2020届全国高考数学(理)刷题1-1(2019模拟题)模拟重组卷(六)(解析版)

PAGEPAGE12第页2020届全国高考数学（理）刷题1+1（2019模拟题）模拟重组卷（六）（解析版）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·宣城二调)若复数z满足z(1＋2i)＝3＋i，i为虚数单位，则z的共轭复数eq\x\to(z)＝()A．1B．1－iC．2D．1＋i答案D解析由z(1＋2i)＝3＋i，z＝eq\f(3＋i,1＋2i)＝eq\f(3＋i1－2i,1－4i2)＝eq\f(5－5i,5)＝1－i，∴z的共轭复数eq\o(z,\s\up6(－))为1＋i，故选D.2．(2019·清远联考)已知集合A＝{x∈R|log2(x＋1)≤2}，B＝{－2，－1,0,1,2,3,4}，则A∩B＝()A．{－1,0,1,2,3} B．{0,1,2,3}C．{1,2,3} D．{0,1,2}答案B解析由题可知A＝(－1,3]，则A∩B＝{0,1,2,3}．故选B.3.(2019·泸州一中模拟)军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：①甲的平均成绩比乙的平均成绩高；②甲的成绩的极差是29；③乙的成绩的众数是21；④乙的成绩的中位数是18.则这4个结论中，正确结论的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C解析根据茎叶图知甲的平均成绩大约二十几，乙的平均成绩大约十几，因此①正确；甲的成绩的极差是37－8＝29，②正确；乙的成绩的众数是21，③正确；乙的成绩的中位数是eq\f(18＋19,2)＝18.5，④错误，故选C.4．(2019·中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为()A．24里B．12里C．6里D．3里答案C解析记每天走的路程里数为{an}，则{an}为公比q＝eq\f(1,2)的等比数列，由S6＝378，得S6＝eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，所以a6＝192×eq\f(1,25)＝6，故选C.5．(2019·东北三校模拟)已知α是第三象限角，且coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)，则sin2α＝()A.eq\f(24,25)B．－eq\f(24,25)C.eq\f(7,25)D．－eq\f(7,25)答案A解析coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝eq\f(3,5)⇒sinα＝－eq\f(3,5)，∵sin2α＋cos2α＝1，α是第三象限角，∴cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，∴sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(24,25)，故选A.6．(2019·黄山质检)已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝eq\r(2)，且a⊥(a＋2b)，则b在a方向上的投影为()A．1B．－1C.eq\r(2)D．－eq\r(2)答案B解析由于a⊥(a＋2b)，故a·(a＋2b)＝0，即a2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，a·b＝－2.故b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(－2,2)＝－1.故选B.7．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝eq\f(sinx＋x,cosx＋x2)在[－π，π]的图象大致为()答案D解析∵f(－x)＝eq\f(sin－x－x,cos－x＋－x2)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝eq\f(1＋\f(π,2),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))2)＝eq\f(4＋2π,π2)>1，f(π)＝eq\f(π,－1＋π2)>0，排除B，C.故选D.8．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝eq\r(2)，BC＝2，点D为BC的中点，则异面直线AD与A1C所成的角为()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案B解析取B1C1的中点D1，连接A1D1，CD1，在直三棱柱ABC－A1B1C1，点D为BC的中点，∴AA1＝DD1且AA1∥DD1，∴AD∥A1D1且AD＝A1D1，∴∠CA1D1就是异面直线AD与A1C所成的角，AB＝AC＝eq\r(2)，BC＝2可以求出AD＝A1D1＝1，在Rt△CC1D1中，由勾股定理可求出CD1＝eq\r(3)，在Rt△AA1C中，由勾股定理可求出A1C＝2，显然△A1D1C是直角三角形，sin∠CA1D1＝eq\f(CD1,A1C)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠CA1D1＝eq\f(π,3)，故选B.9．(2019·四川二诊)在数列{an}中，已知a1＝1，且对于任意的m，n∈N*，都有am＋n＝am＋an＋mn，则数列{an}的通项公式为()A．an＝n B．an＝n＋1C．an＝eq\f(nn－1,2) D．an＝eq\f(nn＋1,2)答案D解析令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，∴an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，∴an－1＝2＋3＋4＋…＋n，∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).故选D.10．(2019·山师附中模拟)过双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点且与对称轴垂直的直线与双曲线交于A，B两点，△OAB的面积为eq\f(\r(13)bc,3)，则双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(13),2)B.eq\f(\r(13),3)C.eq\f(\r(22),2)D.eq\f(\r(22),3)答案D解析右焦点设为F，其坐标为(c,0)，令x＝c，代入双曲线方程可得y＝±beq\r(\f(c2,a2)－1)＝±eq\f(b2,a)，△OAB的面积为eq\f(1,2)·c·eq\f(2b2,a)＝eq\f(\r(13),3)bc⇒eq\f(b,a)＝eq\f(\r(13),3)，可得e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(1＋\f(13,9))＝eq\f(\r(22),3)，故选D.11．(2019·清华附中模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．8＋4eq\r(2)B．2＋2eq\r(2)＋4eq\r(3)C．2＋6eq\r(3)D．2＋4eq\r(2)＋2eq\r(3)答案D解析由题意可知，该几何体的直观图如图：该几何体为棱长为2的正方体的一部分，三棱锥A－BCD，三棱锥的表面积为eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＋eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(2))2＝2＋4eq\r(2)＋2eq\r(3).故选D.12．