安徽省宿州市埇桥区2023年中考数学一模试卷

安徽省宿州市埇桥区2023年中考数学一模试卷安徽省宿州市埇桥区2023年中考数学一模试卷一、选择题〔共10小题，每题4分，总分值40分〕1．〔4分〕tan60°=〔〕A． B． C．1 D．2．〔4分〕如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD：DB=2：3，∠B=∠ADE，那么DE：BC等于〔〕A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：53．〔4分〕假设反比例函数y=的图象位于第一、三象限，那么a的取值范围是〔〕A．a＞0 B．a＞3 C．a＞ D．a＜4．〔4分〕如果关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k≥ B．k≤ C．k≥﹣ D．k≤﹣5．〔4分〕⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，那么⊙O的半径为〔〕A． B．2 C． D．36．〔4分〕在如下图的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，你认为其中正确的结论有〔〕A．1条 B．2条 C．3条 D．4条7．〔4分〕铅球的左视图是〔〕A．圆 B．长方形 C．正方形 D．三角形8．〔4分〕点P反比例函数y=﹣的图象上，过点P分别作坐标轴的垂线段PM、PN，那么四边形OMPN的面积=〔〕A． B．2 C．2 D．19．〔4分〕从3，1，﹣2这三个数中任取两个不同的数作为M点的坐标，那么M点刚好落在第一象限的概率是〔〕A． B． C． D．10．〔4分〕如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，那么图中与△ABG相似的三角形有〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题〔本大题共有4小题，每题5分，共20分〕11．〔5分〕如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF=DC，假设∠ADF=25°，那么∠BEC=．12．〔5分〕把抛物线y=﹣2x2+4x﹣5向左平移3个单位后，它与y轴的交点是．13．〔5分〕如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=DF，假设∠EAF=30°，那么sin∠EDF=．14．〔5分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，点O在中线CD上，设OC=xcm，当半径为3cm的⊙O与△ABC的边相切时，x=．三、解答题〔本大题共有2小题，共16分〕15．〔8分〕在如图的正方形网格中，点O在格点上，⊙O的半径与小正方形的边长相等，请利用无刻度的直尺完成作图，在图〔1〕中画出一个45°的圆周角，在图〔2〕中画出一个22.5°的圆周角．16．〔8分〕如图，是用7个相同的正方体积木摆成的几何体的俯视图，请你画出其中一种情况的主视图和它相应的左视图．四、解答题〔本大题共有2小题，共16分〕17．〔8分〕矩形ABCD在坐标系中如下图放置．点B、C在x轴上，点A在第二象限，D〔2，4〕，BC=6，反比例函数y=〔x＜0〕的图象经过点A．〔1〕求k值；〔2〕把矩形ABCD向左平移，使点C刚好与原点重合，此时线段AB与反比例函数y=的交点坐标是什么？18．〔8分〕如图，AB是半圆O的直径，点C在圆弧上，D是弧AC的中点，OD与AC相交于点E．求证：△ABC∽△COE．五、解答题〔本大题共有2小题，共20分〕19．〔10分〕设a，b是方程x2+x﹣2023=0的两个不相等的实数根．〔1〕a+b=；ab=；〔2〕求代数式a2+2a+b的值．20．〔10分〕为了了解某水库养殖鱼的有关情况，从该水库多个不同位置捕捞出200条鱼，称得每条鱼的质量〔单位：千克〕，并将所得数据分组，绘制了直方图〔1〕根据直方图提供的信息，这组数据的中位数落在范围内；〔2〕估计数据落在1.00～1.15中的频率是；〔3〕将上面捕捞的200条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同的位置捕捞150条鱼，其中带有记号的鱼有10条，请根据这一情况估算该水库中鱼的总条数．六、解答题〔本大题共有1小题，共12分〕21．〔12分〕如图，某生在旗杆EF与实验楼CD之间的A处，测得∠EAF=60°，然后向左移动12米到B处，测得∠EBF=30°，∠CBD=45°，sin∠CAD=．〔1〕求旗杆EF的高；〔2〕求旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长．七、解答题〔本大题共有1小题，共12分〕22．〔12分〕如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转，得到矩形CE′F′D′，旋转角为α．〔1〕当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；〔2〕如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；〔3〕小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？假设能，直接写出旋转角α的值；假设不能，说明理由．八、解答题〔本大题共有1小题，共14分〕23．〔14分〕如图，抛物线l1经过原点与A点，其顶点是P〔﹣2，3〕，平行于y轴的直线m与x轴交于点B〔b，0〕，与抛物线l1交于点M．