正交试验方差分析

一、正交设计原理和方法

(一)正交设计的基本概念

正交设计是利用正交表来安排多因素试验、分析试验结果的一种设计方法。它从多因素试验的全部水平组合中挑选部分有代表性的水平组合进行试验，通过对这部分试验结果的分析了解全面试验的情况，找出最优水平组合。第1页/共73页第一页，共74页。

例如，研究氮、磷、钾肥施用量对某小麦品种产量的影响：

A因素是氮肥施用量，设A1、A2、A33个水平；

B因素是磷肥施用量，设B1、B2、B33个水平；

C因素是钾肥施用量，设C1、C2、C33个水平。这是一个3因素每个因素3水平的试验，各因素的水平之间全部可能的组合有27种。

第2页/共73页第二页，共74页。

如果进行全面试验，可以分析各因素的效应，交互作用，也可选出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多，工作量大，由于受试验场地、经费等限制而难于实施。

如果试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交设计来安排试验。

第3页/共73页第三页，共74页。

正交设计的基本特点是：用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。

正交试验是用部分试验来代替全面试验，它不可能像全面试验那样对各因素效应、交互作用一一分析；当交互作用存在时，有可能出现交互作用的混杂。第4页/共73页第四页，共74页。表133试验的全面试验方案C1C2C3A1B1A1B1C1A1B1C2A1B1C3B2A1B2C1A1B2C2A1B2C3B3A1B3C1A1B3C2A1B3C3A2B1A2B1C1A2B1C2A2B1C3B2A2B2C1A2B2C2A2B2C3B3A2B3C1A2B3C2A2B3C3A3B1A3B1C1A3B1C2A3B1C3B2A3B2C1A3B2C2A3B2C3B3A3B3C1A3B3C2A3B3C3第5页/共73页第五页，共74页。

图13因素每个因素3水平试验点的均衡分布图第6页/共73页第六页，共74页。

正交设计就是从全面试验点（水平组合）中挑选出有代表性的部分试验点（水平组合）来进行试验。图1中标有‘’9个试验点，就是利用正交表L9(34)从27个试验点中挑选出来的9个试验点。即：

(1)A1B1C1(2)A1B2C2(3)A1B3C3

(4)A2B1C2(5)A2B2C3(6)A2B3C1(7)A3B1C3(8)A3B2C1(9)A3B3C2第7页/共73页第七页，共74页。

上述选择，保证了A因素的每个水平与B因素、C因素的各个水平在试验中各搭配一次。从图1中可以看到，9个试验点分布是均衡的，在立方体的每个平面上有且仅有3个试验点；每两个平面的交线上有且仅有1个试验点。

9个试验点均衡地分布于整个立方体内，有很强的代表性，能够比较全面地反映全面试验的基本情况。

第8页/共73页第八页，共74页。

正交表是一种特别的表格，是正交设计的基本工具。我们只介绍它的记号、特点和使用方法。二、正交表及其特性,

(一)正交表

记号及含义正交表的列数（最多能安排的因素个数，包括交互作用、误差等）正交表的行数（需要做的试验次数）各因素的水平数（各因素的水平数相等）q正交表的代号第9页/共73页第九页，共74页。如表示？表示各因素的水平数为2，做8次试验，最多考虑7个因素（含交互作用）的正交表。第10页/共73页第十页，共74页。表2L8(27)正交表第11页/共73页第十一页，共74页。2水平正交表还有L4(23)、L16(215)等；

3水平正交表有L9(34)、L27(313)、…、等。

(二)正交表的特性

1、任一列中，不同数字出现的次数相同

例如L8(27)中不同数字只有1和2，它们各出现4次；L9(34)中不同数字有1、2和3，它们各出现3次。第12页/共73页第十二页，共74页。

2、任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相同

例如L8(27)的任两列中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两次；L9(34)任两列中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现1次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。

第13页/共73页第十三页，共74页。

用正交表安排的试验，具有均衡分散和整齐可比的特点。

均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均衡的。由图1可以看出，在立方体中，任一平面内都包含3个试验点，任两平面的交线上都包含1个试验点。

