2022-2023学年高二上暑假返校联考适应性考试-数学试题2

2022-2023学年高二上暑假返校联考适应性考试—数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知复数2="+为，其中a,beR,i为虚数单位，满足备=2-i,则恸=

()

A.73B.V10C.10D.3

2.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3、圆心角为4乃手的扇形，则该圆锥的高是

()

A.73B.2C.75D.46

3.已知事件相互独立，P(A)=0.4,P(B)=0.3,则P(A+B)=()

A.0.58B.0.9C.0.7D.0.72

4.在正方体中，M,N,P,Q分别为4耳，,A4,BC的中

点，则直线PM与NQ所成的角为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

5.已知函数，(x)在R上满足/(-x)+f(x)=0,且x>0时,

I3jr37r

/(x)=—(|x+sina|+|x+2sina|)+—sina(—<a<—)对任意的xeR都有

2222

/(x-3/)4f(x)恒成立，则实数a的取值范围为()

rc1c»■兀2兀、7T7兀、

A.[0,n]B.C.r

3366

6.函数/(x)满足f(x)Vx2且/(x)42*(xeR),则()

A.若/⑷口、则/方B.若/(a)42”,贝1」。<匕

C.若，他)26，则D.若/(4)22”,则会6

7.已知当x=-(时，函数/(x)=asinx+cosx取到最大值，则/卜+字)是()

A.奇函数，在x=0时取到最小值；B.偶函数，在x=0时取到最小值；

C.奇函数，在x=〃时取到最小值；D.偶函数，在犬=万时取到最小值；

8.在锐角中，角A,B,C的对边分别为“，b,c,S为AABC的面积，且

2s="2-S-c)2,则竺二C的取值范围为()

B.",总

D.[2>/2,-K»)

二、多选题

9.下面给出的关系式中，正确的是()

A.{ab)c=a(jbc)B.a1=|a|2C.db=bd

D.\ab\<ab

10.已知函数“幻=竺二竺吆(a,0eR),则下列选项正确的是()

%-+1

A.为增函数

B.3heR,对VawRf(x)为偶函数

C.3aeR,对VOeRJ(x)有最大值

D.3beR,对VaeRJ(x)有最大值

11.在AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是()

A.c=acosB+hcosA

B.^acosA=bcosB,则AABC为等腰三角形

C.若"tanB=/^tanA,则a=6

D.若a3+//=c3,则AMC为锐角三角形

12.如图，在梯形ABCD中，AB//CD,AB=6,CD=4,A=B=60i,E,F为线段

A8的两个三等分点，将A4)£和ABC尸分别沿着£>E,C尸向上翻折，使得点AB

分别至〃，N(M在N的左侧)，且MN//平面相CDO,P分别为£>E,CD的中

点，在翻折过程中，下列说法中正确的是()

A.O,P,M,N四点共面

B.当MN=3时，平面DEMJ.平面ABC。

C.存在某个位置使得QMLRV

D.存在某个位置使得平面平面CFN

三、填空题

5T(xVO),

13.已知函数f(x)=和g(x)=ar+1.若对任意的xe(O,l),都有

-x2+4x+l(x>0)

脑口-闻(廿幻使得"%)=g(x)，f&)=g(x)，则实数a的取值范围是

14.关于x的一元二次不等式以2+6x+c>0的解集是何-3Vx<2},则关于x的不等

式cx-b\[x+a<0的解集为.

15.已知3/+/-66+4=0,则（3"+'2的最大值为.

66-4

16.已知向量彳，5,c^^a+b+c=0,（a-b）-（a-c）=0,\b-c\=9,则

|万|+151+1]的最大值是.

四、解答题

17.已知复数z=半空i是虚数单位）.

1—1

⑴若Z是纯虚数，求〃?的值和忖；

（2）设乞是z的共辗复数，复数2-2z在复平面上对应的点位于第二象限，求机的取值

范围.

