广西壮族自治区梧州市藤县第四中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析

广西壮族自治区梧州市藤县第四中学2021-2022学年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，A是曲线围成的区域，若向区域Ω上随机投一点P，则点P落入区域A的概率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】CF：几何概型．【分析】本题利用几何概型求解．欲求恰好落在阴影范围内的概率，只须求出阴影范围内的面积与正方形的面积比即可．为了求出阴影部分的面积，联立由曲线y=x2和曲线y=两个解析式求出交点坐标，然后在x∈（0，1）区间上利用定积分的方法求出围成的面积即可．【解答】解：联立得，解得或，设曲线与曲线围成的面积为S，则S=∫01（﹣x2）dx=而Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，表示的区域是一个边长为2的正方形，∴Ω上随机投一点P，则点P落入区域A（阴影部分）中的概率P==，故选D．【点评】本题考查的知识点是几何概型，其中利用积分公式，计算出阴影部分的面积是解答本题的关键．2.设函数是区间上的增函数，则实数t的取值范围是

（

）A．

B．C．D．参考答案：D3.已知双曲线的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线的斜率的取值范围是（

）A．

B． C．

D．参考答案：A4.已知球的直径，是该球面上的两点，，，则三棱锥

的体积为（

）

A.

B.

C.

D.参考答案：D5.设平面，直线．命题“”是命题“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：D【分析】根据线面平行的判定定理和两直线的位置关系，利用充要条件的判定方法，即可判定得到答案。【详解】由题意，平面，直线，若命题“”则可能或，所以充分性不成立，又由当“”时，此时直线与直线可能相交、平行或异面，所以必要性不成立，所以命题“”是命题“”的既不充分也不必要条件，故选D。【点睛】本题主要考查了充要条件的判定问题，其中解答中熟记线面平行的判定与性质，以及两直线的位置关系的判定，合理应用充要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题6.执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（） A．120 B． 105 C． 15 D． 5参考答案：考点： 循环结构．专题： 算法和程序框图．分析： 据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的k值是什么．解答： 解：第一次循环得到：k=1，i=3；第二次循环得到：k=3，i=5；第三次循环得到：k=15，i=7；满足判断框中的条件，退出循环∴k=15故选C点评： 本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，是基础题．7.设集合，B={－2,－1,0,1,2,3}，则集合A∩B为（

）A．{－2,－1,0,1,2}

B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,1,2,3}

D．{－2,－1,0,1,2,3}参考答案：B8.函数的大致图象是

参考答案：【知识点】函数图像得确定.

B8C

解析：因为f(0)=-3,所以排除选项A、B；又因为时，,所以排除选项D,故选C.

【思路点拨】利用特殊值法排除三个选项得正确选项.

9.函数（）的图象的一条对称轴方程是A．

B.

C.

D．参考答案：B10.对于函数y=g（x），部分x与y的对应关系如下表：x123456y247518数列{xn}满足：x1=2，且对于任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y=g（x）的图象上，则x1+x2+…+x2015=（）A．4054 B．5046 C．5075 D．6047参考答案：D【考点】函数的图象．【分析】由题意易得数列是周期为4的周期数列，可得x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3，代值计算可得．【解答】解：∵数列{xn}满足x1=2，且对任意n∈N*，点（xn，xn+1）都在函数y=g（x）的图象上，∴xn+1=g（xn），∴由图表可得x1=2，x2=f（x1）=4，x3=f（x2）=5，x4=f（x3）=1，x5=f（x4）=2，∴数列是周期为4的周期数列，故x1+x2+…+x2015=503（x1+x2+x3+x4）+x1+x2+x3=503×（2+4+5+1）+2+4+5=6047，故选：D．【点评】本题考查函数和数列的关系，涉及周期性问题，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知平面四边形为凸四边形（凸四边形即任取平面四边形一边所在直线，其余各边均在此直线的同侧），且，，，，则平面四边形面积的最大值为

．参考答案：设AC=,在中由余弦定理有同理，在中，由余弦定理有：，即①，又平面四边形面积为，即②.

①②平方相加得，当时，取最大值.12.（选修4-4：坐标系与参数方程）在极坐标系内，已知曲线C1的方程

为，以极点为原点，极轴方向为正

半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数

方程为(为参数)．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是_______．参考答案：【知识点】参数方程

N3解析：曲线的一般方程为：即，圆心为半径为1，曲线的一般方程为：点到直线的距离是：则这两条切线所成角余弦的最小值是【思路点拨】根据参数方程可求出一般方程，再根据直线与圆的关系可求出结果.13.某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价,第二次提价；方案乙：每次都提价，若，则提价多的方案是

