内蒙古巴彦淖尔市2023届中考数学第三次模拟试题（含解析）

C．3 D．3【考点】旋转的性质．【分析】根据题意先求出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=4，再根据旋转的性质得A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，得出△CAA′为等腰三角形，从而得出∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=2，然后根据AA′=AB′+A′B′进行计算即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，∴∠BAC=30°，∵BC=2∴AB=4，∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′，∴A′B′=AB=4，B′C=BC=2，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，∴△CAA′为等腰三角形，∴∠CAA′=∠A′=30°，∵A、B′、A′在同一条直线上，∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA，∴∠B′CA=60°﹣30°=30°，∴B′A=B′C=2，∴AA′=AB′+A′B′=4+2=6．应选A．【点评】此题考查了旋转的性质：掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等是此题的关键．也同时考查了含30度的直角三角形三边的关系．5．不等式组的整数解的和是〔〕A．﹣1 B．1 C．0 D．1【考点】一元一次不等式组的整数解．【专题】探究型．【分析】先解出不等式组的解集，从而可以得到不等式组的整数解，从而可以得到不等式组的整数解的和．【解答】解：解得，﹣2＜x≤，∴的整数解是x=﹣1，x=0，x=1，∵〔﹣1〕+0+1=0，故的整数解得和是0，应选C．【点评】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．6．一个几何体的三视图如下图，这个几何体的侧面积为〔〕A．2πcm2 B．4πcm2 C．8πcm2 D．16πcm【考点】圆锥的计算；由三视图判断几何体．【专题】几何图形问题．【分析】俯视图为圆的只有圆锥，圆柱，球，根据主视图和左视图都是三角形可得到此几何体为圆锥，那么侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：此几何体为圆锥；∵半径为1，圆锥母线长为4，∴侧面积=2πrR÷2=2π×1×4÷2=4π；应选：B．【点评】此题考查了圆锥的计算，该三视图中的数据确定圆锥的底面直径和高是解此题的关键；此题表达了数形结合的数学思想，注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形．7．一组数据：1，2，6，3，3，以下说法正确的选项是〔〕A．众数是3 B．中位数是6 C．平均数是4 D．方差是5【考点】众数；算术平均数；中位数；方差．【专题】常规题型．【分析】利用众数、算术平均数、中位数及方差的定义分别求解后即可确定正确的选项．【解答】解：A、数据3出现2次，最多，故众数为3，故A选项正确；B、排序后位于中间位置的数为3，故中位数为3，故B选项错误；C、平均数为3，故C选项错误；D、方差为2.8，故D选项错误．应选：A．【点评】此题考查了众数、算术平均数、中位数及方差的定义，属于根底题，比拟简单．8．如图，四边形ABCD、CEFG都是正方形，点G在线段CD上，连接BG，DE和FG相交于点O．设AB=a，CG=b〔a＞b〕．以下结论：①△BCG≌△DCE；②BG⊥DE；③=；④〔a﹣b〕2•S△EFO=b2•S△DGO．其中结论正确的个数是〔〕A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，根据正方形的性质，即可得BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，那么可根据SAS证得①△BCG≌△DCE；然后延长BG交DE于点H，根据全等三角形的对应角相等，求得∠CDE+∠DGH=90°，那么可得②BH⊥DE；由△DGO与△DCE相似即可判定③错误，证明△EFO∽△DGO，即可求得④正确；即可得出结论．【解答】解：①∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，CD∥EF，∴∠BCG=∠DCE．在△BCG和△DCE中，，∴△BCG≌△DCE〔SAS〕，故①正确；②延长BG交DE于点H，如下图：∵△BCG≌△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BGC=90°，∴∠CDE+∠DGH=90°，∴∠DHG=90°，∴BH⊥DE；∴BG⊥DE．故②正确；③∵四边形GCEF是正方形，∴GF∥CE，∴，是错误的．故③错误；④∵DC∥EF，∴△EFO∽△DGO，∴=〔〕2=〔〕2=，∴〔a﹣b〕2•S△EFO=b2•S△DGO．故④正确；正确的有3个，应选：B．【点评】此题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质及相似三角形的判定和性质，综合性较强，掌握三角形全等、相似的判定和性质是解题的关键．9．如图，菱形ABCD的对角线BD、AC分别为2、2，以B为圆心的弧与AD、DC相切，那么阴影局部的面积是〔〕A．2﹣π B．4﹣π C．4﹣π D．2【考点】扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质．【分析】连接AC、BD、BE，在Rt△AOB中可得∠BAO=30°，∠ABO=60°，在Rt△ABE中求出BE，得出扇形半径，由菱形面积减去扇形面积即可得出阴影局部的面积．