18.如图，己知直线4〃4，4，&之间的距离为26，点Q,E分别在直线4，4

上，且直线DE与4，4夹角为?，点A为线段OE的中点，8为直线《上（。右侧）

的一个动点，作A6LAC,使得AC与直线4交于点C,设=

（1）当8D=1时，求AABC的面积；

（2）写出A45C面积关于。的函数解析式/（a）,并求面积的最小值.

19.2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于

2月20日星期日闭幕.该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商

品销量持续增长.对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售

情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价户。）（元/套）与时间x（被调查

的一个月内的第X天）的函数关系近似满足p（x）=i+&a为正常数）.该商品的日销

售量Q（X）（个）与时间X（天）部分数据如下表所示:

X10202530

Q(x)110120125120

已知第10天该商品的日销售收入为121元.

⑴求上的值；

(2)给出两种函数模型：①。(x)=or+b,②0(x)=a|x-25|+6,请你根据上表中的数

据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量。(x)与时间x的关

系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入"X)(14x430,xeN*)(元)的最小值.

20.甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛.比赛采用单循环赛制，即任意两

位参赛选手之间均进行一场比赛.每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手

获得胜利，本场比赛随即结束.假定每场比赛、每局比赛结果互不影响.

(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为:，求甲获得本场比赛胜利的概率；

(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为I:，23试确定甲第二场比赛的

234

对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大.

21.如图，在三棱锥。-ABC中，AD=CD=AE=CE=-BC,CD±AD,记二面角

2

。一AC-B的平面角为

7T

(1)若，=§，BC=2,求三棱锥£>—ABC的体积；

(2)若M为BC的中点，求直线A。与EM所成角的取值范围.

22.已知函数/。)=/+以+伏4,北/?),记是|/(刈在区间［-1,1］上的最大值.

(1)证明：当时22时，M(a,b)>2.

(2)当b满足M(a,b)42,求时+例的最大值.

参考答案：

1.B

【解析】

【分析】

先由复数的运算求得z,进而得到三，再求模长即可.

【详解】

z=(l+i)(2-i)=3+i,则2=3—i,则闾=,32+(_以=阿

故选：B.

2.C

【解析】

【分析】

设此圆的底面半径为八，高为心母线为/,根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关

系式解出厂，再根据勾股定理，即可求出此圆锥高.

【详解】

设此圆的底面半径为厂，高为〃，母线为/,

♦.•圆锥的侧面展开图是一个半径为3,圆心角为4子7r的扇形，

：.1=3,

又24=等/=4万，解得厂=2,

因此，此圆锥的高力=J/2一/=，9一4=石.

故选：C.

3.A

【解析】

【分析】

由概率加法公式求解

【详解】

由题意尸(A8)=P(4)P(8)=0.12

故P(A+8)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.12=0.58

故选：A

4.C

答案第1页，共19页

【解析】

【分析】

取4B的中点R,连接RN,RQ,4月，根据M,N,P,Q为中点，得到Q"//刚"从而

ZW为直线PM与NQ所成的角求解.

【详解】

解：如图所示：

取AB的中点R连接RN,RQ,ABt,

因为M,N,P,。分别为4百，BB-M，BC的中点，

所以01//AB、,RN/MB、,

所以期//做，

所以ZW为直线PM与NQ所成的角，

又因为A刚Q是等边三角形，

所以4m0=60,

故选：C

5.D

【解析】

【分析】

按出0、r<0分别探讨函数/*)的性质，借助图象关系及已知列出不

等式，求解作答.

【详解】

13

4"Z=sinae[-l,l],当x>0时，f[x)=-(\x+t\+\x+2t\)+-t,

若/NO,则当x>0时，f(x)=x+3t,当x<0时，/(x)=-/(-x)=x-3t,f(0)=0,

答案第2页，共19页

函数y=/(x-3石)的图象是由y=F(x)的图象向右平移3相个单位而得，

显然丫=/(0的图象总在y=/(x-3«)的图象的上方，即/(x-36)4/(x)恒成立，因此

sin<z=r>0,

-x,O<x<-r

若fvO,当x20时，f(x)=\t-t<x<-2tf因f(x)为奇函数，函数在R上的图象，

x+3t,x>-2t

把y=/(x)的图象向右平移3百个单位得y=/(x-3石)的图象，要VxeR,

f(x-36)4/(x)恒成立，

当且仅当射线y=x-3心<2t)经平移后在射线y=X+3心>-2Z)及下方，于是得

-3t-3tM3由,则一J4r<0,

2

综上得——>HPsina>——,而—彳4。4_^_，WW——^o:<――,

222233

7T47r

所以实数a的取值范围为［一:曰］.