〔1〕点A的坐标是；抛物线l1的解析式是；〔2〕当BM=3时，求b的值；〔3〕把抛物线l1绕点〔0，1〕旋转180°，得到抛物线l2．①直接写出当两条抛物线对应的函数值y都随着x的增大而减小时，x的取值范围；②直线m与抛物线l2交于点N，设线段MN的长为n，求n与b的关系式，并求出线段MN的最小值与此时b的值．2023年安徽省宿州市埇桥区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题〔共10小题，每题4分，总分值40分〕1．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕tan60°=〔〕A． B． C．1 D．【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可．【解答】解：tan60°=．应选D．【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，解答此题的关键在于熟练掌握各特殊角的三角函数值．2．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AD：DB=2：3，∠B=∠ADE，那么DE：BC等于〔〕A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5【分析】因为∠ADE=∠B，所以可证明DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边对应成比例可求出解DE：BC的值．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=DE：BC，∵AD：DB=2：3，∴AD：AB=2：5，∴AD：AB=DE：BC=2：5应选D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．3．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕假设反比例函数y=的图象位于第一、三象限，那么a的取值范围是〔〕A．a＞0 B．a＞3 C．a＞ D．a＜【分析】根据反比例函数的图象在第一、第三象限列出关于a的不等式，求出a的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=的图象在第一、第三象限，∴2a﹣3＞0，解得a＞．应选C．【点评】此题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．4．〔4分〕〔2023•广东模拟〕如果关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根，那么k的取值范围是〔〕A．k≥ B．k≤ C．k≥﹣ D．k≤﹣【分析】由于方程有实数根，那么根的判别式△≥0，由此建立关于k的不等式，解不等式即可求得k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣x+k=0有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=1﹣4×2k=1﹣8k≥0，∴k≤．应选B．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．5．〔4分〕〔2023•甘南州〕⊙O过点B，C，圆心O在等腰直角△ABC内部，∠BAC=90°，OA=1，BC=6，那么⊙O的半径为〔〕A． B．2 C． D．3【分析】根据等腰三角形三线合一的性质知：假设过A作BC的垂线，设垂足为D，那么AD必垂直平分BC；由垂径定理可知，AD必过圆心O；根据等腰直角三角形的性质，易求出BD、AD的长，进而可求出OD的值；连接OB根据勾股定理即可求出⊙O的半径．【解答】解：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB；∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3；∴OD=AD﹣OA=2；Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB==．应选C．【点评】此题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕在如下图的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，大伟同学观察后得出了以下四条结论：①a＜0，b＞0，c＞0；②b2﹣4ac=0；③＜c；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，你认为其中正确的结论有〔〕A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①抛物线的开口方向向下，那么a＜0，抛物线与y轴交于正半轴，那么c＞0．抛物线的对称轴位于y轴的左侧，那么a、b同号，那么b＜0．故①错误；②据图所知，抛物线与x轴有2个不同的交点，那么b2﹣4ac＞0，故②错误；③∵a＜0，∴＜0，∴c﹣＞c，∴＞c；故③错误；④据图所知，抛物线与x轴有2个不同的交点，其中一个交点位于x的正半轴，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根，故④正确；应选：A．【点评】此题考查了二次函数与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符合由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定，是根底题．7．