创新设计（江苏专用）2023届高考数学二轮复习解答题第一周星期六解答题综合练理

星期六(解答题综合练)2023年____月____日在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量m＝(a，c)，n＝(cosC，cosA).(1)假设m∥n，c＝eq\r(3)a，求角A；(2)假设m·n＝3bsinB，cosA＝eq\f(4,5)，求cosC的值.解(1)∵m∥n，∴acosA＝ccosC.由正弦定理得sinAcosA＝sinCcosC，化简得sin2A＝sin2C.∵A，C∈(0，π)，∴2A＝2C(舍)或2A＋2C＝π，∴A＋C＝eq\f(π,2)，∴B＝eq\f(π,2)，在Rt△ABC中，tanA＝eq\f(a,c)＝eq\f(\r(3),3)，A＝eq\f(π,6).(2)∵m·n＝3bcosB，∴acosC＋ccosA＝3bsinB.由正弦定理得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B，从而sin(A＋C)＝3sin2B.∵A＋B＋C＝π，∴sin(A＋C)＝sinB，且sinB≠0，从而sinB＝eq\f(1,3)，∵cosA＝eq\f(4,5)>0，A∈(0，π)，∴A∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sinA＝eq\f(3,5).∵sinA>sinB，∴a>b，从而A>B，B为锐角，cosB＝eq\f(2\r(2),3).∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝－eq\f(4,5)×eq\f(2\r(2),3)＋eq\f(3,5)×eq\f(1,3)＝eq\f(3－8\r(2),15).2.如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是菱形，点E是A1C1的中点.求证：(1)BE⊥AC；(2)BE∥平面ACD1.证明(1)如图，连接BD交AC于点F，由于E是A1C1的中点，那么连接B1D1交A1C1于点E.因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.因为ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以BB1⊥平面ABCD，又AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.又BD∩BB1＝B，BD⊂平面B1BDD1，BB1⊂平面B1BDD1，所以AC⊥平面B1BDD1.而BE⊂平面B1BDD1，所以BE⊥AC.(2)如图，连接D1F，因为四棱柱ABCD－A1B1C1D1为直四棱柱，所以四边形B1BDD1为矩形.又E，F分别是B1D1，BD的中点，所以BF＝D1E，且BF∥D1E.所以四边形BED1F是平行四边形.所以BE∥D1F.又D1F⊂平面ACD1，BE⊄平面ACD1，所以BE∥平面ACD1.3.假设两个椭圆的离心率相等，那么称它们为“相似椭圆〞.如图，在直角坐标系xOy中，椭圆C1：eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点.椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆〞.(1)求椭圆C2的方程；(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心.(垂心为三角形三条高的交点)(1)解由题意可知A1(－eq\r(6)，0)，A2(eq\r(6)，0)，椭圆C1的离心率e＝eq\f(\r(2),2).设椭圆C2的方程为eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，那么b＝eq\r(6).因为eq\f(b,a)＝eq\r(1－e2)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝2eq\r(3).所以椭圆C2的方程为eq\f(y2,12)＋eq\f(x2,6)＝1.(2)证明设P(x0，y0)，y0≠0，那么eq\f(yeq\o\al(2,0),12)＋eq\f(xeq\o\al(2,0),6)＝1，从而yeq\o\al(2,0)＝12－2xeq\o\al(2,0).将x＝x0代入eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,3)＝1得eq\f(xeq\o\al(2,0),6)＋eq\f(y2,3)＝1，从而y2＝3－eq\f(xeq\o\al(2,0),2)＝eq\f(yeq\o\al(2,0),4)，即y＝±eq\f(y0,2).因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝eq\f(y0,2)，即H(x0，eq\f(y0,2)).所以kA1P·kA2H＝eq\f(y0,x0－\r(6))·eq\f(\f(1,2)y0,x0＋\r(6))＝eq\f(yeq\o\al(2,0),2〔xeq\o\al(2,0)－6〕)＝eq\f(12－2xeq\o\al(2,0),2〔xeq\o\al(2,0)－6〕)＝－1，从而A1P⊥A2H.又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心.4.图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C为半圆弧eq\o(ACB,\s\up8(︵))的中点，渠宽AB为2米.(1)当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；(2)假设把这条水渠改挖(不准填土)成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，那么当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？解(1)以AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立如下图的直角坐标系xOy，因为AB＝2米，所以半圆的半径为1米，那么半圆的方程为x2＋y2＝1(－1≤x≤1，y≤0).