应变理论课程学习

位移和应变Chapter4.1

位移

第1页/共151页第一页，共152页。位移和应变Chapter4.1

位移的描述

刚体位移：整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动。变形：物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置。一般来说，刚体位移和变形是同时出现的。第2页/共151页第二页，共152页。位移和应变Chapter4.1

位移

第3页/共151页第三页，共152页。位移和应变Chapter4.1

位移

分量形式：或第4页/共151页第四页，共152页。位移和应变Chapter4.1

单轴应变xdxxABA’B’u(x)u(x+dx)F第5页/共151页第五页，共152页。位移和应变Chapter4.1

单轴应变微元的长度变化：Taylor级数展开：第6页/共151页第六页，共152页。位移和应变Chapter4.1

单轴应变略去高阶项：单轴应变（工程应变）定义为：第7页/共151页第七页，共152页。位移和应变

应变分量平行六面体(称为微元体)Chapter4.1第8页/共151页第八页，共152页。

应变分量Chapter4.1位移和应变第9页/共151页第九页，共152页。Chapter4.1位移和应变第10页/共151页第十页，共152页。Chapter4.1

正应变(相对伸长度)位移和应变第11页/共151页第十一页，共152页。Chapter4.1

切应变(剪应变)位移和应变第12页/共151页第十二页，共152页。Chapter4.1

工程剪应变位移和应变第13页/共151页第十三页，共152页。位移和应变＋uyx第14页/共151页第十四页，共152页。由于位移是坐标值的连续函数，所以P点在x及y轴上的位移分量为u，v，则A点及B点的位移分量为Chapter4.1位移和应变A:B:A:B:第15页/共151页第十五页，共152页。按照多元函数Taylor级数展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量，则得A点及B点的位移分量为Chapter4.1位移和应变第16页/共151页第十六页，共152页。Chapter4.1位移和应变＋u适用条件？第17页/共151页第十七页，共152页。Chapter4.1位移和应变第18页/共151页第十八页，共152页。小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter4.1

几何方程位移和应变第19页/共151页第十九页，共152页。小应变情况下，应变和位移的关系：Chapter4.1

几何方程位移和应变第20页/共151页第二十页，共152页。小应变情况下，工程应变和位移的关系：Chapter4.1

几何方程位移和应变第21页/共151页第二十一页，共152页。应变理论

位移和应变（小应变情况）位移和应变（一般情况）

刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移Chapter4第22页/共151页第二十二页，共152页。Chapter4.2拉格朗日坐标系（或随体坐标系、物质坐标系）由变形前嵌入物体内的老坐标系随物体质点一起变形而得到的，所以在变形过程中，质点的坐标值始终保持不变。在物体变形中一般变为曲线坐标系。在固体力学中，大多采用拉格朗日坐标系。位移和应变第23页/共151页第二十三页，共152页。Chapter4.2位移和应变欧拉坐标系（或空间坐标系）固定在空间点上的坐标系，其基矢量不随物体变形而变化。在流体力学中，一般采用欧拉坐标系。第24页/共151页第二十四页，共152页。Chapter4.2位移和应变u第25页/共151页第二十五页，共152页。uChapter4.2P及P点的矢径分别为：位移和应变第26页/共151页第二十六页，共152页。Chapter4.2根据变形后不开裂或重叠的基本假设，xi和ai间应存在一一对应的互逆关系。于是，以上两式的雅可比行列式应不为零，即位移和应变第27页/共151页第二十七页，共152页。Chapter4.2位移和应变第28页/共151页第二十八页，共152页。Chapter4.2定义P点的位移矢量：即注:弹性力学中，通常假定位移场足够光滑，存在三阶以上的连续偏导数。位移和应变