第14页/共73页第十四页，共74页。

整齐可比是指每一个因素的各水平间具有可比性。因为正交表中每一因素的任一水平下都均衡地包含着另外因素的各个水平，当比较某因素不同水平时，其它因素的效应都彼此抵消。如在A、B、C3个因素中，A因素的3个水平A1、A2、A3

条件下各有B、C的3个不同水平，即：第15页/共73页第十五页，共74页。

在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位，当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水平间具有可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有可比性。第16页/共73页第十六页，共74页。(三)正交表的类别

1、相同水平正交表各列中出现的最大数字相同的正交表称为相同水平正交表。

L4(23)、L8(27)、L12(211)等各列中最大数字为2，称为两水平正交表；

L9(34)、L27(313)等各列中最大数字为3，称为3水平正交表。

第17页/共73页第十七页，共74页。

2、混合水平正交表各列中出现的最大数字不完全相同的正交表称为混合水平正交表。

L8(41×24)表中有一列最大数字为4，有4列最大数字为2。也就是说该表可以安排1个4水平因素和4个2水平因素。

L16(44×23)，L16(4×212)等都混合水平正交表。第18页/共73页第十八页，共74页。三、正交设计方法

【例1】

某水稻栽培试验选择了3个水稻优良品种(A)：二九矮、高二矮、窄叶青，3种密度(B)：15、20、25（万苗/666.7m2）；3种施氮量(C)：3、5、8（kg/666.7m2），试采用正交设计安排一个试验方案。

(一)确定试验因素及其水平,列出因素水平表

第19页/共73页第十九页，共74页。水平因素品种(A)

密度(B)

施氮量(C)1二九矮(A1)15(B1)3(C1)2高二矮(A2)20(B2)5(C2)3窄叶青

(A3)25(B3)8(C3)表3因素水平表第20页/共73页第二十页，共74页。

(二)选用合适的正交表

根据因素、水平及需要考察的交互作用的多少来选择合适的正交表。选用正交表的原则是：既要能安排下试验的全部因素(包括需要考查的交互作用)，又要使部分水平组合数（处理数）尽可能地少。第21页/共73页第二十一页，共74页。

一般情况下，试验因素的水平数应恰好等于正交表记号中括号内的底数；因素的个数（包括需要考查交互作用）应不大于正交表记号中括号内的指数；各因素及交互作用的自由度之和要小于所选正交表的总自由度，以便估计试验误差。若各因素及交互作用的自由度之和等于所选正交表总自由度，则可采用有重复正交试验来估计试验误差。第22页/共73页第二十二页，共74页。

此例有3个3水平因素，若不考察交互作用，则各因素自由度之和为因素个数×(水平数-1)=3×(3-1)=6，小于L9(34)总自由度9-1=8，故可以选用L9(34)；

若要考察交互作用，则应选用L27(313)，此时所安排的试验方案实际上是全面试验方案。

第23页/共73页第二十三页，共74页。

(三)表头设计

表头设计就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安排各因素与交互作用。

第24页/共73页第二十四页，共74页。表2L8(27)正交表第25页/共73页第二十五页，共74页。

L8(27)表头设计因素数列号12345673ABA×BCA×CB×C4ABA×BC×DCA×CB×DB×CA×DD4ABC×DA×BCB×DA×CDB×CA×D5AD×EBC×DA×BC×ECB×DA×CB×EDA×EB×CEA×B第26页/共73页第二十六页，共74页。表4表头设计列号1234因素ABC空

此例不考察交互作用，可将品种(A)、密度(B)和施氮量(C)依次安排在L9(34)的第1、2、3列上，第4列为空列，见表4。第27页/共73页第二十七页，共74页。

(四)列出试验方案

把正交表中安排因素的各列(不包含欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。第28页/共73页第二十八页，共74页。

表5正交试验方案试验号因素ABC12311(二九矮)1(15)1(3)21(二九矮)2(20)2(5)31(二九矮)3(25)3(8)42(高二矮)1(15)2(5)52(高二矮)2(20)3(8)62(高二矮)3(25)1(3)73(窄叶青)1(15)3(8)83(窄叶青)2(20)1(3)93(窄叶青)3(25)2(5)第29页/共73页第二十九页，共74页。第二节正交试验资料的方差分析

