八年级数学上册《第十三章 等边三角形的性质与判定》练习题

第第页答案第=page11页，共=sectionpages22页八年级数学上册《第十三章等边三角形的性质与判定》练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：____________一、单选题1．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交的延长线于点，下列结论不一定正确的是（

）A． B．是直角三角形C． D．2．已知：如图，在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB、AC于点D、E．若AD=3，BC=5，则ΔBEC的周长为（

）A．8 B．10 C．11 D．133．下列判断正确的是（

）（1）有两个角是60度的三角形是等边三角形（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形（3）三个内角都相等的三角形是等边三角形（4）三边都相等的三角形是等边三角形（5）腰和底边相等的等腰三角形是等边三角形．A．（1）（2）（3）（4）（5） B．（2）（3）（4）（5） C．（2）（3）（4） D．（2）（3）4．如图，将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当AB＝2，∠A＝120°时，AC等于（）A． B． C． D．25．四边形是菱形，，，对角线与相交于点，点在上，若，则（

）A． B． C．或 D．46．如图，在四边形ABCD中，，，，，，则CD的长为（

）．A．6 B．5 C．4 D．37．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝1，将△ABC绕点B顺时针旋转得到，若直线经过点A，则的长为（）A．1 B．2 C． D．4二、填空题8．如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD=CE=2，则△ABP的周长为_____．9．等边三角形的判定：①______的三角形是等边三角形．（定义）②三个角都相等的三角形是等边三角形．③有一个角是____的等腰三角形是等边三角形．10．如图，在等边中，D为边BC上一点，E为边CA延长线上的点，连接DE交AB边于点F，，若的面积为2，则的面积为______________．11．如图，中，对角线、相交于点O，交于点E，连接，若的周长为28，则的周长为______．12．如图，C为AB上任意一点，分别以AC、BC为边在AB同侧作正方形ACDE、正方形BCFG，设∠AFC=α，则∠BDC为_________（用含α的代数式表示）．13．如图，已知中，，D为上一点，且，则的度数是_________．14．如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4，若中线AD=3，则A′A的值为___．三、解答题15．如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．(1)求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．16．如图，菱形ABCD的边长为2，，对角线AC，BD相交于点O，又有E，F分别为AB，AD的中点，连接EF．(1)求对角线AC的长；(2)求EF的长．17．如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是____.18．已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E．（1）如图1，连接AD，AE，DE，当BC＝2BD时，根据边的关系，可判定△ADE的形状是_____三角形；（2）如图2，当点D在BC延长线上时，连接AD，AE，CE，BE，延长AB到点G，使BG＝CD，连接CG，交BE于点F，F为BE的中点，若AE＝12，则CF的长为_____．19．如图，△ABC是等边三角形，点D在△ABC的外部，且∠ADC＝30°，求证：．参考答案：1．D【分析】由菱形的性质可知，，由两直线平行，同位角相等可以推出，再证明，得出，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可以得出．现有条件不足以证明．【详解】解：∵在菱形中，对角线与相交于点，∴，，∴，∵，∴，∴是直角三角形，故B选项正确；∵，，∴，∴，∴，，故A选项正确；∴BC为斜边上的中线，∴，故C选项正确；现有条件不足以证明，故D选项错误；故选D．【点睛】本题考查菱形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质以及直角三角形斜边中线的性质，难度一般，由菱形的性质得出，是解题的关键．2．C【分析】根据题意易得AB=AC=2AD=6，AE=BE，进而根据线段的等量关系及三角形的周长可求解．