因为水深CD＝0.4米，所以OD＝0.6米，在Rt△ODM中，DM＝eq\r(OM2－OD2)＝eq\r(1－0.62)＝0.8米.所以MN＝2DM＝1.6米，故沟中水面宽为1.6米.(2)为使挖掉的土最少，等腰梯形的两腰必须与半圆相切，设切点P(cosθ，sinθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜0))是圆弧BC上的一点，过点P作半圆的切线得如下图的直角梯形OCFE，得切线EF的方程为xcosθ＋ysinθ＝1.令y＝0，得Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cosθ)，0))，令y＝－1，得Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋sinθ,cosθ)，－1)).设直角梯形OCFE的面积为S.那么S＝eq\f(〔CF＋OE〕·OC,2)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋sinθ,cosθ)＋\f(1,cosθ)))×1,2)＝eq\f(2＋sinθ,2cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜θ＜0)).S′＝eq\f(cosθ·2cosθ－〔2＋sinθ〕〔－2sinθ〕,4cos2θ)＝eq\f(1＋2sinθ,2cos2θ)，令S′＝0，解得θ＝－eq\f(π,6).当－eq\f(π,2)＜θ＜－eq\f(π,6)时，S′＜0，函数单调递减；当－eq\f(π,6)＜θ＜0时，S′＞0，函数单调递增.所以θ＝－eq\f(π,6)时，面积S取得最小值，最小值为eq\f(\r(3),2)，此时CF＝eq\f(1＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6))))＝eq\f(\r(3),3)，即当渠底宽为eq\f(2\r(3),3)米时，所挖的土最少.5.无穷数列{an}的各项均为正整数，Sn为数列{an}的前n项和.(1)假设数列{an}是等差数列，且对任意正整数n都有Sn3＝(Sn)3成立，求数列{an}的通项公式；(2)对任意正整数n，从集合{a1，a2，…，an}中不重复地任取假设干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与a1，a2，…，an一起恰好是1至Sn全体正整数组成的集合.(ⅰ)求a1，a2的值；(ⅱ)求数列{an}的通项公式.解(1)设无穷等差数列{an}的公差为d，因为Sn3＝(Sn)3对任意正整数n都成立，所以分别取n＝1，n＝2时，那么有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝aeq\o\al(3,1)，,8a1＋28d＝〔2a1＋d〕3.))因为数列{an}的各项均为正整数，所以d≥0.可得a1＝1，d＝0或d＝2.当a1＝1，d＝0时，an＝1，Sn3＝(Sn)3成立；当a1＝1，d＝2时，Sn＝n2，所以Sn3＝(Sn)3.因此，共有2个无穷等差数列满足条件，通项公式为an＝1或an＝2n－1.(2)(ⅰ)记An＝{1，2，…，Sn}，显然a1＝S1＝1.对于S2＝a1＋a2＝1＋a2，有A2＝{1，2，…，Sn}＝{1，a2，1＋a2，|1－a2|}＝{1，2，3，4}，故1＋a2＝4，所以a2＝3.(ⅱ)由题意可知，集合{a1，a2，…，an}按上述规那么，共产生Sn个正整数.而集合{a1，a2，…，an，an＋1}按上述规那么产生的Sn＋1个正整数中，除1，2，…，Sn这Sn个正整数外，还有an－1，an＋1＋i，|an＋1－i|(i＝1，2，…，Sn)，共2Sn＋1个数.所以，Sn＋1＝Sn＋(2Sn＋1)＝3Sn＋1.又Sn＋1＋eq\f(1,2)＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(Sn＋\f(1,2)))，所以Sn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S1＋\f(1,2)))·3n－1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)·3n－eq\f(1,2).当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(1,2)·3n－eq\f(1,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)·3n－1－\f(1,2)))＝3n－1.而a1＝1也满足an＝3n－1.所以，数列{an}的通项公式是an＝3n－1.6.函数f(x)＝alnx－eq\f(1,x)(a为常数).(1)假设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)当x≥1时，f(x)≤2x－3恒成立，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为{x|x＞0}，f′(x)＝eq\f(ax＋1,x2).又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋2y－5＝0垂直，所以f′(1)＝a＋1＝2，即a＝1.(2)由f′(x)＝eq\f(ax＋1,x2)(x＞0)，当a≥0时，f′(x)＞0恒成立，所以f(x)的单调增区间为(0，＋∞).当a＜0时，由f′(x)＞0，得0＜x＜－eq\f(1,a)，所以f(x)的单调增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,a)))；由f′(x)＜0，得x＞－eq\f(1,a)，所以f(x)的单调减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,a)，＋∞)).(3)设g(x)＝alnx－eq\f(1,x)－2x＋3，x∈[1，＋∞)，那么g′(x)＝eq\f(a,x)＋eq\f(1,x2)－2＝eq\f(－2x2＋ax＋1,x2).令h(x)＝－2x2＋ax＋1，考虑到h(0)＝1＞0，当a≤1时，h(x)＝－2x2＋ax＋1的对称轴x＝eq\f(a,4)＜1，h(x)在[1，＋∞)上是减函数，h(x)≤h(1)＝a－1≤0，所以g′(x)≤0，g(x)在[