杨辉三角和二项式系数的性质

复习1.什么叫二项式定理？通项公式？2.什么叫二项式系数？项的系数？它们之间有什么不同？第1页/共14页第一页，共15页。二项式系数的性质(a+b)1………11(a+b)2…121(a+b)3………………1331(a+b)4……………14641(a+b)5……………15101051(a+b)6…………1615201561………递推法第2页/共14页第二页，共15页。

这样的二项式系数表，早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就已经出现了，在这本书里，记载着类似下面的表：

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一第3页/共14页第三页，共15页。

这个表称为杨辉三角。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（BlaisePascal,1623年—1662年）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。第4页/共14页第四页，共15页。定义域{0,1,2,…,n}

61420O63rf(r)令当n=6时,其图象是7个孤立点第5页/共14页第五页，共15页。1.对称性

在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。2.增减性与最大值3.各二项式系数和当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性知它的后半部是逐渐减小的，且在中间取得最大值。当n是偶数时，中间的一项取得最大时；当n是奇数时，中间的两项，相等，且同时取得最大值。第6页/共14页第六页，共15页。例:证明:

在(a+b)n展开式中,奇数项

的二项式系数的和等于偶

数项的二项式系数的和.第7页/共14页第七页，共15页。例一、选择填空：1.(1﹣x)13

的展开式中系数最小的项是（）(A)第六项(B)第七项（C）第八项(D)第九项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20(B)219

（C）220(D)220

－1CD4或5-2-10941093第8页/共14页第八页，共15页。例二、已知的展开式中只有第10项系数最大，求第五项。

解：依题意，为偶数，且变式：若将“只有第10项”改为“第10项”呢？第9页/共14页第九页，共15页。解：（1）

中间项有两项：（2）T3，T7

，T12

，T13

的系数分别为：例三、已知二项式(a+b)15（1）求二项展开式中的中间项；（2）比较T3，T7

，T12

，T13各项系数的大小，并说明理由。第10页/共14页第十页，共15页。例四、已知a,b∈N，m,n∈Z

，且2m+n=0，如果二项式(axm+bxn)12

的展开式中系数最大的项恰好是常数项，求a:b

的取值范围。

解：令m(12–r)+nr=0，将n=﹣2m

代入，解得r=4故T5为常数项，且系数最大。第11页/共14页第十一页，共15页。作业见课本小结（1）二项式系数的三个性质。

（2）数学思想：函数思想。a单调性；b图象；c最值。（3）数学方法：赋值法、递推法研究题：求二项式(x+2)7展开式中系数最大的项，试归纳出求形如(ax+b)n

展开式中系数最大项的方法或步骤。第12页/共14页第十二页，共15页。解：设最大项为，则：即即则展开式中最大项为第13页/共14页第十三页，共15页。谢谢您的观看！第14页/共14页第十四页，共15页。内容总结复习。在《详解九章算法》一书里，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法