.参考答案：乙设原价为1，则提价后的价格:方案甲：,乙：，因为，因为，所以，即，所以提价多的方案是乙。

【解析】略14.（5分）8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，且甲学校至少分到两个名额的分配方案为（用数字作答）参考答案：15【考点】：计数原理的应用．【专题】：排列组合．【分析】：8人分成三组有可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2）共5类，根据分类计数原理即可求出解：8名支教名额分配到三所学校，每个学校至少一个名额，则8人可以分为（6，1，1），（5，2，1），（4，3，1），（4，2，2），（3，3，2），∵甲学校至少分到两个名额，第一类是1种，第二类有4种，第三类有4种，第四类有3种，第五类也有3种，根据分类计数原理可得，甲学校至少分到两个名额的分配方案为1+4+4+3+3=15种故答案为：15．【点评】：本题考查了分类计数原理得应用，关键是分类，属于基础题．15.如图，AB是半圆O的直径，P在AB的延长线上，PD与半圆O相切于点C，ADPD.若PC=4，PB=2，则CD=____________.参考答案：16.计算定积分

.

参考答案：17.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，图中的实心点的个数1、5、12、22、…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作a1＝1，第2个五角形数记作a2＝5，第3个五角形数记作a3＝12，第4个五角形数记作a4＝22，……，若按此规律继续下去，则a5＝____，若an＝145，则n＝____.

参考答案：35，10.根据图形变化的规律可归纳得.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分，第（1）题6分、第（2）题6分）棱长为2的正方体中，点是棱的中点．（1）求直线与平面所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求四面体的体积．参考答案：（1）连接，平面，∴即为直线与平面所成角∵，，，∴，（2）连接、，则19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，，记函数在上的最大值为m，证明：.参考答案：（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）见解析.【分析】（1）利用导数求函数的单调性即可；（2）对求导，得，因为，所以，令，求导得在上单调递增，，使得，进而得在上单调递增，在上单调递减；所以，令，求导得在上单调递增，进而求得m的范围.【详解】（1）因，所以，当时，；当时，，故的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，，则，当时，，令，则，所以在上单调递增，因为，，所以存在，使得，即，即.故当时，，此时；当时，，此时.即在上单调递增，在上单调递减.则.令，，则.所以在上单调递增，所以，.故成立.20.在平面直角坐标系中，椭圆的中心为坐标原点，左焦点为，为椭圆的上顶点，且.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）已知直线：与椭圆交于，两点，直线：（）与椭圆交于，两点，且，如图所示.(1)证明：；(2)求四边形ABCD的面积S的最大值.参考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）2设椭圆G的标准方程为(a＞b＞0)．

因为F1（-1，0），∠PF1O=45°，所以b=c=1．所以，a2=b2+c2=2．所以，椭圆G的标准方程为（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）．

（ⅰ）证明：由消去y得：(1+2k2)x2+4km1x+2-2=0．

则△=8(2k2-+1)＞0，所以|AB|==

===2.同理|CD|=2

因为|AB|=|CD|，所以2=2．

因为m1≠m2，所以m1+m2=0．

（ⅱ）解：由题意得四边形ABCD是平行四边形，设两平行线AB，CD间的距离为d，则d=．因为m1+m2=0，所以d=,所以S=|AB|?d=2=4≤4.（或S=4=4≤2）所以当2k2+1=2时，四边形ABCD的面积S取得最大值为2略21.（本题满分12分）中国男子篮球职业联赛总决赛采用七场四胜制(即先胜四场者获胜)．进入总决赛的甲乙两队中，若每一场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，假设每场比赛的结果互相独立．现已赛完两场，乙队以暂时领先．（Ⅰ）求甲队获得这次比赛胜利的概率；（Ⅱ）设比赛结束时两队比赛的场数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．参考答案：（1）112/243（Ⅱ）的概率分布为：22.已知函数.（I）讨论函数的单调性；（Ⅱ）当m=1时，若方程在区间上有唯一的实数解，求实数a的取值范围；

（III）当m＞0时，若对于区间[1，2]上的任意两个实数x1，x2，且x1＜x2，都有成立，求实数m的最大值．参考答案：（Ⅰ）f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=x+m+=，m≥0时，f′（x）＞0，故m≥0时，f（x）在（0，+∞）递增；m＜0时，方程x2+mx+m=0的判别式为：△=m2-4m＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，故m＜0时，f（x）在（，+∞）递增，在（0，）递减；（Ⅱ）m=1时，由题意得：x2+x+lnx=x2+ax，整理得：a=1+，令g（x）=1+，g′（x）=，令g′（x）＞0，解得：x∈（0，e），函数g（x）在（0，e）递增，令g′（x）＜0，解得：x∈（e，+∞），函数g（x）在（e，+∞）递减；若方程f（x）=x2+ax在[e，+∞）上有唯一实数根，须求g（x）在[e，+∞）上的取值范围，g（x）≤g（e）=1+，又g（x）=1+＞1，（x＞e），∴a的范围是g（）≤a≤1，即1-e≤a≤1；（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当m＞0时，函数f