若各号试验处理都只有一个观测值，则称之为单个观测值正交试验；若各号试验处理都有两个或两个以上观测值，则称之为有重复观测值正交试验。

第30页/共73页第三十页，共74页。

一、单个观测值正交试验资料的方差分析

对【例1】用L9(34)安排试验方案后，各号试验只进行一次，试验结果列于表6。试对其进行方差分析。

第31页/共73页第三十一页，共74页。表6正交试验结果计算表试验号因素产量ABC(1)(2)(3)1111340.0(x1)2122422.5(x2)3133439.0(x3)4212360.0(x4)5223492.5(x5)6231439.0(x6)7313392.0(x7)8321363.5(x8)9332462.5(x9)第32页/共73页第三十二页，共74页。T11201.51092.01142.53711.0(T)T21291.51278.51245.0T31218.01340.51323.5

400.50364.00380.83430.50426.17415.00406.00446.83441.17

Ti为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；

为各因素同一水平试验指标的平均数。

第33页/共73页第三十三页，共74页。

该试验的9个观测值总变异由A因素、B因素、C因素及误差变异4部分组成，因而进行方差分析时平方和与自由度的分解式为：

SST=SSA+SSB+SSC+SSe

dfT=dfA+dfB+dfC+dfe

用n表示试验(处理)数；a、b、c表示A、B、C因素的水平数；ka、kb、kc表示A、B、C因素的各水平重复数。本例，n=9、a=b=c=3、ka=kb=kc=3。

第34页/共73页第三十四页，共74页。

1、计算各项平方和与自由度矫正数

C=T2/n=37112/9=1530169.00

总平方和

SST=Σx2-C=（340.02+422.52+…+462.52）

-1530169.00=21238.00

第35页/共73页第三十五页，共74页。A因素平方和

SSA=Σ/ka-C

=(1201.52+1291.52+1218.02)/3-1530169.00=1530.50

B因素平方和

SSB

=Σ/kb-C

=(1092.02+1278.52+1340.52)/3-1530169.00=11153.17

第36页/共73页第三十六页，共74页。

C因素平方和

SSC=ΣT2C/kc-C

=(1142.52+1245.02+1323.52)/3-1530169.00=5492.17

误差平方和

SSe=SST-SSA-SSB-SSC=21238.00-1530.5-11153.17-5492.17=3062.16第37页/共73页第三十七页，共74页。

总自由度dfT=n-1=9-1=8

A因素自由度dfA=a-1=3-1=2

B因素自由度dfB=b-1=3-1=2

C因素自由度dfC=c-1=3-1=2

误差自由度dfe=dfT-dfA-dfB-dfC

=8-2-2-2=2第38页/共73页第三十八页，共74页。

2、列出方差分析表，进行F检验表7

方差分析表变异来源SSdfMSFF0.05(2,2)品种(A)1530.502765.25<1

19.00密度(B)11153.1725576.593.64ns施氮量(C)5492.1722746.091.79ns误差3062.1621531.08总变异21238.008第39页/共73页第三十九页，共74页。表6正交试验结果计算表试验号因素产量ABC(1)(2)(3)1111340.0(x1)2122422.5(x2)3133439.0(x3)4212360.0(x4)5223492.5(x5)6231439.0(x6)7313392.0(x7)8321363.5(x8)9332462.5(x9)第40页/共73页第四十页，共74页。

F检验结果表明，三个因素对产量的影响都不显著。究其原因可能是本例试验误差大且误差自由度小(仅为2)，使检验的灵敏度低，从而掩盖了考察因素的显著性。由于各因素对增重影响都不显著，不必再进行各因素水平间的多重比较。此时，可从表6中选择平均数大的水平A2、B3、C3组合成最优水平组合A2B3C3。第41页/共73页第四十一页，共74页。

若F检验结果3个因素对试验指标的影响显著或极显著，进行各因素水平间多重比较常采用SSR法。本例是选用相同水平正交表L9(34)安排的试验，A、B、C因素各水平重复数相同，即ka=kb=kc=3，它们的标准误相同，即第42页/共73页第四十二页，共74页。