【解答】解：连接AC、BD、BE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直且平分，∴AO=，BO=1，∵tan∠BAO=，tan∠ABO=，∴∠BAO=30°，∠ABO=60°，∴AB=2，∠BAE=60°，∵以B为圆心的弧与AD相切，∴∠AEB=90°，在Rt△ABE中，AB=2，∠BAE=60°，∴BE=ABsin60°=，∴S菱形﹣S扇形=×2×2﹣=2﹣π．应选D．【点评】此题考查了扇形的面积计算、菱形的性质及切线的性质，解答此题的关键是根据菱形的性质求出各角度及扇形的半径．10．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，那么y关于x的函数图象大致是〔〕A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题；动点型．【分析】①点P在AB上时，点D到AP的距离为AD的长度，②点P在BC上时，根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD，再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的关系式，从而得解．【解答】解：①点P在AB上时，0≤x≤3，点D到AP的距离为AD的长度，是定值4；②点P在BC上时，3＜x≤5，∵∠APB+∠BAP=90°，∠PAD+∠BAP=90°，∴∠APB=∠PAD，又∵∠B=∠DEA=90°，∴△ABP∽△DEA，∴=，即=，∴y=，纵观各选项，只有B选项图形符合．应选：B．【点评】此题考查了动点问题函数图象，主要利用了相似三角形的判定与性质，难点在于根据点P的位置分两种情况讨论．二、填空题〔此题共6小题，每题4分，共24分〕11．分解因式：﹣2x3y+12x2y﹣18xy=﹣2xy〔x﹣3〕2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先运用提取公因式法分解，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：﹣2x3y+12x2y﹣18xy=﹣2xy〔x2﹣6x+9〕=﹣2xy〔x﹣3〕2，故答案为：﹣2xy〔x﹣3〕2．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法、公式法；熟练掌握提取公因式法和完全平方公式是解此题的关键．12．函数y=有意义，那么实数x的取值范围是x＞2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：依题意有x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．【点评】此题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数，分式的分母不等于零是解答此题的关键．13．在一个不透明的袋子中装有假设干个除颜色外形状大小完全相同的球，如果其中有3个白球，且摸出白球的概率是，那么袋子中共有球12个．【考点】概率公式．【分析】设袋中共有球x个，根据概率公式列出等式解答．【解答】解：设袋中共有球x个，∵有3个白球，且摸出白球的概率是，∴=，解得x=12〔个〕．故答案为：12．【点评】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=．14．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，假设CD=AC，∠B=25°，那么∠ACB的度数为105°．【考点】作图—根本作图；线段垂直平分线的性质．【分析】首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．【解答】解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案为：105°．【点评】此题考查了根本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．15．抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是〔1，2〕，当x=＜1时，y随x的增大而减小．【考点】二次函数的性质．【分析】由于二次函数的二次项系数a=1＞0，由此可以确定抛物线开口方向，利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为〔﹣，〕，对称轴是x=﹣可以确定对称轴，然后即可确定在对称轴的左侧y随x的增大而减小，由此得到x的取值范围．【解答】解：∵y=x2﹣2x+3，∴二次函数的二次项系数a=1＞0，∴抛物线开口向上，∵y=ax2+bx+c的顶点坐标公式为〔﹣，〕，对称轴是x=﹣，∴此函数对称轴是x=1，顶点坐标是〔1，2〕，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．故答案为：〔1，2〕，＜1．【点评】此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的顶点坐标是〔﹣，〕，对称轴是直线x=﹣．当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．16．如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，那么CD的长为a．【考点】切线的性质；切割线定理；相似三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，那么BF=a﹣0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF2=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．