位移第29页/共151页第二十九页，共152页。Chapter4.2

描述物体位移的方法拉格朗日描述法欧拉描述法位移和应变第30页/共151页第三十页，共152页。Chapter4.2

拉格朗日描述法以物体变形前的初始构形B为参照构形，质点变形前的坐标ai=(a1,a2,a3)为基本未知量。将变形后物体的位置x表示为a1,a2,a3的函数：

位移场u用初始坐标ai描述：位移和应变第31页/共151页第三十一页，共152页。Chapter4.2

欧拉描述法以物体变形后的新构形B为参照构形，质点变形后的坐标xi=(x1,x2,x3)为基本未知量。将变形前物体的位置a表示为x1,x2,x3的函数：位移和应变位移场u用当前坐标xi描述：

第32页/共151页第三十二页，共152页。

变形的描述

考虑变形前的任意线元，其端点P(a1,a2,a3）及Q(a1+da1,a2+da2,a3+da3)的矢径分别为Chapter4.2位移和应变第33页/共151页第三十三页，共152页。Chapter4.2变形后，P、Q两点分别位移至P和Q，相应的矢径和线元为位移和应变第34页/共151页第三十四页，共152页。Chapter4.2变形前后，线元和的长度平方为位移和应变第35页/共151页第三十五页，共152页。Chapter4.2采用拉格朗日描述法，xm=xm(ai)，

则注：一般记，称为变形梯度张量位移和应变第36页/共151页第三十六页，共152页。Chapter4.2位移和应变第37页/共151页第三十七页，共152页。Chapter4.2记位移和应变第38页/共151页第三十八页，共152页。Chapter4.2根据商判则，E是二阶张量，称为格林应变张量。

位移和应变第39页/共151页第三十九页，共152页。Chapter4.2将上式改写为

求导

格林应变张量的位移分量表达式位移和应变第40页/共151页第四十页，共152页。Chapter4.2引进笛卡尔坐标系中位移梯度u和u写成实体符号：位移和应变第41页/共151页第四十一页，共152页。Chapter4.2在笛卡尔坐标系中分量形式为位移和应变第42页/共151页第四十二页，共152页。Chapter4.2

用格林应变张量表示线元的长度变化变形前，长度比：

位移和应变

第43页/共151页第四十三页，共152页。Chapter4.2长度比表示为：位移和应变其中：第44页/共151页第四十四页，共152页。Chapter4.2

用格林应变张量表示线元方向的改变变形后，线元方向为位移和应变利用任意线元变形后的方向余弦可用位移表示成

第45页/共151页第四十五页，共152页。位移和应变Chapter4.2

用格林应变表示线元间夹角余弦的变化

第46页/共151页第四十六页，共152页。

用格林应变表示线元间夹角余弦的变化

变形前的两个任意线元和，其单位矢量分别为v和t，方向余弦分别为vi和ti，夹角余弦为Chapter4.2位移和应变第47页/共151页第四十七页，共152页。

用格林应变表示线元间夹角余弦的变化

变形后，其单位矢量分别为v和t，夹角余弦为Chapter4.2位移和应变第48页/共151页第四十八页，共152页。Chapter4.2于是上式简化为可知，应变张量给出了物体变形状态的全部信息。

位移和应变

用格林应变表示线元间夹角余弦的变化

第49页/共151页第四十九页，共152页。Chapter4.2以上介绍了拉格朗日描述法的推导过程和结果。类似地，若采用欧拉描述法将导出称为阿尔曼西(Almansi,E.)应变张量

位移和应变第50页/共151页第五十页，共152页。Chapter4.2上两式表明，若Eij

0，或eij

0，则dS=dS0。所以物体无变形（仅作刚体运动）的充分必要条件是应变张量Eij（或eij）处处为零。位移和应变第51页/共151页第五十一页，共152页。Chapter4.2Green应变张量：长度比：位移和应变夹角变化：第52页/共151页第五十二页，共152页。Chapter4.2Green应变张量：Almansi应变张量：位移和应变小应变张量：第53页/共151页第五十三页，共152页。Chapter4.2