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕铅球的左视图是〔〕A．圆 B．长方形 C．正方形 D．三角形【分析】左视图是从左边看所得到的图形．【解答】解：球的左视图是圆，应选：A．【点评】此题主要考查了左视图，关键是掌握左视图所看的位置．8．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕点P反比例函数y=﹣的图象上，过点P分别作坐标轴的垂线段PM、PN，那么四边形OMPN的面积=〔〕A． B．2 C．2 D．1【分析】在反比例函数y=图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．【解答】解：∵点P反比例函数y=﹣的图象上，∴过点P分别作坐标轴的垂线段PM、PN，所得四边形OMPN的面积为|﹣2|=2．应选〔C〕【点评】此题主要考查了比例系数k的几何意义，在反比例函数y=图象上任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．9．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕从3，1，﹣2这三个数中任取两个不同的数作为M点的坐标，那么M点刚好落在第一象限的概率是〔〕A． B． C． D．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与M点刚好落在第一象限的情况即可求出问题答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，其中〔1，3〕，〔3，1〕点落在第一项象限，∴M点刚好落在第一象限的概率==，应选B．【点评】此题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，熟记各象限内点的符号特点是解题关键．10．〔4分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且EF∥CD，G为边AD延长线上一点，连接BG，那么图中与△ABG相似的三角形有〔〕个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先利用平行四边形的性质得到CD∥AB，AD∥BC，那么根据平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可判断△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM，再利用EF∥CD可判断△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN，然后根据相似的传递性可得到答案．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，∴△DGM∽△AGB，△DGM∽△CBM，∵EF∥CD，∴△DGM∽△EGN，△CBM∽△FBN，∴△DGM∽△AGB∽△FBN∽△CBM∽△EGN．应选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．解决的关键是利用平行四边形的性质得到直线平行，注意不要漏掉相似三角形．二、填空题〔本大题共有4小题，每题5分，共20分〕11．〔5分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，E是矩形ABCD的对角线的交点，点F在边AE上，且DF=DC，假设∠ADF=25°，那么∠BEC=115°．【分析】由∠ADF求出∠CDF，再由等腰三角形的性质得出∠ACD，从而求出∠ACB，最后用等腰三角形的性质即可．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BCD=90°，BE=CE，∵∠ADF=25°，∴∠CDF=∠ADC﹣∠ADF=90°﹣25°=65°，∵DF=DC，∴∠DFC=∠DCA===，∴∠BCE=∠BCD﹣∠DCA=90°﹣=，∵BE=CE，∴∠BEC=180°﹣2∠BCE=180°﹣65°=115°，故答案为115°【点评】此题是矩形的性质，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，解此题的关键是求出∠DFC．是一道中考常考的简单题．12．〔5分〕〔2023•埇桥区一模〕把抛物线y=﹣2x2+4x﹣5向左平移3个单位后，它与y轴的交点是〔0，﹣11〕．【分析】利用配方法将抛物线解析式转化为顶点式，然后得到平移后抛物线解析式，根据新解析式求解即可．【解答】解：y=﹣2x2+4x﹣5=﹣2〔x﹣1〕2﹣3，其顶点坐标是〔1，﹣3〕，将其向左平移3个单位后的顶点坐标是〔﹣2，﹣3〕，故其抛物线解析式为：y=﹣2〔x+2〕2﹣3=﹣2x2﹣8x﹣11．所以它与y轴的交点是〔0，﹣11〕．故答案是：〔0，﹣11〕．【点评】此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13．〔5分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且BE=DF，假设∠EAF=30°，那么sin∠EDF=．【分析】首先证明△ABE≌△ADF，设正方形ABCD边长为a，求出EC、ED即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=∠ADF=∠BAD=90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠FAD，∵∠EAF=30°，∴∠BAE=∠FAD=30°，设正方形ABCD边长为a，那么tan30°=，∴BE=a，∴EC=a﹣a，DE==a∴sin∠EDF===故答案为．