【解答】解：如图，连接OE、OF，∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，∴OECF是正方形，∵由△ABC的面积可知×AC×BC=×AC×OE+×BC×OF，∴OE=OF=a=EC=CF，BF=BC﹣CF=0.5a，GH=2OE=a，∵由切割线定理可得BF2=BH•BG，∴a2=BH〔BH+a〕，∴BH=a或BH=a〔舍去〕，∵OE∥DB，OE=OH，∴△OEH∽△BDH，∴=，∴BH=BD，CD=BC+BD=a+a=a．故答案为：a．【点评】考查了切线的性质，此题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．三、解答题〔共86分，解容许写成文字说明、证明过程、演算步骤〕17．〔2022•巴彦淖尔校级三模〕〔1〕计算：﹣14﹣〔2022﹣π〕0+﹣3tan60°〔2〕先化简，再求值：÷〔a+2﹣〕，其中a2+3a﹣1=0．【考点】分式的化简求值；零指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】〔1〕根据零指数幂、根式和三角函数计算即可；〔2〕可先把分式化简，再把a的值代入计算求值．【解答】解：〔1〕﹣14﹣〔2022﹣π〕0+﹣3tan60°=﹣1﹣1﹣3﹣3×=﹣5﹣3；〔2〕原式===，把a2+3a=1代入．【点评】此题考查分式的混合运算及特殊角的函数值，关键是先把分式化简．18．〔2022•漳州〕杨梅是漳州的特色时令水果，杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．〔1〕第一批杨梅每件进价多少元？〔2〕老板以每件150元的价格销售第二批杨梅，售出80%后，为了尽快售完，决定打折促销，要使第二批杨梅的销售利润不少于320元，剩余的杨梅每件售价至少打几折？〔利润=售价﹣进价〕【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【专题】销售问题．【分析】〔1〕设第一批杨梅每件进价是x元，那么第二批每件进价是〔x+5〕元，再根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍；〔2〕设剩余的杨梅每件售价y元，由利润=售价﹣进价，根据第二批的销售利润不低于320元，可列不等式求解．【解答】解：〔1〕设第一批杨梅每件进价x元，那么×2=，解得x=120．经检验，x=120是原方程的根．答：第一批杨梅每件进价为120元；〔2〕设剩余的杨梅每件售价打y折．那么：×150×80%+×150×〔1﹣80%〕×0.1y﹣2500≥320，解得y≥7．答：剩余的杨梅每件售价至少打7折．【点评】此题考查分式方程、一元一次不等式的应用，关键是根据数量作为等量关系列出方程，根据利润作为不等关系列出不等式求解．19．〔2022•赤峰〕自从中央公布“八项规定〞以来，光明中学积极开展“厉行节约，反对浪费〞活动，为此，学校学生会对九年八班某日午饭浪费饭菜情况进行调查，调查内容分为四种：A．饭和菜全部吃光；B．有剩饭但菜吃光；C．饭吃光但菜有剩；D．饭和菜都有剩．学生会根据统计结果，绘制了如图两个统计图，根据统计图提供的信息答复以下问题：〔1〕九年八班共有多少名学生？〔2〕计算图2中B所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；〔3〕光明中学有学生2000名，请估计这顿午饭有剩饭的学生人数，按每人平均剩10克米饭计算，这顿午饭将浪费多少千克米饭？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【专题】图表型．【分析】〔1〕用A的人数除以相对应的百分比就是总学生数；〔2〕B的人数=总人数﹣A的人数﹣C的人数﹣D的人数，B所在扇形的圆心角的度数为：×360°=72°，再根据B的人数为10，补全条形统计图；〔3〕先求出这顿午饭有剩饭的学生人数为：2000×=600〔人〕，再用人数乘每人平均剩10克米饭，把结果化为千克．【解答】解：〔1〕九年八班共有学生数为：30÷60%=50〔人〕；〔2〕B有剩饭但菜吃光的人数为：50﹣30﹣5﹣5=10〔人〕，B所在扇形的圆心角的度数为：×360°=72°，补全条形统计图如图1：〔3〕这顿午饭有剩饭的学生人数为：2000×=600〔人〕，600×10=6000〔克〕=6〔千克〕．【点评】此题主要考查了条形统计图，扇形统计图及样本估计总数，解题的关键是能把条形统计图和扇形统计图结合起来解决问题．20．〔12分〕〔2022•呼和浩特〕学校为了了解初三年级学生体育跳绳的训练情况，从初三年级各班随机抽取了50名学生进行了60秒跳绳的测试，并将这50名学生的测试成绩〔即60秒跳绳的个数〕从低到高分成六段记为第一到六组，最后整理成下面的频数分布直方图：请根据直方图中样本数据提供的信息解答以下问题．〔1〕跳绳次数的中位数落在哪一组？由样本数据的中位数你能推断出学校初三年级学生关于60秒跳绳成绩的一个什么结论？〔2〕假设用各组数据的组中值〔各小组的两个端点的数的平均数〕代表各组的实际数据，求这50名学生的60秒跳绳的平均成绩〔结果保存整数〕；〔3〕假设从成绩落在第一和第六组的学生中随机抽取2名学生，用列举法求抽取的2名学生恰好在同一组的概率．【考点】频数〔率〕分布直方图；中位数；列表法与树状图法．【专题】图表型．【分析】〔1〕根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出中间两个数的平均数，再根据中位数落在第四组估计出初三学生60秒跳绳再120个以上的人数到达一半以上；〔2〕根据平均数的计算公式进行计算即可；〔3〕先把第一组的两名学生用A、B表示，第六组的三名学生用1，2，3表示，得出所有出现的情况，再根据概率公式进行计算即可．