故选：D

【点睛】

关键点睛：由一个函数经左右平移得另一函数，两个函数式为不等式的两边的不等式恒成

立问题，作出原函数图象，借助图象分析求解是解决问题的关键.

6.D

【解析】

【分析】

结合所给函数性质逐一验证，只有D项符合

【详解】

对A,若/(a)46，则由/(x)4/可得/(a)V/,无法判断a力大小，故A错；

对B,若/①)42",贝岫f(x)42*可得/(小2",无法判断“力大小，故B错；

答案第3页，共19页

对C,若/(a)282,则由可得得到/士加，无法判断a,b大小，故C

错；

对D,若/⑷W2”,则有f(x)V2*可得则2"22"，又y=2,为增函数,故

a>b,故D正确.

故选：D

7.B

【解析】

【分析】

由辅助角公式可得f(x)=sin(x+e),根据X=-?时fM有最大值可得

。，求出了(X),再根据奇偶性并计算/(()+?)、f(%+牛)可得答案.

【详解】

f(x)=asinx+cosx=\la2+1sin(x+0)sin(p=—j=",cos(p=_/-1,

r+1A/^TTJ

取烟工乃，

当sin(x+e)=l时，/(x)有最大值J“2+1,

-rrrrjrITIT

即x+(p=—+2k7r^keZ),所以夕=—+2k7r+—,可得/=5+2%乃+^，

所以g=,，/(x)=J/+lsin(x+?),

贝1J/(元+,)=J。？+1sin^x+-^-^=-\ja2+1cosx

因为COS(T)=COSX,所以/卜工+平卜/卜十号学)为偶函数,

f(o+与卜-"2+lCOS0=-J〃2+l,

f^7T-i-^\=-yla24-lCOS^-=V«2+I,

故B正确，

故选：B.

8.C

【解析】

【分析】

答案第4页，共19页

根据余弦定理和△ABC的面积公式，结合题意求出sinA、cosA的值，再用。表示3,求出

2=雪的取值范围，即可求出竺的取值范围.

csmCbe

【详解】

解:在△ABC中，由余弦定理得申=b2+c2-26ccosA,

且△ABC的面积S=1AsinA,

2

由2s=/-(b-c)2,Z?csinA=2bc-2bccosA,化简得sin4+2cosA=2,

式

又AE(0,二"),sin2A4-cos2A=1,联立得5sin2A-4sinA=0,

2

4

解得sin4=^或5由八=0（舍去）,

匚cbsin3sin(A+C)sinAcosC+cosAsinC43

所以广沅=-------------------=------1—，

sinCsinC5tanC5

因为aABC为锐角三角形，所以0<C<],B=7T-A-C<^9所以A<C<],

所以tanC>tan仁-==',所以1，所以，,

<2）tanA4tanC\3Jc\53J

,J

,„b.（35）2b2+c2c1c2

设一=/,其中「曰七，三|,所erK以I一;----=2一+:=2、/+-=2t+—,

c153；becbtt

\7

由对勾函数单调性知y=2r+；在（|,日）上单调递减，在[曰卷）上单调递增，

当f=时，y=2&；当f=3时，y=f；当/时，y=2；

2515315

所以”卜立,当，即殳士的取值范围是上也!|].

.1JJbeL■J7

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：由2-+C-=2。,所以本题的解题关键点是根据已知及

becb

bsinBsin(A+C)sinAcosC+cosAsinC43mb姐"/士中一中

-=.°=----------------=-~~-+1求出一的取值氾围.

csinCsinCsinC5tanC5c

9.BC

【解析】

【分析】

由数量积的定义依次判断即可.

