广西壮族自治区河池市地区高级中学高三数学理联考试题含解析

广西壮族自治区河池市地区高级中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，正方形BCDE和ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C2.若定义在R上的偶函数满足，且当[0，1]时，，则函数的零点个数是（

）

A．2个

B．3个

C．4个

D．多于4个参考答案：C本题考察函数性质的综合运用，利用数形结合法求解。由已知函数是周期为2的周期函数且是偶函数，由[0，1]时，，结合以上性质画出函数的图象，再在同一坐标系中画出的图象，观察交点个数即可，如下图所示。

显然两图象有4个交点，则函数的零点有4个，故选择C。3.清代著名数学家梅彀成在他的《增删算法统宗》中有这样一歌谣：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”其译文为：“远远望见7层高的古塔，每层塔点着的灯数，下层比上层成倍地增加，一共有381盏，请问塔尖几盏灯？”则按此塔各层灯盏的设置规律，从上往下数第4层的灯盏数应为（）A．3 B．12 C．24 D．36参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a1为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的求和公式可得a1，即可求出a4．【解答】解：依题意知，此塔各层的灯盏数构成公比q=2的等比数列，且前7项和S7=381，由，解得a1=3，故．故选：C．4.已知集合P={4，5，6}，Q={1，2，3}，定义P⊕Q={x|x=p﹣q，p∈P，q∈Q}，则集合P⊕Q的所有真子集的个数为（）A．32 B．31 C．30 D．以上都不对参考答案：B【考点】子集与真子集．【分析】由所定义的运算先求出P⊕Q，然后再求集合P⊕Q的所有真子集的个数．【解答】解：由所定义的运算可知P⊕Q={1，2，3，4，5}，∴P⊕Q的所有真子集的个数为25﹣1=31．故选B．5.设集合,，若，则实数的值为A.

B.

C.

D.

参考答案：C略6.函数处的切线的斜率为（

）

A．

B．

C．

D．1参考答案：C7.设数列{an}是公差d＜0的等差数列，Sn为其前n项和，若S6＝5a1＋10d，则Sn取最大值时，n=()．A．5B．6C．5或6D．6或7参考答案：【知识点】等差数列及等差数列前n项和D2【答案解析】C

∵S6=5a1+10d，∴6a1+15d=5a1+10d得到a1+5d=0即a6=0，

∵数列{an}是公差d＜0的等差数列，∴n=5或6，Sn取最大值．故选：C．【思路点拨】利用S6=5a1+10d，可得a6=0，根据数列{an}是公差d＜0的等差数列，即可得出结论．8.已知，且，则“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的（

）A.充分而不必要条件

B．必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A函数在上是减函数，则，函数在上是增函数，则，解得，所以时满足，“函数在上是减函数”是“函数在上是增函数”的充分条件，时，不一定有，故“函数在上是减函数”不是“函数在上是增函数”的必要条件，故答案为A。9.2018年，晓文同学参加工作月工资为7000元，对各种用途所占比例进行统计得到如图所示的条形图，后来晓文同学加强了体育锻炼，对目前月工资的各种用途所占比例进行统计得到下面的折线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少200元，则目前晓文同学的月工资为（

）A.8000元 B.8500元 C.9500元 D.10000元参考答案：D【分析】由条形图得到就医费用，由折线图得到就医费用所占比，进而可求出结果.【详解】由条形图知就医费用为700元，由折线图得，月工资为元.故选D.【点睛】本题主要考查统计图，会分析统计图，进行简单的计算即可，属于基础题型.10.设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率是（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.曲线在以点为切点的切线方程是

；

参考答案：答案：12.若向量，满足，，且，的夹角为，则

，

．参考答案：，，所以。

【解析】略13.已知等比数列的首项，其前四项恰是方程的四个根，则___________．参考答案：略14.已知正数满足，，则的取值范围是_____

_参考答案：15.设函数，则函数的定义域为

．

参考答案：答案：16.已知等差数列()中，，，则数列的通项公式

；______．参考答案：,17.若椭圆的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为

▲

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位：）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位：）：85,95,103,109,119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据：，，，，，，，.参考答案：（1）由题意知：或，，∵，∴；（2）①所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．19.近几年骑车锻炼越来越受到人们的喜爱，男女老少踊跃参加，我校课外活动小组利用春节放假时间进行社会实践，将被调查人员分为“喜欢骑车”和“不喜欢骑车”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：（1）补全频率分布直方图，并的值；（2）从岁年龄段的“喜欢骑车”中采用分层抽样法抽取18人参加骑车锻炼体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在岁的人数为，求的分布列和期望.参考答案：(1)频率分布直方图见解析，；(2)分布列见解析，.试题分析：(1)借助题设条件运用频率分布直方图求解；(2)借助题设条件运用数学期望的计算公式求解.试题解析：（1）第二组的频率为∴高为，频率直方图如下：（2）∵年龄段的“喜欢骑车”与年龄段的“喜欢骑车”的比值为，∴采用分层抽样法抽取18人，中有12人，中有6人.∵随机变量服从超几何分布，∴，，，，∴随机变量的分布列为：∴.考点：频率分布直方图和随机变量的数学期望计算公式等有关知识的综合运用．20.已知函数f(x)=+1，g（x）=x2eax（a＜0）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，．…当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣1）（﹣1，1）（1，+∞）f'（x）﹣+﹣f（x）↘↗↘所以，函数f（x）的单调递增区间是（﹣1，1），单调递减区间是（﹣∞，﹣1），（1，+∞）．…（Ⅱ）依题意，“对于任意x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“对于任意x∈[0，2]，f（x）min≥g（x）max成立”．由（Ⅰ）知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，因为f（0）=1，，所以函数f（x）的最小值为f（0）=1．所以应满足g（x）max≤1．…因为g（x）=x2eax，所以g'（x）=（ax2+2x）eax．…因为a＜0，令g'（x）=0得，x1=0，．（ⅰ）当，即﹣1≤a＜0时，在[0，2]上g'（x）≥0，所以函数g（x）在[0，2]上单调递增，所以函数．由4e2a≤1得，a≤﹣ln2，所以﹣1≤a≤﹣ln2．

…（ⅱ）当，即a＜﹣1时，在上g'（x）≥0，在上g'（x）＜0，所以函数g（x）在上单调递增，在上单调递减，所以．由得，，所以a＜﹣1．

…综上所述，a的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]．

…21.在三棱锥S﹣ABC中，三条棱SA、SB、SC两两互相垂直，且SA=SB=SC=a，M是边BC的中点．（1）求异面直线SM与AC所成的角的大小；（2）设SA与平面ABC所成的角为α，二面角S﹣BC﹣A的大小为β，分别求cosα，cosβ的值．参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）取AB的中点D，连结SD，MD，说明三角形SDM是等边三角形，推出异面直线SM与AC成60°角．（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，说明SA与平面ABC所成的角α=∠SAM，通过求解三角形即可，二面角S﹣BC﹣A的大小β=∠SMA，通过三角形求解即可．【解答】解：（1）取AB的中点D，连结SD，MD，显然所以三角形SDM是等边三角形…所以异面直线SM与AC成60°角…（2）过S作SO⊥AM，垂足为O，因为SM⊥BC，AM⊥BC所以BC⊥平面SAM，所以BC⊥SO所以SO⊥平面ABC则SA与平面ABC所成的角α=∠SAM…因为SA⊥SB