广西壮族自治区梧州市藤州中学2020年高三数学理联考试题含解析

广西壮族自治区梧州市藤州中学2020年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.命题“，”的否定是A.，

B.，

C.，

D.，参考答案：D2.已知直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的

取值范围是A．(－2，2)B．(－，)

C．(－，)

D．(－，)参考答案：C设l的方程y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.圆心为(1,0)．由已知有<1，∴－<k<.3.已知且，则向量等于A. B. C. D.参考答案：D4.函数（其中A＞0,）的图象如图所示，为了得到图象，则只需将的图象

（

）A.向右平移个长度单位 B.向左平移个长度单位C.向右平移个长度单位

D.向左平移个长度单位参考答案：B5.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 A．①④②③ B．①④③②

C．④①②③

D．③④②①参考答案：A6.在等差数列中，为的前项和，若，则

等于A．3

B．2

C．

D．参考答案：答案：B7.设是平面向量的集合，映射：满足，则对，，，下列结论恒成立的是（

）A．

B．C．

D．参考答案：C8.平面α外的一侧有一个三角形，三个顶点到平面α的距离分别是7、9、13，则这个三角形的重心到平面α的距离为(

)(A)

(B)10

(C)8

(D)参考答案：A如图过点A作平面β∥α则β、α之间的距离为7，B到β的距离为9－7＝2，C到β的9.设，，，则下列关系中正确的是(

)A．

B．

C．

D．参考答案：

A略10.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是A.

B.8-

C.

D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设x，y满足约束条件，则的最小值为

．参考答案：-3画出可行域如下图所示,由图可知,目标函数在点(－1,1)处取得最小值为－3.

12.函数f（x）=，如果方程f（x）=b有四个不同的实数解x1、x2、x3、x4，则x1+x2+x3+x4=

．参考答案：4【考点】54：根的存在性及根的个数判断．【分析】作出f（x）的图象，由题意可得y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，计算即可得到所求和．【解答】解：作出函数f（x）=的图象，方程f（x）=b有四个不同的实数解，等价为y=f（x）和y=b的图象有4个交点，不妨设它们交点的横坐标为x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，由x1、x2关于原点对称，x3、x4关于（2，0）对称，可得x1+x2=0，x3+x4=4，则x1+x2+x3+x4=4．故答案为：4．13.若有三个点，，，且，则

。参考答案：514.若直线是抛物线的一条切线，则

．参考答案：-415.若在区域内任取一点P，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率是．参考答案：【考点】简单线性规划；几何概型．【专题】概率与统计．【分析】由我们易画出图象求出其对应的面积，即所有基本事件总数对应的几何量，再求出区域内也单位圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．【解答】解：满足约束条件区域为△ABC内部（含边界），与单位圆x2+y2=1的公共部分如图中阴影部分所示，则点P落在单位圆x2+y2=1内的概率概率为P===．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是几何概型，二元一次不等式（组）与平面区域，求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=N（A）÷N求解．16.已知平面区域的面积是5,则实数____参考答案：答案:

17.若，，，，则

．参考答案：∵，可得，①∴两边平方可得，，解得：，∵，可得：，②∴由①②解得：，又∵，可得：，两边平方，可得：，，∴．故答案为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

已知角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，终边经过点.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，求函数在区间上的取值范围． 参考答案：解：（Ⅰ）因为角终边经过点，所以，，

------------3分

---------6分(2)，--------8分----10分

，

故：函数在区间上的取值范围是-------12分略19.已知数列

（Ⅰ）计算

（Ⅱ）令是等比数列；

（Ⅲ）设、分别为数列、的前，使得数列为等差数列？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案：解：（Ⅰ）由题意，………2分

同理

……3分

（Ⅱ）因为

所以………5分

…………7分又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列……9分

（Ⅲ）由（2）得，

又

所以…………13分

由题意，记

则……15分

故当……16分20.（本小题满分13分）设函数，已知函数的图像的相邻对称轴的距离为.（1）求函数的解析式;（2）若△的内角为所对的边分别为（其中），且，面积为，求的值.参考答案：21.（14分）已知为正整数，（I）用数学归纳法证明：当时，；（II）对于，已知，求证：，；（III）求出满足等式的所有正整数．参考答案：本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力．解析：解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都成立．（Ⅱ）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有．解法2：（Ⅰ）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，，．①（ⅰ）当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；（ⅱ）假设当时，不等式①成立，即，则当时，因为，所以．又因为，所以．于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（Ⅱ）证：当，时，，，而由（Ⅰ），，．（Ⅲ）解：假设存在正整数使等式成立，即有．②又由（Ⅱ）可得，与②式矛盾．故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1．

22.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．（1）证明：AE是⊙O的切线；（2）如果AB=4，AE=2，求CD．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆內接多边形的性质与判定．【专题】选作题；立体几何．【分析】（1）连接OA，根据角之间的互余关系可得∠OAE=∠DEA=90°，证明OA∥CE，利用AE⊥CE，可得AE⊥OA，即AE是⊙O的切线；（2）由（1）可得△ADE∽△BDA，求出∠ABD=30°，从而∠DAE=30°，可得DE=AEtan30°，利用切割线定理，可得结论．【解答】（1）证明：连结OA，则OA=OD，所以∠OAD=∠ODA，又∠ODA=∠ADE，所以∠ADE=∠OAD，所以OA∥CE．因为AE⊥CE，所以OA⊥AE．所以AE是⊙O的切线．