【详解】

答案第5页，共19页

对于A,(a-fe)-c=|a|-|&|cos^,S^-c,3-(6-c)=(7-(|&|-|c|cos^,c^,显然伍/)名心(5・1)

不一定相等，A错误；

对于B,a2=|5|-|a|-cosO=|5|2,B正确；

对于C无5=|如Wcos«，9,5g=W.同8s,,£),故第6=/a,C正确;

对于D,|那5|=(如麻0$@，4=同.附8$(£,0,万.5=同./际(£,今，则I，・丘万.〃'，D

错误.

故选：BC.

10.BCD

【解析】

【分析】

2

//、ax+/?x+2

/(x)=~?71~

对于A:利用单调性的定义，要使f(x)为增函数，进行运算，产生矛盾，即可判断;

对于B:利用偶函数的定义进行判断;

对于C、D:用判别式法求值域即可判断;

【详解】

2

、ax++2bx—a+2

fM=----2——=a+—r―

x+1x+1

对于A:设冷式2wR,且X＜工2，则

hx-a+2bx?-Q+2(西一%2)[-。石%2+b+(i-2)(匹+%2)]

/(%)-/(%2)=i

：2

%+1X2+1(X：+1)(1+1)

令9=%]+t,t>0,

所以一如％+/?+(«+2)(%]+*,)=-如2+(2。―4一4)玉+〃+柩-2/因为

演<Z，所以X—九2<0.

要使fM为增函数，只需-法；+[2a-4-ht)x1+h+ta-2t>。恒成立，

所以A=(2Q-4—61―4(一/?)(6+柩一2，)<0，

答案第6页，共19页

/?<0

即[△=b2t2+(la-0+4〃<0

而人2”+(2。-4)2+4〃220,所以矛盾，故A错误；

对于B:要使对WaeRJ(x)为偶函数，按偶函数的定义，只需/(-用力幻，即

\a(-x]2+b(-x)+2ax2+bx+2-、5加,

/(-x)=~72=彳;=/(x),解得：b=0.

(-X)+1X+1

即对VaeR"(x)为偶函数.故B正确；

对于CD:f(x)="二二+2定义域为R,

%+1

所以关于X的方程(〃一)〉)/+法+2—丁=0有解，

当y=a时，有瓜+2-y=0有解，x=『

b

当尸。时，只需A=〃-4(a-y)(2-y)NO,

即4y-4(2+«)y+8a-Z>2<0,

而％=16(2+4)2-16(8〃-/)=16[("1)2+叼20,

所以关于)，的一元二次不等式有解，故CD正确；

故选：BCD.

【点睛】

(1)证明函数的单调性的方法：①定义法；②导数法；

(2)求二次分式型函数的值域可以用判别式法.

11.AD

【解析】

【分析】

由余弦定理判断A,利用正弦定理和正弦函数性质判断B,由正弦定理，切化弦及正弦函

数性质判断C,由余弦定理判断D.

【详解】

由余弦定理qc0s8+bcos4=ax幺上———++c———=c,A正确；

2ac2bc

acosA=bcosB,由正弦定理得sinAcosA=sin8cos8,sin2A=sin2B,A8是三角形内

答案第7页，共19页

TT

角，所以2A=23或2A+28=万，即A=B或4+8=^,三角形为等腰三角形或直角三角

形，B错；

由"tanB="2tan4得sii?Ax型与usin,Bx包4,sin2A=sin2B,同上得q=b或

cosBcosA

a2+b2=c2,C错；

若"+6=3,所以因此0<(<1,0</<1,

所以U+(gJ=L即cose/雪-'2>0,06(0,乃)，所

以C为锐角，显然。边最大，C角最大，所以AABC为锐角三角形，D正确.

故选：AD.

12.BCD

【解析】

【分析】

对于A选项，直线MN与直线CD为异面关系，所以A错误；

对于B选项，当MN=3时，其长度恰好等于底面梯形中位线的长度，易知两点在底

面的投影恰好落在OE和b上，可得平面DEM_L平面ABCD；

对于C选项，可找出NF的平行线，将垂直的判断转化为异面直线所成角；

对于D选项，从翻折的过程看二面角的变化趋势可得.

