接由圆锥曲线方程与直线方程联立方程组同样可以得到，但运算量非常大，下面我们通过例子来对照一下。三、举例：例1：已知椭圆中心在原点，焦点在X轴上，焦距为4舟，且和直线3%+2目y-16=0相切，求椭圆方程。若用常规方法：设椭圆方程为打+y2=1，它与直线3%+2.3y-16=0相切，所以有：a2b22,16-3%、b2X2+a2( )2—a22,2"7化简得：(28b2+9a2)x2-96a2x+256a2-28a2b2-0当△=(96a2)2-4(28b2+9a2)(256a2-28a2b2)=0时有9a2+28b2=256……①又•.•焦距为43， ..・a2-b2-12……②由①②联立得：a2-16，b2-4・.•所以椭圆方程为：法+号=1用参数法：设椭圆方程为兰+^2=1，其参数方程为[%=acos0，a2b2 [y=bsin0.，・椭圆上任一点P(acos0,bsin0)，当这点在直线上时，有3acos0+2、；7bsin0-16=0,・•・、；9a2+28b2sin(0+甲)=16,V0°^eV360°,*为一个定角，当且仅当sin(0+*)=1时，直线与椭圆相切，・^9a2+28b2=16，即9a2+28b2=256……①又..•焦距为4*， ..・a2-b2=12……②由①②联立得：a2=16,b2=4 ...所以椭圆方程为：兰+^2=1TOC\o"1-5"\h\z16 4对比发现，用第二种方法运算量减少了许多。例2：求过点P(4,4)与双曲线兰-^2=1只有一个公共点的直线方程。16 91°当直线与双曲线的渐近线平行时符合条件，故可设方程为y=±3x+b,再将P(4,4)3 3代入得两条直线方程分别为：y=4x+1和y=-4x+72°当斜率不存在时，即x=4也符合条件。3°当斜率存在且不与渐近线平行时，设此直线的方程为：y=kx-4k+4，又设双曲线上一点P(4sece,3tane),若点P在直线y=kx-4k+4上，有3tane-4ksece+4k-4=0,同时乘以cose得3sine+(4k-4)cose-4k=0,将此式变形得：，：‘9+(41-4)2sin