【详解】解：∵AB=AC，DE垂直平分线段AB，∴AD=BD，AE=BE，∵AD=3，∴AB=AC=2AD=6，∵BC=5，∴C△BEC=BC+BE+EC=BC+AE+EC=5+6=11；故选C．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质定理，熟练掌握线段垂直平分线的性质定理是解题的关键．3．A【分析】根据等边三角形的判定定理求解即可．【详解】解：三角形有两个角是60度，则第三个内角也为60度，三个内角相等，故为等边三角形，（1）正确；有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形，故（2）正确；三个内角都相等的三角形是等边三角形，故（3）正确；三边都相等的三角形是等边三角形，故（4）正确；等腰三角形的腰和底边相等，则三条边相等，故（5）正确；故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的判定，熟记判定定理是解本题的关键．4．D【分析】连接AC，由将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，AB＝2，∠A＝120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．【详解】解：连接AC，∵将四根长度相等的细木条首尾相连，用钉子钉成四边形ABCD，∴四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB＝2．故选：D．【点睛】此题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．此题能证得△ABC是等边三角形是解此题的关键．5．C【分析】根据菱形的性质得出AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，结合题意得出△ABD是等边三角形，再利用勾股定理确定OC=OA，考虑点E在AC上，可能在点O的左边或右边，结合图形求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，如图所示，∴.AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴BD=AB=6，OB=BD=3，∴OC=OA=，∴.AC=2OA=，∵点E在AC上，可能在点O的左边或右边，OE=，∴CE=OC+OE=或CE=OC-OE=，故选：C．【点睛】题目主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识是解题的关键．6．C【分析】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，根据AD=8，BC=2和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【详解】解：延长AD、BC交于E，∵∠A=30°,∠B=90°，∴∠E=60°，∵∠ADC=120°，∴∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形，设CD=CE=DE=x，∵AD=8，BC=2，∴2(2+x)=x+8，解得；x=4，∴CD=4，故选：C【点睛】本题考查30度角所对的直角边等于斜边的一半，等边三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题关键．7．C【分析】根据旋转的性质可证明是等边三角形，再利用含30°角的直角三角形的性质可得AC=2AB=2，由勾股定理得，从而解决问题．【详解】解：∵将△ABC绕点B顺时针旋转得到，∴，∵∠BAC=60°，∴，∴是等边三角形，∴，∴，∴是等边三角形，∴，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=2，∴BC=，∴，故选：C．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识，证明是等边三角形是解题的关键．8．【分析】如图所示，过点E作EF⊥AB于F，先解直角三角形求出AF，EF，从而求出BF，利用勾股定理求出BE的长，证明△ABD≌△BCE得到∠BAD=∠CBE，AD=BE，再证明△BDP∽△ADB，得到，即可求出BP，PD，从而求出AP，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点E作EF⊥AB于F，∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BAC=∠BCE=60°，∵CE=BD=2，AB=AC=6，∴AE=4，∴，∴BF=4，∴，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，AD=BE，又∵∠BDP=∠ADB，∴△BDP∽△ADB，∴，∴，∴，∴，∴△ABP的周长，故答案为：．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键．9．