【详解】

对于A选项：如图，分别取的中点Q,S,连接AP,BP,DQ,

易知3DE,@CF,dDE,肝CF均是边长为2的正三角形，

所以在翻折过程中M,N两点在底面的射影分别落在直线必和PB上，如图2,易知

DE1平面MOP,C尸1平面NSP,

设M,N两点到底面的距离分别为则％=OMsinZMOP,^=5/VsinZNSP,

因为MV//平面ABCD,所以用=色，又OM=SN,所以NMOP=ZNSP,

易得MN/心,则肱V〃CD,则易知KMC。共面，M,N,E,尸共面，

易知OP,MN异面，所以QP,M,N不在同一平面内，则A错误；

对于B选项:当MN=3时，恰有MN=OS,则MNSO为平行四边形，由对称性知此时，

M,N两点在底面的射影即为O,S两点，所以平面A8CO,得平面OEM,平面

答案第8页，共19页

ABCD,则B正确；

对于C选项:过M点作MT//N/交EF于T,NOWT即为。M与FN所成角，易知在翻折

过程中Q7e(r>E,OF)=(2,2>/J),

又因为nW=DT=2,则当07=2正时，DMLDT,即ZW上EN,所以C正确；

当MV=3,由B选项知，平面DEMJ_平面A8CD,平面CFN_L平面ABC。，

此时。E与C尸的夹角即为平面DEN与平面CFN的夹角，易知此时的夹角为60,

而ADEM与AC/W在翻折的极限位置为7>PE,ACPF,即两平面的夹角的最大值为

180，所以在连续变化过程中必存在某个位置使得平面OEM，平面CFN,所以

D正确.

故选：BCD.

13.0<a<4

【解析】

根据题意将条件转化为集合之间的包含关系，结合函数图象即可求解.

【详解】

由题意得，{小=g(x),xe(0,1)}c{)，|y=f(x)”[-1,〃]}，并且对于g(x)值域中的每一个

数〃，都有至少两个不同数％和4e[T,a],使得/&)=知«=1,2)成立.

①当-1<。<0时，.f(x)在[-1,可上单调递减，显然，此种情况不成立.

②当0<042,g(x)在xe(O,l)上的值域为(l,a+l),由〃x)的函数图象可知，只要使得

/、[0<«<2,

f(a)>a+\,则2〃，、，解得0<a42.

[-a+4a+l>a+\,

③当a>2时，g(x)在xe(O,l)上的值域为(1,4+1),由/(x)的函数图象可知，要满足

(l,a+l)q[l,5]即可，得2<“44,综上所述，0<aW4.

答案第9页，共19页

故答案为：0<a44.

【点睛】

本题主要考查根据集合间的包含关系求参数的取值范围的问题，结合函数图象可更好的理

解题意，属于能力提升题.

14.|x|O<x<||

【解析】

【分析】

利用韦达定理得方=a,c=-6。,。<0,再解不等式-6奴_“6+〃<0即得解.

【详解】

因为关于x的一元二次不等式加+/u+c>0的解集是何-3Vx<2},

。<0

所以—3+2=—:.b=a,c=—6。.

a

-3x2=-

a

因为ex-b\[x+a<0,

所以-t>ax_a五+a<0,

-6a(7x)2-a4x+a<0

即6(5/X)2+VX-1<0,

所以（2石+1）（3五-l）<0，

答案第10页，共19页

fj/f以<y]~X<—,*.*,x/x20,.e.0Wy/~X<一,

233

解得a，V

故答案为：io,1）

19+4>/15_4>/15+19

1C5.--------##--------

99

【解析】

【分析】

根据题意得（上+以,设2=&,所以（3+公）/—6妨+4=0,所以A20,求出

6b-43a2+h2av'

%的范围，所以G"+"）2=（力+力：=/+仇：9,分析求最值即可.