【点评】此题考查正方形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是发现三角形全等，学会设参数解决问题，属于中考常考题型．14．〔5分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AC=15cm，点O在中线CD上，设OC=xcm，当半径为3cm的⊙O与△ABC的边相切时，x=2，3或6．【分析】先求出AB=10，∠BDC=∠BCD=60°∠ACD=30°，分三种情况，利用⊙O的切线的特点构造直角三角形，用三角函数求解即可．【解答】解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，AB=10，∵CD为中线，∴CD=AD=BD=AB=5，∴∠BDC=∠BCD=∠B=60°，∠ACD=∠A=30°，∵半径为3cm的⊙O，∴OE=3，①当⊙O与AB相切时，如图1，过点O做OE⊥AB于E，在Rt△ODE中，∠BDC=60°，DE=3，∴sin∠BDC=，∴OD===2；∴x=OC=CD﹣OD=5﹣2=3；②当⊙O与BC相切时，如图2，过O作OE⊥BC，在Rt△OCE中，∠BCD=60°，OE=3，∴sin∠BCD=，∴OC===2cm；∴x=OC=2；③当⊙O与AC相切时，如图3，过O作OE⊥AC于E，在Rt△OCE中，∠ACD=30°，OE=3，∴sin∠ACD=，∴OC===6，∴x=OC=6．故答案为2，3或6．【点评】此题是切线的性质，主要考查了直角三角形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，解此题的关键是用圆的切线构造直角三角形，借助三角函数来求解．三、解答题〔本大题共有2小题，共16分〕15．〔8分〕〔2023•埇桥区一模〕在如图的正方形网格中，点O在格点上，⊙O的半径与小正方形的边长相等，请利用无刻度的直尺完成作图，在图〔1〕中画出一个45°的圆周角，在图〔2〕中画出一个22.5°的圆周角．【分析】〔1〕假设圆周角为45°，根据圆周角定理可知45°所对的圆心角为90°，所以先画出圆心角为90°的角后，在圆心角为90°优弧上找出任意一点连接即可得出45°的圆心角．〔2〕假设圆周角为22.5°，根据圆周角定理可知22.5°所对的圆心角为45°，所以先画出圆心角为45°的角后，在圆心角为45°优弧上找出任意一点连接即可得出22.5°的圆心角．【解答】解：〔1〕如图1，连接OA、OB，在优弧AB上任意找一点C，连接AC、AB∠ACB为所求作〔2〕如图2，连接OA交圆O于点C，在优弧BC上任意找一点D，连接CD、BD，∠CDB为所求作【点评】本体考查圆周角定理，涉及正方形的性质，圆周角定理、尺规作图等知识，考查学生灵活运用知识的能力．16．〔8分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，是用7个相同的正方体积木摆成的几何体的俯视图，请你画出其中一种情况的主视图和它相应的左视图．【分析】共有7个相同的正方体积木摆成，因此小正方体的数量可能是，由此图可得主视图每列小正方形数目分别为2，2，左视图从左到右每列小正方形数目分别为1，2，2．【解答】解：如下图：．【点评】此题考查几何体的三视图画法．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．四、解答题〔本大题共有2小题，共16分〕17．〔8分〕〔2023•埇桥区一模〕矩形ABCD在坐标系中如下图放置．点B、C在x轴上，点A在第二象限，D〔2，4〕，BC=6，反比例函数y=〔x＜0〕的图象经过点A．〔1〕求k值；〔2〕把矩形ABCD向左平移，使点C刚好与原点重合，此时线段AB与反比例函数y=的交点坐标是什么？【分析】〔1〕根据矩形的性质求出点A的坐标，利用待定系数法求出k值；〔2〕根据平移规律求出点B的坐标，计算即可．【解答】解：〔1〕∵点D的坐标为〔2，4〕，BC=6，∴OB=4，AB=4，∴点A的坐标为〔﹣4，4〕，∵反比例函数y=〔x＜0〕的图象经过点A，∴4=，解得，k=﹣16；〔2〕把矩形ABCD向左平移，使点C刚好与原点重合，那么点B的坐标为〔﹣6，0〕，当x=﹣6时，y=﹣=，∴此时线段AB与反比例函数y=的交点坐标是〔﹣6，〕．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、坐标与图形的变化，掌握矩形的性质、待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．18．〔8分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，AB是半圆O的直径，点C在圆弧上，D是弧AC的中点，OD与AC相交于点E．求证：△ABC∽△COE．【分析】由得∠OEC=∠BCA=90°，由OA=OC，得∠BAC=∠OCE，根据有两对角对应相等的三角形相似可得到：△ABC∽△COE．【解答】证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠BCA=90°，又D是弧AC的中点，∴OE⊥AC，即：∠OEC=∠BCA=90°．又∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCE，∴△ABC∽△COE．【点评】此题考查了相似三角形的判定，圆周角定理．该题利用了“两角法〞证得图中的两个三角形相似的．五、解答题〔本大题共有2小题，共20分〕19．〔10分〕〔2023•埇桥区一模〕设a，b是方程x2+x﹣2023=0的两个不相等的实数根．〔1〕a+b=﹣1；ab=﹣2023；〔2〕求代数式a2+2a+b的值．