单个观测值正交试验资料的方差分析，其误差是由“空列”来估计的。然而“空列”并不空，实际上是被未考察的交互作用所占据。这种误差既包含试验误差，也包含交互作用，称为模型误差。若交互作用不存在，用模型误差估计试验误差是可行的；若因素间存在交互作用，则模型误差会夸大试验误差，有可能掩盖考察因素的显著性。第43页/共73页第四十三页，共74页。

试验误差应通过重复试验值来估计。所以，进行正交试验最好能有二次以上的重复。正交试验的重复，可采用完全随机或随机区组设计。第44页/共73页第四十四页，共74页。

二、有重复观测值正交试验资料的方差分析

【例2】

为了探讨花生锈病药剂防治效果的好坏，进行了药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3因素试验，各有3个水平，选用正交表L9(34)安排试验。试验重复2次，随机区组设计。正交试验方案及试验结果(产量kg/小区，小区面积133.3m2)见表10，对试验结果进行方差分析。第45页/共73页第四十五页，共74页。用r表示试验处理的重复数(区组数)；

n，a、b、c，ka、kb、kc的意义同上。此例r=2；n=9，

a=b=c=3，

ka=kb=kc=3。第46页/共73页第四十六页，共74页。表10防治花生锈病药剂种类、浓度、剂量正交试验方案及结果计算表试验号

因素

产量x(kg/小区)TtABC区组I区组II(1)(2)(3)11（百菌清）1（高）1（80）28.028.556.528.2521（百菌清）2（中）2（100）35.034.869.834.9031（百菌清）3（低）3（120）32.232.564.732.3542（敌锈灵）1（高）2（100）33.033.266.233.1052（敌锈灵）2（中）3（120）27.427.054.427.2062（敌锈灵）3（低）1（80）31.832.063.831.9073（波尔多）1（高）3（120）34.234.568.734.3583（波尔多）2（中）1（80）22.523.045.522.7593（波尔多）3（低）2（100）29.430.059.429.70第47页/共73页第四十七页，共74页。T1191.0191.4165.8

273.5275.5549.0T2184.4169.7195.4

T3173.6187.9187.8

31.8331.9027.6330.7328.2832.5728.9331.3231.30

Ti为各因素同一水平试验指标之和，T为9个试验号的试验指标之和；

为各因素同一水平试验指标的平均数。

第48页/共73页第四十八页，共74页。

对于有重复、且重复采用随机区组设计的正交试验，总变异可以划分为处理间、区组间和误差变异三部分，而处理间变异可进一步划分为A因素、B因素、C因素与模型误差变异四部分。此时，平方和与自由度分解式为：