【解答】解：〔1〕∵共有50个数，中位数是第25、26个数的平均数，∴跳绳次数的中位数落在第四组；∴可以估计初三学生60秒跳绳再120个以上的人数到达一半以上；〔2〕根据题意得：〔2×70+10×90+12×110+13×130+10×150+3×170〕÷50≈121〔个〕，答：这50名学生的60秒跳绳的平均成绩是121个；〔3〕记第一组的两名学生为A、B，第六组的三名学生为1，2，3，那么从这5名学生中抽取两名学生有以下10种情况：AB，A1，A2，A3，B1，B2，B3，12，13，23，那么抽取的2名学生恰好在同一组的概率是：=；【点评】此题考查了频数〔率〕分布直方图，用到的知识点是中位数、平均数、概率公式，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．21．〔12分〕〔2022•北京〕如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．〔1〕求证：四边形ABEF是菱形；〔2〕假设AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求tan∠ADP的值．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质；解直角三角形．【分析】〔1〕根据平行四边形和角平分线的性质可得AB=BE，AB=AF，AF=BE，从而证明四边形ABEF是菱形；〔2〕作PH⊥AD于H，根据四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，得到AB=AF=4，∠ABF=∠ADB=30°，AP⊥BF，从而得到PH=，DH=5，然后利用锐角三角函数的定义求解即可．【解答】〔1〕证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠DAE=∠AEB．∵AE是角平分线，∴∠DAE=∠BAE．∴∠BAE=∠AEB．∴AB=BE．同理AB=AF．∴AF=BE．∴四边形ABEF是平行四边形．∵AB=BE，∴四边形ABEF是菱形．〔2〕解：作PH⊥AD于H，∵四边形ABEF是菱形，∠ABC=60°，AB=4，∴AB=AF=4，∠ABF=∠AFB=30°，AP⊥BF，∴AP=AB=2，∴PH=，DH=5，∴tan∠ADP==．【点评】此题考查了菱形的判定及平行四边形的性质，解题的关键是牢记菱形的几个判定定理，难度不大．22．〔12分〕〔2022•烟台〕如图，点A〔m，6〕，B〔n，1〕在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC=5．〔1〕求m，n的值并写出反比例函数的表达式；〔2〕连接AB，在线段DC上是否存在一点E，使△ABE的面积等于5？假设存在，求出点E的坐标；假设不存在，请说明理由．【考点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】代数几何综合题；待定系数法．【分析】〔1〕根据题意列出关于m与n的方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出A与B坐标，设出反比例函数解析式，将A坐标代入即可确定出解析式；〔2〕存在，设E〔x，0〕，表示出DE与CE，连接AE，BE，三角形ABE面积=四边形ABCD面积﹣三角形ADE面积﹣三角形BCE面积，求出即可．【解答】解：〔1〕由题意得：，解得：，∴A〔1，6〕，B〔6，1〕，设反比例函数解析式为y=，将A〔1，6〕代入得：k=6，那么反比例解析式为y=；〔2〕存在，设E〔x，0〕，那么DE=x﹣1，CE=6﹣x，∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴∠ADE=∠BCE=90°，连接AE，BE，那么S△ABE=S四边形ABCD﹣S△ADE﹣S△BCE=〔BC+AD〕•DC﹣DE•AD﹣CE•BC=×〔1+6〕×5﹣〔x﹣1〕×6﹣〔6﹣x〕×1=﹣x=5，解得：x=5，那么E〔5，0〕．【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．23．如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE，假设CE是⊙O的切线，解答以下问题：〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设BC=3，CD=4，求平行四边形OABC的面积．【考点】切线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】〔1〕连接OD，求出∠EOC=∠DOC，根据SAS推出△EOC≌△DOC，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可；〔2〕根据全等三角形的性质求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=3，根据平行四边形的面积公式求出即可．【解答】〔1〕证明：连接OD，∵OD=OA，∴∠ODA=∠A，∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥AB，∴∠EOC=∠A，∠COD=∠ODA，∴∠EOC=∠DOC，在△EOC和△DOC中∴△EOC≌△DOC〔SAS〕，∴∠ODC=∠OEC=90°，即OD⊥DC，∴CD是⊙O的切线；〔2〕解：∵△EOC≌△DOC，∴CE=CD=4，∵四边形OABC是平行四边形，∴OA=BC=3，∴平行四边形OABC的面积S=OA×CE=3×4=12．【点评】此题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是推出△EOC≌△DOC．24．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，∠ACB=9