6/7-43a-+b23+k2

【详解】

3/+。2一6人+4=0=66-4=%2+〃，所以（3°+力2=01+3：,设2=%,

6b-43a2+b2a

代入3/+从-66+4=0,则有（3+公）〃2-63+4=0,看成关于。的一元二次方程，

若。方存在，则关于。的一元二次方程必须有解,

所以判别式A=36公-16（3+&2）20=>心¥^或44-*1,

所以4+12^^+1>2或4+14-^^+1<0

55

又函数y=x+g在［2,用）上单调递增，

所以

（3a+6y（3a+b）2k2+6k+9,,%+1,,1,,2715+519+4厉

6b—43a2+b23+F3+k24279

K十〕H------Z

Z+l

当且仅当么=亚时取得等号，此时。=亚，b=^.

593

19+4715

故答案为:

9

【点睛】

求函数最值和值域的常用方法:

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求

答案第II页，共19页

出最值；

（4）导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值；

（5）换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.

16.3+3710##3710+3

【解析】

【分析】

先构造出利用题目条件求出口，再借助中线定理即'S=2,炉+。炉）求出

|51+修『,利用基本不等式求出出|+|角的最大值,即可求解.

【详解】

设@=方，b=DB,c=DC^

,•,^+6+1=0，；•点。是AABC的重心，

又,.•（1-5）•（万一①=（方-丽）•（丽一觉）=丽•丽=0,

...84,C4".AABC是直角三角形，

[923

^•：\h-c\=9,即CB=9,则AE=—BC=—,AD=-AE=3,|国=3,DE=-.

2232

在ABDC中，2诙=丽+成，两边同时平方得4庞2=丽2+反。2丽.觉，又

2DBDC=DC+DB-CB=DC+DB-4.EB可得BD2+CD2=2（BE2+DE2）=45,

即|必+©2=45,.•.90=2（|/开+问2卜（|5|+©）2,出|+|5区3西，当且仅当

出|=）司=+叵时,取等号；万|+出|+用区3疝J+3.

2

故答案为：3+3710.

【点睛】

本题关键点一在于利用条件万+5+万=0构造出AMC，进而求出口，关键点二在于借助中

答案第12页，共19页

线定理3加+。2=2（81+£（炉）求出|B『+修『，进而利用基本不等式求解，中线定理的

证明及应用注意积累掌握.

17.⑴”?=g,闫=2；

（2）（-8,一；）.

【解析】

【分析】

（1）根据复数的除法运算化简复数，再根据纯虚数的实部为0,虚部不为0求出机的值，

进而求出复数z的模；

（2）首先根据第（1）问求出5-2z,然后根据复平面上对应点在第二象限，则实部小于

0,虚部大于0,解不等式组求出"?的取值范围.

（1）

依题意得，

2

2+4疝(2+4mi)(l+i)2+4/wi+4m\+2i八\八八.

-------------------=(l-2/n)+(2m+l)i,

(l)(l+i)1-i

fl—2m=01

若Z是纯虚数，则2,。0,解得行于

.-.z=2i,：.\z\=2.

(2)

由(1)矢口，z=(l-2/M)+(2/n+l)i,

z=（1—2m）—（2/n+l）i,z—2z=2/n—l-（6/n+3）i,

•••复数5-2z在复平面上对应的点位于第二象限，

2ni-1<0i

.♦・[-(6而+3)>0'解得“<一5,即*

-x-2

18.⑴拽；

4

371

(2)/(a)=——,0<<z<-；(5^)=3.

sin2a3

【解析】

【分析】

答案第13页，共19页

（1）利用余弦定理可得48=近，cosa=—,然后利用正弦定理及面积公式即得:

7

3

（2）利用正弦定理及面积公式可得50死=—然后利用正弦函数的性质即得治

sin2a

⑴

DE-^--4

由题可知“K-.万一4

sin—

3

在△ABQ中，AD=2,BD=T,ZADB=—9

2222

所以AB，=AD+BD-2AD-BDcosZADB=2+1-2x2x]x[-1]=7TB|JAB=41,

(V7)+1-22_277

・•cosa=

2x/77

在AA£C中，ZECA=--a,

2

ACAE

由正弦定理知

AEsin71

所以

AC=3—

COS<7cosa2

y/n7百

故748c=3xJ7X--------=----------

24

⑵

ABAD

在△43。中，由正弦定理知,s吟sina，

ADsin—

所以6,

AB=3

sinasina

ACAE

同理在"EC中,•71.

