广西壮族自治区钦州市钦北区平吉中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析

广西壮族自治区钦州市钦北区平吉中学2021-2022学年高二数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0的面积，则+的最小值为（）A．5 B．7 C．2 D．9参考答案：D【考点】直线与圆的位置关系．

【专题】计算题；直线与圆．【分析】利用直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）始终平分圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣1=0的面积，可得圆的圆心（1，2）在直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）上，再利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求出的最小值．【解答】解：由题意，圆的圆心（1，2）在直线2ax+by﹣2=0（a＞0，b＞0）上∴2a+2b﹣2=0（a＞0，b＞0）∴a+b=1∴+=（a+b）（+）=5++≥5+2×2=9当且仅当=，即a=，b=时，+的最小值为9故选：D．【点评】本题考查圆的对称性，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．2.等比数列an中，a1=2，q=2，Sn=126，则n=（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：D【考点】等比数列的性质．【分析】由首项和公比的值，根据等比数列的前n项和公式表示出Sn，让其等于126列出关于n的方程，求出方程的解即可得到n的值．【解答】解：由a1=2，q=2，得到Sn===126，化简得：2n=64，解得：n=6．故选D3.已知集合M={(x,y)∣x+y=2}，N={(x,y)∣x–y=4},那么集合M∩N为(

)A.{3,–1}

B.3,–1

C.(3,–1)

D.{(3,–1)}参考答案：D4.若，，，则以下结论正确的是（）A． B． C． D．，大小不定参考答案：A5.已知复数(为虚数单位），则在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限

B．第二象限 C．第三象限

D．第四象限参考答案：B,所以对应的点在复平面的第二象限,故选B．6.若集合，，全集R，则等于（

）（A）

（B）

（C）

（D）

参考答案：C略7.若lga,lgb,lgc成等差数列，则（

）A

b=

B

b=(lga+lgc)C

a,b,c成等比数列

D

a,b,c成等差数列参考答案：C8.某种产品的广告费支出与销售额（单位：万元）之间有下表关系245683040605070与的线性回归方程为，当广告支出5万元时，随机误差为A．10

B．20

C．30

D．40参考答案：A9.直线的倾斜角是（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：Ｄ10.已知分别是双曲线的左、右焦点，是双曲线左支上异于顶点的一动点，圆为的内切圆，若是其中的一个切点，则A． B． C． D．与的大小不确定参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．参考答案：1和3【考点】F4：进行简单的合情推理．【答案】【解析】【分析】可先根据丙的说法推出丙的卡片上写着1和2，或1和3，分别讨论这两种情况，根据甲和乙的说法可分别推出甲和乙卡片上的数字，这样便可判断出甲卡片上的数字是多少．【解答】解：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；（1）若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；（2）若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是2”；∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；∴甲的卡片上的数字是1和3．故答案为：1和3．【点评】考查进行简单的合情推理的能力，以及分类讨论得到解题思想，做这类题注意找出解题的突破口．12.当时，的最小值为

．参考答案：13.与相交所截的弦长为

参考答案：14.已知为椭圆上不同的三点，且连线经过坐标原点，若直线的斜率乘积，则该椭圆的离心率为__

▲

__.参考答案：15.已知函数f（x）是R上的可导函数，且f′（x）=1+cosx，则函数f（x）的解析式可以为．（只须写出一个符合题意的函数解析式即可）参考答案：f（x）=x+sinx【考点】导数的运算．【专题】函数思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】根据函数的导数公式进行求解即可．【解答】解：∵x′=1，（sinx′）=cosx，∴当f（x）=x+sinx时，满足f′（x）=1+cosx，故答案为：x+sinx．（答案可有多种形式）【点评】本题主要考查函数的导数的计算，比较基础．16.点（3，4）不在不等式y≤3x+b表示的区域内，而点（4，4）在此区域内，则实数b的取值范围是．参考答案：[﹣8，﹣5）【考点】7B：二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，结合点和不等式的关系进行转化求解即可．【解答】解：∵点（3，4）不在不等式y≤3x+b表示的区域内，而点（4，4）在此区域内，∴，即，得﹣8≤b＜﹣5，即实数b的取值范围是[﹣8，﹣5），故答案为：[﹣8，﹣5）17.已知三角形ABC的三边长分别为，AB=7，BC=5，CA=6，则的值为__

_____.参考答案：-19三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设是虚数，是实数，且.(1)求的值及的实部的取值范围；（2）设，求证：为纯虚数.参考答案：略19.（10分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求证：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明A1D⊥DC．（2）求出平面A1BE的一个向量和平面A1BC的一个法向量，利用向量法能求出二面角E﹣A1B﹣C的余弦值．（3）设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），求出平面A1DP的法向量和平面A1BC法向量，利用向量法能求出在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．∴由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，由题意得DE=2，从而A1（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2），D（0，0，2），∴=（﹣2，0，2），=（0，4，0），∵?=0，∴A1D⊥DC．解：（2）平面A1BE的一个向量=（0，0，1），=（2，﹣2，0），=（0，2，2），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则=（﹣，﹣，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣．（3）若存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），=（﹣2，0，2），设平面A1DP的法向量=（a，b，c），则，令c=λ，则=（），则平面A1BC法向量=（﹣，1），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴=﹣3λ﹣3+λ=0，解得λ=﹣，与0≤λ≤1矛盾，∴在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．【点评】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查线段比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.如图，在四棱锥A﹣BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，AC=．（Ⅰ）证明：DE⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣E的大小．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，利用题中的数据，解三角形，可求得BF=，AF=AD，从而GF=，cos∠BFG==，从而可求得答案．【解答】证明：（Ⅰ）在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=，由AC=，AB=2得AB2=AC2+BC2，即AC⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；（Ⅱ）作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG，由（Ⅰ）知DE⊥AD，则FG⊥AD，所以∠BFG就是二面角B﹣AD﹣E的平面角，在直角梯形BCDE中，由CD2=BC2+BD2，得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．在Rt△ACD中，由DC=2，AC=，得AD=；在Rt△AED中，由ED=1，AD=得AE=；在Rt△ABD中，由BD=，AB=2，AD=得BF=，AF=AD，从而GF=，在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE=，BG=．在△BFG中，cos∠BFG==，所以，∠BFG=，二面角B﹣AD﹣E的大小为．21.已知椭圆C1的方程是，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，双曲线C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点．（1）求双曲线C2的方程；（2）若直线与双曲线C2有两个不同的交点A、B，且（O为原点），求k的取值范围．参考答案：【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】（1）求得椭圆的左右焦点和左右顶点，可得双曲线的a，b，c，进而得到所求双曲线的方程；（2）联立直线l的方程和双曲线的方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，和向量的数量积的坐标表示，化简整理，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意知，椭圆C1的方程是，焦点为，左右顶点A1（﹣2，0）、A2（2，0）．所以双曲线C2中，，故双曲线C2的方程为；（2）联立得，．由题意知，，得①记A（x1，y1），B（x2，y2），则．∴，由题，知，整理得②由①②知，，故k的取值范围是．22.（本小题满分14分）如图，重量是2000N的重物挂在杠杆上距支点10米处．质量均