小应变张量定义和意义对于小变形情况（位移比物体最小尺寸小得多）：由小变形假设略去二阶小量位移和应变第54页/共151页第五十四页，共152页。Chapter4.2在小变形情况下，格林应变张量和阿尔曼西应变张量简化为ij称为柯西应变张量或小应变张量。实体形式为位移和应变第55页/共151页第五十五页，共152页。Chapter4.2在笛卡尔坐标系中，应变位移关系或几何方程为指标形式为:位移和应变第56页/共151页第五十六页，共152页。Chapter4.2

小变形情况下结果的简化长度比

定义

为方向线元的工程正应变.位移和应变第57页/共151页第五十七页，共152页。Chapter4.2

线元的转动

变形后线元的方向余弦：

位移和应变第58页/共151页第五十八页，共152页。Chapter4.2对变形前与坐标轴a1平行的线元有位移和应变变形后线元的方向余弦：

第59页/共151页第五十九页，共152页。Chapter4.2变形后的单位矢量2很小位移和应变第60页/共151页第六十页，共152页。Chapter4.2同理上述两式说明，变形前与a2和

a3轴垂直的线元，变形后分别向a2和

a3轴旋转了和角。同理，沿a2和

a3轴的线元变形后也将发生转动。位移和应变第61页/共151页第六十一页，共152页。a1a3a2位移和应变Chapter4.2第62页/共151页第六十二页，共152页。Chapter4.2

两线元间的夹角变化

变形后，线元的夹角表示为位移和应变其中：第63页/共151页第六十三页，共152页。Chapter4.2略去二阶小量，可得若变形前两线元互相垂直令为变形后线元间直角的减小量，则

位移和应变第64页/共151页第六十四页，共152页。Chapter4.2工程剪应变定义为两正交线元间的直角减小量若v,t为坐标轴方向的单位矢量，例如,

vi=1,tj=1(i≠j),其余的方向余弦均为零，则由上式得位移和应变第65页/共151页第六十五页，共152页。Chapter4.2位移和应变小应变张量e

的几何意义是：当指标i=j时，表示沿坐标轴i方向的线元工程正应变，以伸长为正，缩短为负；当指标(i≠j)时，的两倍表示坐标轴i与j方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增加）为负。第66页/共151页第六十六页，共152页。Chapter4.2小应变张量的性质

新老坐标中的应变张量分量与

满足转轴公式由此可根据应变分量ij求出任意方向的正应变和剪应变。因而小应变张量完全表征了一点的应变状态。位移和应变第67页/共151页第六十七页，共152页。

应变张量在每点存在三个相互正交的主方向设v为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义有标量称为应变张量的主值，即沿主方向v的主应变。与主应力类似，主应变也具有实数性，正交性和极值性。

Chapter4.2位移和应变第68页/共151页第六十八页，共152页。Chapter4.2

存在第一、第二和第三应变不变量系数行列式为零其中：分别称为第一、第二和第三应变不变量。位移和应变第69页/共151页第六十九页，共152页。Chapter4.2

应变主轴－沿每点应变主方向的坐标线由应变主轴组成的正交曲线坐标系称为主应变坐标系。最大工程剪应变发生在主平面内，其值为最大与最小主应变之差。等倾线元正应变（又称八面体正应变）等于平均正应变0。位移和应变第70页/共151页第七十页，共152页。Chapter4.2

八面体剪应变是等倾面法线与等倾面上任意线元间之剪应变的最大值。位移和应变第71页/共151页第七十一页，共152页。Chapter4.2

应变张量可分解为应变球量和应变偏量之和

即称为球形应变张量，0

为平均正应变。

位移和应变第72页/共151页第七十二页，共152页。Chapter4.2将0ij代入上述两式可得

因此应变球量表示等向体积膨胀或收缩，它不产生形状畸变。位移和应变第73页/共151页第七十三页，共152页。Chapter4.2

称为应变偏量。即应变偏量不产生体积变化，仅表示形状畸变。

位移和应变第74页/共151页第七十四页，共152页。Chapter4.2

几种特殊的应变场刚体位移位移和应变第75页/共151页第七十五页，共152页。Chapter4.2于是可得位移和应变第76页/共151页第七十六页，共152页。Chapter4.2