三条边都相等

60°【解析】略10．6【分析】过点D作DG∥CE，交AB于点G，先证明△AEF≌△GDF（ASA），得到AE＝GD，GF＝AF，然后证明△GDB为等边三角形，由三角形面积之间的关系即可求得答案．【详解】解：过点D作DG∥CE，交AB于点G，∴∠E＝∠GDF，∠C＝∠GDB，∵DF＝EF，∠EFA＝∠DFG，∴△AEF≌△GDF（ASA），∴AE＝GD，GF＝AF，，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，∵DG∥CE，∴∠C＝∠GDB＝60°，∠BGD＝∠BAC＝60°，∴∠B＝∠GDB＝∠BGD＝60°，∴△GDB为等边三角形，∴BG＝GD＝AE，∵AE＝2AF，∴BG＝2AF＝2GF，∴＝4，,∴＝6，即△BDF的面积为6．故答案为：6．【点睛】此题考查的是等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积等知识，正确作出辅助线是解决此题的关键．11．14【分析】根据平行四边形的性质证得，再证明OE为线段BD的垂直平分线，则BE=ED，由的周长=即可求解．【详解】解：∵四边形是平行四边形，∴，，，∵平行四边形的周长为28，∴，∵，∴是线段的垂直平分线，∴，∴的周长．【点睛】本题考查平行四边形的性质、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的周长，熟练掌握平行四边形的性质及中垂线的性质，证明是线段的垂直平分线是解答的关键．12．90°-α【分析】由“SAS”可证△ACF≌△DCB，得出∠CAF=∠BDC，再由直角三角形的性质即可求解．【详解】解：∵四边形ACDE和四边形BCFG是正方形，∴AC=CD，CF=CB，∠ACF=∠DCB=90°，∴∠CAF+∠AFC=90°，在△ACF和△DCB中，，∴△ACF≌△DCB（SAS），∴∠CAF=∠BDC，∵∠AFC=α，∴∠CAF=90°-∠AFC=90°-α，∴∠BDC=90°-α，故答案为：90°-α．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．13．20°【分析】延长至点E使，连接，证明是等边三角形，设，则，再证明，即可得到结果．【详解】解：如图，延长至点E使，连接．∴，∵，∴．∵，∴是等边三角形，∴，∵，∴设，则．在与中，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴．故答案是．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，准确分析计算是解题的关键．14．1【分析】设A′B′，A′C′交BC于点E、F，由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知()2=，据此求解可得．【详解】解：如图，设A’B’，A’C’交BC于点E、F，∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线，∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'，∴A′E∥AB，∴△DA′E∽△DAB，则()2=，即()2=，解得A′D=2（负值舍去），故答案为：1．【点睛】本题主要平移的性质，三角形中线的性质，以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点．15．(1)40米(2)12秒【分析】（1）过点A作AD⊥ON于D，利用含30°角的直角三角形的性质求出AD可得答案；（2）在上取点，点，使，则卡车在BC段对学校A有影响，利用勾股定理求出BD和CD的长，从而求出时间．（1）解：过作，垂足为，由垂线段最短可知为所求，∵，米，∴米，答：噪声影响最大时，卡车与学校的距离为40米；（2）在上取点，点，使，由题意，卡车到达点时开始对学校产生噪声影响，到达点时结束噪声影响，由（1）知AD＝40米，∴米，同理可得：米，∴米，∵卡车的行驶速度为5米/秒，∴给学校带来噪声影响的总时间为（秒）．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意构造出直角三角形是解题的关键．16．(1)2(2)【分析】（1）由菱形的性质得AB=BC=2，∠BCA=∠DCA=∠BCD=60°，再证△ABC是等边三角形即可；（2）由三角形中位线定理得EF=BD，再由菱形的性质得AO=AC=1，BO=DO，AC⊥BD，最后运用勾股定理解答即可．（1）解：四边形ABCD是菱形，∴，，∵，∴是等边三角形∴．（2）解：∵E，F分别为AB，AD的中点，∴是中位线，∴．又∵四边形ABCD是菱形，∴，，∴，∴在中，由勾股定理得，，∴，∴（负舍）∴∴．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理以及勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键．17．①②③【分析】首先延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，根据全等三角形的性质，得出∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，再根据等边对等角，得出∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，又因为∠ABD+∠EBC＝180°，进而得出∠ABD＝∠EBC＝90°，再利用三角形的内角和等于，得出∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，即可证明①正确；再根据直角三角形两锐角互余，得出∠CEB+∠ECB＝90°，再根据全等三角形的性质，得出∠BAD＝∠BEC，进而得出∠BAD+∠ECB＝90°，即可证明②正确；再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得出∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，再根据∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，又因为∠ADB＝∠ECB，得出∠EAD＝∠ECD，即可证明③正确．【详解】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，∴∠BAE+∠BCD＝90°，∴∠AMC＝90°，∴CD⊥AE，故①正确；∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，∴∠BAD+∠ECB＝90°，∴∠ANC＝90°，∴AD⊥CE，故②正确；∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、直角三角形两锐角互余、三角形的外角定理等知识点，解本题的关键在熟练掌握相关的性质、定理．18．

等边

6【分析】（1）由等边三角形的性质得出AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，证出∠DAE＝60°，由等边三角形的判定可得出结论；（2）证明△ACE≌△CBG（SAS），由全等三角形的性质得出AE＝CG，证△CEF≌△GBF（AAS），由全等三角形的性质得出CF＝GF，则可得出答案．【详解】解：（1）∵BC＝2BD，∴BD＝CD，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵点D关于直线AC的对称点为点E，∴AD＝AE，∠DAC＝∠EAC＝30°，∴∠DAE＝