sin—sin

3

.AEsin—/T

AC=----------1=

cosacosa

所以SAA3c=A3xAC="x"=——-——，0<a<£,

22sinacosasin2a、

jr

当a=]时=3，

答案第14页，共19页

即〃，）=」，0<c<g，=3.

sin2a3

19.（l）fe=l

（2）选择②，e（x）=125-|x-25|,（l<x<30,xeN*）

(3)⑵元

【解析】

【分析】

(1)根据第10天该商品的日销售收入为121元，列式求得答案；

(2)由表中数据的变化可确定0(x)=aIx-25\+b描述该商品的日销售量Q(x)与时间x的

关系，代入表述数据可求得其解析式；

(3)讨论去掉绝对值符号，分段求出函数的最小值，比较可得答案.

(1)

因为第10天该商品的日销售收入为121元，

所以410＞。(10)=(1+2)110=121，解得女=1;

⑵

由表中数据可得，当时间变化时，该商品的日销售量有增有减，并不单调，

故只能选②:Q（x）=a|x-25|+b

110=410-25+h

代入数据可得：，解得a=—l,b=\25,

120=a|20-25+h

所以。（X）=125-|X-25|,（1<X<30,XGN,）

⑶

…।f100+x,l<x<25,xeN*

由（2）可得，Q（x）=l25-\x-25\=\*,

'J11[150-X,25<X<30,XGN

101+X+^-,1<X<25,XGN*

所以，〃x）=P（x）.Q（x）=X,

149+---X,25<X<30,XEN*

x

所以当14x<25,xeN*时，/（幻=101+》+色9在区间工刈上单调递减，在区间[10,25）

X

上单调递增，

所以当尤=10时，/（X）有最小值，且为121；

答案第15页，共19页

当25＜x430,xeN*时，/(x)=149+-—x为单调递减函数，

x

所以当x=30时，/(x)有最小值，且为124,

综上，当x=10时，/(x)有最小值，且为121元，

所以该商品的日销售收入最小值为121元.

20.(1)空

27

⑵丁

【解析】

【分析】

(1)分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；

(2)分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.

(1)

解：设甲在第，•局获胜为事件A(i=l,2,3),事件B=”甲获得本场比赛胜利”,

则8=U(AA2A)=(AA4)，

所以P(B)专|+|x(l-|卜|+(l—|%|x|20

"27,

⑵

若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.

此时，甲恰好连胜两场的概率[=|x(l-f+(1闻、»=看；

若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场.

此时，甲恰好连胜两场的概率8=|x"3、11c2

14)2]3

若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场.

此时，甲恰好连胜两场的概率A=1x卜『羽＞2=]

因为4＜鸟＜6,所以，甲在第二场与丁比赛时,甲恰好连胜两场的概率最大.

21.(1)班十班

24

答案第16页，共19页

【解析】

【分析】

（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，利用余弦定理求出48=1+石，求出底面积和

高，进而求出三棱锥的体积；（2）利用空间基底表达出亚，丽，结合第一问结论求出

cos（而，函=3jcosO+母从而求出答案.

'I44｛22）

（1）

取4c的中点凡连接FD,FE,由8c=2,则AT>=8=A£=CE=1,DFVAC,

jr

EFLAC,故/。FE即为二面角。一AC-B的平面角，即N£>FE=e=§,连接OE,作

DHLFE,因为。F（1EF=F，所以AC_L平面。EF,因为。Hu平面/）E凡所以

AC±DH,因为ACnEF=P,所以。H_L平面ABC,因为CE>_LA£>,由勾股定理得：

AC=&，DF=—,又AE=CE=1,由勾股定理逆定理可知，AELCE,且/BAC=4,

24

垃‘…八』上人,曰八AC2+AB2-