(2019·云师附中模拟)已知在菱形ABCD中，∠BCD＝60°，曲线C1是以A，C为焦点，通过B，D两点且与直线x＋2eq\r(3)y－4＝0相切的椭圆，则曲线C1的方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1 B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1答案B解析如图，由题意可得a＝2b(b>0)，则设椭圆方程为eq\f(x2,4b2)＋eq\f(y2,b2)＝1.联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2\r(3)y－4＝0，,\f(x2,4b2)＋\f(y2,b2)＝1，))得4y2－4eq\r(3)y＋4－b2＝0.由Δ＝48－16(4－b2)＝0，解得b＝1.所以曲线C1的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·东北三校模拟)已知x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤x－y≤1，,－2≤2x＋y≤2，))则z＝3x＋y的最大值为________．答案3解析根据约束条件可以画出可行域，如图中阴影部分所示：由z＝3x＋y，可知直线y＝－3x＋z过A(1,0)时，z有最大值为3×1＋0＝3.14．(2019·朝阳一模)执行如图所示的程序框图，则输出的x的值为________．答案eq\f(17,12)解析运行程序，x＝2，n＝1，判断是，x＝eq\f(3,2)，n＝2，判断是，x＝eq\f(17,12)，n＝3，判断否，输出x＝eq\f(17,12).15．(2019·鞍山一中模拟)如下分组的正整数对：第1组为{(1,2)，(2,1)}，第2组为{(1,3)，(3,1)}，第3组为{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，第4组为{(1,5)，(2,4)，(4,2)，(5,1)}，…，则第40组第21个数对为________．答案(22,20)解析由题意可得第一组的各个数对和为3，第二组各个数对和为4，第三组各个数对和为5，第四组各个数对和为6，……，第n组各个数对和为n＋2，且各个数对无重复数字，可得第40组各个数对和为42，则第40组第21个数对为(22,20)．16．(2019·哈三中模拟)函数f(x)＝x2－6x＋4lnx的图象与直线y＝m有三个交点，则实数m的取值范围为________．答案(4ln2－8，－5)解析由题意得f′(x)＝2x－6＋eq\f(4,x)＝eq\f(2x2－6x＋4,x)，令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2，易得当x∈(0,1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(1,2)，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(1)＝－5为极大值，f(2)＝4ln2－8为极小值，∴4ln2－8<m<－5.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·吕梁一模)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C所对的边，其中b＝2，sin(A－B)＝sinC－sinB.(1)求A；(2)若D是AC边的中点，BD＝eq\r(7)，求a.解(1)∵sin(A－B)＝sinC－sinB，∴sinB＝sinC－sin(A－B)，即sinB＝sin(A＋B)－sin(A－B)，整理得sinB＝2cosAsinB.又sinB≠0，则cosA＝eq\f(1,2)，则A＝eq\f(π,3).(2)根据题意，设AB＝t，又由b＝AC＝2，则AD＝1，在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB×AD×cosA＝t2＋1－2×t×1×eq\f(1,2)＝7，即t2－t－6＝0，解得t＝3或t＝－2(舍去)．在△ABC中，a2＝BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cosA＝9＋4－2×3×2×eq\f(1,2)＝7，∴a＝eq\r(7).18．(本小题满分12分)(2019·凯里一中模拟)某工厂生产A，B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95]A零件812403010B零件91640287(1)试分别估计A，B两种零件为正品的概率；(2)生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在(1)的条件下：①设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；②求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．解(1)∵指标大于或等于80cm的为正品，且A，B两种零件为正品的频数分别为80和75，∴A，B两种零件为正品的概率估计值分别为P(A)＝eq\f(80,100)＝eq\f(4,5)，P(B)＝eq\f(75,100)＝eq\f(3,4).(2)①由题意知，X的可能取值为－25,35,50,110，P(X＝－25)＝eq\f(1,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,20)，P(X＝35)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，P(X＝50)＝eq\f(1,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,20)，P(X＝110)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)＝eq\f(3,5).∴X的分布列为X－253550110Peq\f(1,20)eq\f(1,5)eq\f(3,20)eq\f(3,5)∴X的数学期望为E(X)＝(－25)×eq\f(1,20)＋35×eq\f(1,5)＋50×eq\f(3,20)＋110×eq\f(3,5)＝79.25.②∵生产1个零件B是正品的概率为P(B)＝eq\f(3,4)，生产5个零件B所产生的正品数Y服从二项分布，即Y～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(3,4)))，生产5个零件B所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件，∴生产5个零件B所得利润不少于160元的概率为P＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝Ceq\o\al(4,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))1＋Ceq\o\al(5,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))5＝eq\f(81,128).19．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的二面角B－CG－A的大小．解(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，所以AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，且BE∩BC＝B，所以AB⊥平面BCGE.又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE.(2)作EH⊥BC，垂足为H.