SST=SSt+SSr+SSe2

dfT=dft+dfr+dfe2

而SSt=SSA+SSB+SSC+SSe1dft=dfA+dfB+dfC+dfe1

第49页/共73页第四十九页，共74页。于是SST=SSA+SSB+SSC+SSr+SSe1+SSe2

dfT=dfA+dfB+dfC+dfr+dfe1+dfe2

其中：SSr为区组间平方和；SSe1为模型误差平方和；SSe2为试验误差平方和；SSt为处理间平方和；dfr

、dfe1

、dfe2

、dft

为相应自由度。第50页/共73页第五十页，共74页。

注意，对于重复采用完全随机设计的正交试验，在平方和与自由度划分式中无SSr、dfr项。

1、计算各项平方和与自由度

矫正数

C=T2/rn=549.02/（2×9）=16744.50

第51页/共73页第五十一页，共74页。

总平方和

SST=Σx2-C=28.02+35.02+…+30.02-16744.50=246.62

区组间平方和

SSr=ΣT2r/n-C=(273.52+275.52)/9-16744.50=0.22

第52页/共73页第五十二页，共74页。

处理间平方和

SSt=ΣT2t/r-C

=(56.52+69.82+…+59.42)/2-16744.50=245.96

A因素平方和

SSA=ΣT2A/kar-C=(191.02+184.42+173.62)/(3×2)-16744.50

=25.72

第53页/共73页第五十三页，共74页。B因素平方和

SSB=ΣT2B/kbr-C

=(191.42+169.72+187.92)/(3×2)-16744.50

=45.24

C因素平方和

SSC=ΣT2C/kcr-C=(165.82+195.42+187.82)/(3×2)-16744.50

=78.77

第54页/共73页第五十四页，共74页。模型误差平方和

SSe1=SSt–SSA–SSB-SSC=245.96-25.72-45.24.-78.77

=

96.23

试验误差平方和

SSe2=SST–SSr-SSt=246.62-0.22-245.96

=

0.44

第55页/共73页第五十五页，共74页。

总自由度

dfT=rn-1=2×9-1=17

区组自由度dfr=r-1=2-1=1

处理自由度dft=n-1=9-1=8A因素自由度dfA=a-1=3-1=2B因素自由度dfB=b-1=3-1=2C因素自由度dfC=c-1=3-1=2

模型误差自由度

dfe1=dft-dfA-dfB-dfC=8-2-2-2=2

试验误差自由度dfe2=dfT-dfr-dft=17-1-8=8第56页/共73页第五十六页，共74页。

2、列出方差分析表，进行F检验表10有重复观测值正交试验资料的方差分析表变异来源SSdfMSFF0.05F0.01A25.72212.86214.33**4.107.55B45.24222.62377.00**C78.77239.39656.50**区组0.2210.223.67ns4.9610.01模型误差(e1)96.23248.12802.00**试验误差(e2)0.4480.06总的246.6217第57页/共73页第五十七页，共74页。

首先检验MSe1与MSe2差异的显著性，若经F检验不显著，则可将其平方和与自由度分别合并，计算出合并的误差均方，进行F检验与多重比较，以提高分析的精度；若F检验显著，说明存在交互作用，二者不能合并，此时只能以MSe2进行F检验与多重比较。

第58页/共73页第五十八页，共74页。

本例MSe1

/MSe2=802.00**，模型误差均方MSe1与试验误差均方MSe2差异极显著，说明试验因素间交互作用极显著，只能以试验误差均方MSe2进行F检验与多重比较。F检验结果表明，药剂种类（A）、浓度（B）、剂量（C）3因素对花生产量都有极显著影响；区组间差异不显著

。第59页/共73页第五十九页，共74页。3、多重比较

(1)若模型误差显著，说明试验因素间存在交互作用，各因素所在列有可能出现交互作用的混杂，此时各试验因素水平间的差异已不能真正反映因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较无多大实际意义，但应进行试验处理间的多重比较，以寻求最优水平组合。进行各试验处理间多重比较时选用试验误差均方MSe2。模型误差显著，还应进一步试验，以分析因素间的交互作用。

第60页/共73页第六十页，共74页。

(2)若模型误差不显著，说明试验因素间交互作用不显著，各因素所在列有可能未出现交互作用的混杂，此时各因素水平间的差异能真正反映因素的主效，因而进行各因素水平间的多重比较有实际意义，并从各因素水平间的多重比较中选出各因素的最优水平相组合，得到最优水平组合。

第61页/共73页第六十一页，共74页。

进行各因素水平间的多重比较时，用合并的误差均方

MSe=（SSe1+SSe2）/（dfe1+dfe2）此时可不进行试验处理间的多重比较。

本例模型误差极显著，说明因素间存在交互作用，不必进行各因素水平间的多重比较，应进行试验处理间的多重比较，以寻求最优水平组合。为了让读者了解多重比较的方法，下面仍对各因素水平间、各试验处理间进行多重比较。第62页/共73页第六十二页，共74页。（1）A、B、C因素各水平平均数的多重比较

表12A因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)A因素平均数-28.93-30.73A131.832.90**1.10*A230.731.80**A328.93第63页/共73页第六十三页，共74页。

表13B因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)B因素平均数-28.28-31.32B131.903.62**0.58**B331.323.04**B228.28第64页/共73页第六十四页，共74页。

表14C因素各水平平均数的多重比较表(SSR法)C因素平均数-27.63-31.30C232.574.94**1.27**C331.303.67**C127.63第65页/共73页第六十五页，共74页。因为

由dfe=8和k=2,3,查得SSR值并计算出LSR值列于表15。第66页/共73页第六十六页，共74页。