【分析】〔1〕根据x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，那么x1+x2=﹣，x1x2=，代值计算即可；〔2〕先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a﹣2023=0，即a2=﹣a+2023，那么a2+2a+b可化简为a+b+2023，再根据根与系数的关系得a+b=﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解答】解：〔1〕∵a，b是方程x2+x﹣2023=0的两个不相等的实数根∴a+b=﹣1；ab=﹣2023；故答案为：﹣1．﹣2023；〔2〕∵a是方程x2+x﹣2023=0的实数根，∴a2+a﹣2023=0，∴a2=﹣a+2023，∴a2+2a+b=﹣a+2023+2a+b=a+b+2023，∵a、b是方程x2+x﹣2023=0的两个实数根，∴a+b=﹣1，∴a2+2a+b=﹣1+2023=2023．【点评】此题考查了根与系数的关系：假设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．20．〔10分〕〔2023•包头〕为了了解某水库养殖鱼的有关情况，从该水库多个不同位置捕捞出200条鱼，称得每条鱼的质量〔单位：千克〕，并将所得数据分组，绘制了直方图〔1〕根据直方图提供的信息，这组数据的中位数落在1.10～1.15范围内；〔2〕估计数据落在1.00～1.15中的频率是0.53；〔3〕将上面捕捞的200条鱼分别作一记号后再放回水库．几天后再从水库的多处不同的位置捕捞150条鱼，其中带有记号的鱼有10条，请根据这一情况估算该水库中鱼的总条数．【分析】〔1〕中位数是数据按照从小到大的顺序排列，位于数据中间位置的数．〔2〕频率=频数除以总数，可先算出频数，求出结果即可．〔3〕先算出捞到记号鱼的频率被200除就可以就得结果．【解答】解：〔1〕从直方图可得出这组数据的中位数位于1.10～1.15范围内．〔2〕〔10+40+56〕÷200=0.53，频率是0.53．〔3〕200÷〔10÷150〕=3000，故水库中的鱼大约有3000条．故答案为：1.10～1.15；0.53．【点评】此题考查频率分布直方图，以及频率，频数之间的关系和用样本估计总体的知识点．六、解答题〔本大题共有1小题，共12分〕21．〔12分〕〔2023•埇桥区一模〕如图，某生在旗杆EF与实验楼CD之间的A处，测得∠EAF=60°，然后向左移动12米到B处，测得∠EBF=30°，∠CBD=45°，sin∠CAD=．〔1〕求旗杆EF的高；〔2〕求旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长．【分析】〔1〕汽车∠BEA=30°=∠EBF，得出AB=AE=12米，在△AEF中，由三角函数汽车EF即可；〔2〕设CD=x米，证出BD=CD=x米，由三角函数得出方程，解方程求出x，再求出AF，即可得出结果．【解答】解：〔1〕∵∠EAF=60°，∠EBF=30°，∴∠BEA=30°=∠EBF，∴AB=AE=12米，在△AEF中，EF=AE×sin∠EAF=12×sin60°=6米，答：旗杆EF的高为6米；〔2〕设CD=x米，∵∠CBD=45°，∠D=90°，∴BD=CD=x米，∵sin∠CAD=，∴tan∠CAD==，∴，解得：x=36米，在△AEF中，∠AEF=60°﹣30°=30°，∴AF=AE=6米，∴DF=BD+AB+AF=36+12+6=54〔米〕，答：旗杆EF与实验楼CD之间的水平距离DF的长为54米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用、等腰三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握解直角三角形，由三角函数得出方程是解决问题的关键．七、解答题〔本大题共有1小题，共12分〕22．〔12分〕〔2023•埇桥区一模〕如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的矩形CEFD拼在一起，构成一个大的矩形ABEF，现将小矩形CEFD绕点C顺时针旋转，得到矩形CE′F′D′，旋转角为α．〔1〕当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角α的值；〔2〕如图2，G为BC的中点，且0°＜α＜90°，求证：GD′=E′D；〔3〕小矩形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？假设能，直接写出旋转角α的值；假设不能，说明理由．【分析】〔1〕根据旋转的性质得CD′=CD=2，即可判定∠CD′E=30°，然后根据平行线的性质即可得到∠α=30°；〔2〕由G为BC中点可得CG=CE，然后根据“SAS〞可判断△GCD′≌△E′CD，那么GD′=E′D；〔3〕根据正方形的性质得CB=CD，而CD=CD′，那么△BCD′与△DCD′为腰相等的两等腰三角形，当两顶角相等时它们全等，当△BCD′与△DCD′为钝角三角形时，可计算出α=135°，当△BCD′与△DCD′为锐角三角形时，可计算得到α=315°．【解答】〔1〕解：∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴CD′=CD=2，在Rt△CED′中，CD′=2，CE=1，∴∠CD′E=30°，∵CD∥EF，∴∠α=30°；〔2〕证明：∵G为BC中点，∴CG=1，∴CG=CE，∵长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，在△GCD′和△E′CD中，∴△GCD′≌△E′