纯变形存在全微分位移和应变第77页/共151页第七十七页，共152页。Chapter4.2常正应变状态是纯变形的一例位移和应变第78页/共151页第七十八页，共152页。Chapter4.2

均匀变形状态位移和应变第79页/共151页第七十九页，共152页。Chapter4.2

直线在变形后仍为直线；相同方向的直线以同样比例伸缩；互相平行的直线变形后仍平行；平面在变形后仍为平面；平行平面变形后仍平行；球面变形后成为椭球面。均匀变形状态的性质：位移和应变第80页/共151页第八十页，共152页。应变理论

位移和应变

刚体转动应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移正交曲线坐标系中的几何方程Chapter4第81页/共151页第八十一页，共152页。Chapter4.3刚体转动位移场u

变形=刚体运动

+刚体运动刚体平移=刚体转动

+第82页/共151页第八十二页，共152页。考虑线元PQ，变形前其端点位置是P(x)和Q(x+dx)。P点位移为u(x)，Q点位移为

其中,u(x)是线元随P点的刚体平移，du是Q点相对于P点位移的增量，其值为Chapter4.3由商判则可知，位移梯度u为一个二阶张量。刚体转动第83页/共151页第八十三页，共152页。Chapter4.3将u分解成对称张量与反对称张量之和

对称部分即为小应变张量，定义反对称部分为称为转动张量

刚体转动第84页/共151页第八十四页，共152页。Chapter4.3代入刚体转动第85页/共151页第八十五页，共152页。Chapter4.3由反对称张量的性质可知：反对称张量只有三个独立分量12,23和31

指标记号刚体转动第86页/共151页第八十六页，共152页。Chapter4.3转动矢量称为张量的反偶矢量

刚体转动第87页/共151页第八十七页，共152页。Chapter4.3指标形式为：(b)刚体转动第88页/共151页第八十八页，共152页。Chapter4.3刚体平移变形刚体转动刚体转动第89页/共151页第八十九页，共152页。Chapter4.3刚体转动图3-8

第90页/共151页第九十页，共152页。刚体转动Chapter4.3第91页/共151页第九十一页，共152页。Chapter4.3

对变形体来说，转动矢量和转动张量都是随点而异的。若考虑整个物体作刚体转动（＝0，=常数）的情况，则这就是理论力学中熟知的刚体转动公式：刚体转动第92页/共151页第九十二页，共152页。Chapter4.3

小应变假设：所以线性弹性理论仅适用于应变和转动都很小的情况。刚体转动第93页/共151页第九十三页，共152页。应变理论Chapter4

位移和应变（小应变情况）

位移和应变（一般情况）

刚体转动

应变协调方程位移场的单值条件由应变求位移第94页/共151页第九十四页，共152页。小应变情况下的几何方程：Chapter4.4应变协调方程

任意给定应变分量后，不一定能由上述方程积分求出位移，所以需要补充方程才能使原问题有解。

对于连续体，相邻微单元之间的变形必须互相协调。即必须满足某些条件－变形的连续条件。第95页/共151页第九十五页，共152页。应变协调方程Chapter4.4在xy平面内各应分量之间的关系

两式相加后，得第96页/共151页第九十六页，共152页。应变协调方程Chapter4.4同理可以找出另外两平面内应变分量间的关系式

第97页/共151页第九十七页，共152页。应变协调方程Chapter4.4综合起来可得以下方程：第98页/共151页第九十八页，共152页。应变协调方程Chapter4.4不同平面内的应变分量也存在一定的关系,于是下面推导不同平面内的应变分量之间的关系第99页/共151页第九十九页，共152页。应变协调方程Chapter4.4同理，可以求出另外两个关系式：第100页/共151页第一百页，共152页。应变协调方程Chapter4.4共得到六个应变协调方程：第101页/共151页第一百零一页，共152页。应变协调方程Chapter4.4