因为EH⊂平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°，可求得BH＝1，EH＝eq\r(3).以H为坐标原点，eq\o(HC,\s\up8(→))的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz，则A(－1,1,0)，C(1,0,0)，G(2,0，eq\r(3))，eq\o(CG,\s\up8(→))＝(1,0，eq\r(3))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(2，－1,0)．设平面ACGD的法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\o(CG,\s\up8(→))·n＝0，,\o(AC,\s\up8(→))·n＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)z＝0，,2x－y＝0.))所以可取n＝(3,6，－eq\r(3))．又平面BCGE的法向量可取m＝(0,1,0)，所以cos〈n，m〉＝eq\f(n·m,|n||m|)＝eq\f(\r(3),2).因此二面角B－CG－A的大小为30°.20．(本小题满分12分)(2019·漳州质检)已知动圆P过点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))且与直线y＝－eq\f(1,8)相切，圆心P的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若A，B是曲线C上的两个点且直线AB过△AOB的外心，其中O为坐标原点，求证：直线AB过定点．解(1)解法一：由题意可知|PF|等于点P到直线y＝－eq\f(1,8)的距离，∴曲线C是以点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))为焦点，以直线y＝－eq\f(1,8)为准线的抛物线，∴曲线C的方程为x2＝eq\f(1,2)y.解法二：设P(x，y)，由题意可知|PF|等于点P到直线y＝－eq\f(1,8)的距离，∴eq\r(x2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,8)))2)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(y＋\f(1,8)))，整理得曲线C的方程为x2＝eq\f(1,2)y.(2)设直线AB：y＝kx＋m代入x2＝eq\f(1,2)y，得2x2－kx－m＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝2xeq\o\al(2,1)，y2＝2xeq\o\al(2,2)，Δ＝k2＋8m>0，x1x2＝－eq\f(m,2)，y1y2＝(2xeq\o\al(2,1))(2xeq\o\al(2,2))＝4(x1x2)2＝m2，∵直线AB过△AOB的外心，∴OA⊥OB，eq\o(OA,\s\up8(→))·eq\o(OB,\s\up8(→))＝0，∴－eq\f(m,2)＋m2＝0，∴m＝0或m＝eq\f(1,2)，∵直线AB不过点O，∴m≠0，∴m＝eq\f(1,2)，∴直线AB：y＝kx＋eq\f(1,2)，∴直线AB过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).21．(本小题满分12分)(2019·抚顺一模)已知函数f(x)＝lnx－ax－3(a≠0)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若函数f(x)有最大值M，且M>a－5，求实数a的取值范围．解(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，由已知得f′(x)＝eq\f(1,x)－a，当a<0时，f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)内单调递增，无减区间；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝eq\f(1,a)，∴当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,a)))时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)，＋∞))时，f′(x)<0，f(x)单调递减．(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)内单调递增，无最大值，当a>0时，函数f(x)在x＝eq\f(1,a)取得最大值，即f(x)max＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝lneq\f(1,a)－4＝－lna－4，因此有－lna－4>a－5，得lna＋a－1<0，设g(a)＝lna＋a－1，则g′(a)＝eq\f(1,a)＋1>0，∴g(a)在(0，＋∞)内单调递增，又g(1)＝0，∴g(a)<g(1)，得0<a<1，故实数a的取值范围是(0,1)．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·太原二模)已知在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋cosφ，,y＝1＋sinφ))(其中φ为参数)，点M在曲线C1上运动，动点P满足eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OM,\s\up8(→))，其轨迹为曲线C2.以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C2的普通方程；(2)若点A，B分别是射线l：θ＝eq\f(π,4)与曲线C1，C2的公共点，求|AB|的最大值．解(1)设P(x，y)，M(x′，y′)，∵eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OM,\s\up8(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝\f(1,2)x，,y′＝\f(1,2)y，))∵点M在曲线C1上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2＋cosφ，,y′＝1＋sinφ，))∴曲线C1的普通方程为(x′－2)2＋(y′－1)2＝1，∴曲线C2的普通方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ))得曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＋4＝0，曲线C2的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－4ρsinθ＋16＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2－4ρcosθ－2ρsinθ＋4＝0，,θ＝\f(π,4)))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝\r(2)，,θ＝\f(π,4)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ＝2\r(2)，,θ＝\f(π,4)，))∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\r(2)))或Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，2\r(2)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1