应变协调方程是单连通域小变形连续的充分必要条件，这样的六个应变分量将不能任意给定，他们必须满足以上六个约束方程。以上六式不是完全独立的，它们只相当于三个独立的方程。第102页/共151页第一百零二页，共152页。应变协调方程应变协调方程的另外一种推导方法小应变张量ij的二阶偏导数为Chapter4.4指标符号互换：第103页/共151页第一百零三页，共152页。同样经过指标对换可以得到

Chapter4.4应变协调方程第104页/共151页第一百零四页，共152页。当位移场单值连续，并存在三阶以上连续偏导数时，根据偏导数与求导顺序无关，可得

应变协调方程：

Chapter4.4应变协调方程第105页/共151页第一百零五页，共152页。由于在推导中只用了连续函数的求导顺序无关性，所以上式的本质是变形连续条件，常称应变协调方程。当应变分量不是任意指定，而是根据几何方程由单值连续的位移场确定时，上式是各应变分量二阶偏导数间的恒等式，故又称为圣维南(Saint-Venant)恒等式。在数学上，上式是能由几何方程积分出单值连续位移场的必要条件，简称可积条件。Chapter4.4应变协调方程第106页/共151页第一百零六页，共152页。

变形协调方程的数学意义要使三个位移分量为未知函数的六个几何方程不相矛盾，则应变分量必须满足的必要条件。

而应变协调方程的物理意义可以从弹性体的变形连续作出解释。假如物体分割成无数个微分六面体单元，变形后每一单元体都发生形状改变，如变形不满足一定的关系，变形后的单元体将不能重新组合成连续体，其间将产生缝隙或嵌入现象。

Chapter4.4应变协调方程第107页/共151页第一百零七页，共152页。Chapter4.4应变协调方程的个数上式中含有四个自由指标，共表示81个方程，但其中有不少是恒等式。不难验证下述关系关于j，k反对称：812796应变协调方程关于i，l反对称：关于ij，kl对称：

Lmn为对称二阶张量第108页/共151页第一百零八页，共152页。Chapter4.4应变协调方程

应变协调方程的实体表示：：第109页/共151页第一百零九页，共152页。Chapter4.4应变协调方程第110页/共151页第一百一十页，共152页。Chapter4.4在直角坐标系中，表示为：应变协调方程第111页/共151页第一百一十一页，共152页。Chapter4.4

小结物体的变形可以用三个位移分量来描述，也可用六个应变分量来描述。当用位移描述时，只要位移函数连续且存在三阶以上连续偏导数，协调方程就自动满足。当用应变描述时，六个应变分量必须首先满足协调方程。只有从协调的应变场才能积分几何方程，得到相应的位移场。

应变协调方程第112页/共151页第一百一十二页，共152页。应变理论Chapter4

位移和应变（小应变情况）

位移和应变（一般情况）

刚体转动应变协调方程

位移场的单值条件由应变求位移第113页/共151页第一百一十三页，共152页。Chapter4.5位移场的单值条件

概念若域内的任意闭曲线能通过在域内的连续变形而收缩成一个点，则这种域称为单连通域，否则为多连通域。

对二维问题，单连通域就是实心域，多连通域为空心域；但这个概念不能简单地推广到三维问题中去，例如内含空洞的空心球体是一个单连通域，仅当孔洞贯穿三维体成管道时才是多连通域。第114页/共151页第一百一十四页，共152页。Chapter4.5单连通域:多连通域:位移场的单值条件第115页/共151页第一百一十五页，共152页。Chapter4.5n连通域有n个连接物体相邻部分的通道，如果用横贯通道的截面把n-1个通道切断，就化为单连通域，简称基域。这些假想截面称为切口。所以一个n连通域就相当于一个单连通的基域加n-1个切口。位移场的单值条件第116页/共151页第一百一十六页，共152页。Chapter4.5

位移场的单值条件单连通域上节从位移的单值连续性出发导出了应变协调方程，从而证明应变协调是保证位移单值连续的必要条件。下面将证明单连通域中应变协调方程是位移场函数单值的充分条件。位移场的单值条件第117页/共151页第一百一十七页，共152页。Chapter4.5位移场的单值条件

单连通域上位移场的单值条件第118页/共151页第一百一十八页，共152页。Chapter4.5位移场的单值条件第119页/共151页第一百一十九页，共152页。Chapter4.5x1x2x3Po位移场的单值条件第120页/共151页第一百二十页，共152页。Chapter4.5位移场的单值条件x1x2x3Po第121页/共151页第一百二十一页，共152页。Chapter4.5其中位移场的单值条件x1x2x3Po单值性条件：即：第122页/共151页第一百二十二页，共152页。Chapter4.5x1x2x3ALdlda由Stokes公式：位移场的单值条件第123页/共151页第一百二十三页，共152页。Chapter4.5位移场的单值条件因此，位移的单值性条件是应变满足协调方程。或：第124页/共151页第一百二十四页，共152页。Chapter4.5等价形式协调方程位移场的单值条件第125页/共151页第一百二十五页，共152页。Chapter4.5

多连通域位移场的单值条件

对于多连通域的情况，可先用n－1个切口将连通域化为单连通的基域。根据以上讨论，只要满足协调方程，就能保证基域上位移场的单值连续性。但变形后，在切口处仍可能出现开裂或重叠现象。所以对于多连通域，除了满足协调方程外，还应补充保证切口处位移单值连续的附加条件。

位移场的单值条件第126页/共151页第一百二十六页，共152页。Chapter4.5证明：n连通域中应附加(n-1)个位移场函数的单值性条件

x1x2x3A+A-LLkLk’B-B+位移场的单值条件第127页/共151页第一百二十七页，共152页。Chapter4.5i

=1,2,3,k=1,2…n-1位移场的单值条件第128页/共151页第一百二十八页，共152页。Chapter4.5转动单值性条件i

=1,2,3,k=1,2…n-1或位移场的单值条件第129页/共151页第一百二十九页，共152页。应变理论Chapter4

位移和应变（小应变情况）

位移和应变（一般情况）

刚体转动应变协调方程位移场的单值条件

由应变求位移第130页/共151页第一百三十页，共152页。由应变求位移Chapter4.6本节介绍笛卡尔坐标系中，由应变和几何方程求位移分量u1,u2,u3的方法。第131页/共151页第一百三十一页，共152页。由应变求位移Chapter4.6

线积分法直接积分法

第132页/共151页第一百三十二页，共152页。Chapter4.6

线积分法求位移分量

由于因此只要导出u1三个一阶偏导数用应变分量的表达式，就可由上式积分出位移u1。由应变求位移第133页/共151页第一百三十三页，共152页。Chapter4.6由几何方程得

已用应变分量表示，但和中还含有未知的位移偏导数。先处理由应变求位移第134页/共151页第一百三十四页，共152页。Chapter4.6。

由应变求位移第135页/共151页第一百三十五页，共152页。Chapter4.6其中C1为待定积分常数。由应变求位移第136页/共151页第一百三十六页，共152页。Chapter4.6用同样的思路可求得偏导数，然后代入下式就能积分出位移分量u1(x1,x2,x3)。只要应变满足协调方程，以上各式中的线积分均与路径无关，一般取与坐标轴平行的折线为积分路径。可用同样的方法进一步求得位移分量u2和u3。

由应变求位移第137页/共151页第一百三十七页，共152页。Chapter4.6

求位移u1的方法