2023年四边形知识点经典总结

四边形知识点:关系结构图：二、知识点讲解:1．平行四边形的性质（重点）:ABCＤ是平行四边形2.平行四边形的鉴定(难点）:.3．矩形的性质:由于ABＣD是矩形(4）是轴对称图形，它有两条对称轴.４矩形的鉴定：矩形的鉴定方法:(1)有一个角是直角的平行四边形;ﻫ(２)有三个角是直角的四边形;ﻫ(3)对角线相等的平行四边形;

(4)对角线相等且互相平分的四边形.四边形ＡBCD是矩形.5.菱形的性质：由于AＢＣD是菱形6.菱形的鉴定:四边形四边形AＢCD是菱形．7.正方形的性质:ABCD是正方形ﻩ8.正方形的鉴定:四边形ＡBＣD是正方形.名称定义性质鉴定面积平ﻫ行ﻫ四ﻫ边

形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。对边平行；②对边相等;ﻫ③对角相等;ﻫ④邻角互补；ﻫ⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形①定义;ﻫ②两组对边分别相等的四边形；③一组对边平行且相等的四边形;

④两组对角分别相等的四边形;

⑤对角线互相平分的四边形。S=ah（a为一边长,h为这条边上的高)矩ﻫ形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形除具有平行四边形的性质外，尚有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形;③定义。S=aｂ(a为一边长，b为另一边长)菱

形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。除具有平行四边形的性质外,尚有①四边形相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。①四条边相等的四边形是菱形;②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。①S=ａh(ａ为一边长,h为这条边上的高);

②(b、c为两条对角线的长)正

方ﻫ形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形具有平行四边形、矩形、菱形的性质:①四个角是直角,四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角;③既是中心对称图形又是轴对称图形。①有一组邻边相等的矩形是正方形;②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。①（a为边长);

②(b为对角线长)三．精典例题解答:ﻫ1.已知:如图，E、F是平行四边形ＡBCD的对角线ＡC上的两点,AＥ=CＦ。

求证:(1）△ＡＤF≌△CBE;(2)EB∥ＤF。ﻫ

证明：（１）∵AE＝ＣF∴AＥ+ＥF=CＦ+ＦE即AＦ=CＥ

又ＡＢCD是平行四边形,∴AD=CB，ＡD∥BC∴∠DAF＝∠ＢCE

在△ＡDF与△CBＥ中ﻫ∴△ＡDＦ≌△ＣBＥ（ＳAS)

（2）∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠ＢEC∴DF∥ＥBﻫ

例1图例2图２．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线ＡC上的两点，并且AＥ=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。ﻫ证明：∵四边形ABCD是平行四边形ﻫ∴OＡ=OC,ＯB=ＯDﻫ又∵AE=ＣＦﻫ∴ＯA+AE=OＣ＋ＣF即ＯE=OF

∴四边形BFＤE是平行四边形3.如图，在梯形纸片ＡBCD中，AD∥BC，AＤ＞CD,将纸片沿过点Ｄ的直线折叠，使点C落在AD上的点Ｃ’处,折痕DE交ＢC于点E,连结。

求证:四边形是菱形。ﻫ证明：根据题意可知ﻫ则,，

∵AD∥ＢC∴∴∠CDＥ＝∠ＣEＤﻫ∴CD＝CE∴∴四边形为菱形

例3图4.把正方形ABＣD绕着点Ａ，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与ＢＣ交于点H(如图）。试问线段HＧ与线段HB相等吗?请先观测猜想，然后再证明你的猜想。ﻫ

解:ＨG＝HB。

证法1:连结AH,

∵四边形ABCD,AEFG都是正方形ﻫ∴∠B=∠G=90°ﻫ由题意知AG=AＢ，又AH＝AHﻫ∴Rt△AGＨ≌Rt△ABH(HL)

∴HG＝ＨBﻫ证法２：连结GB

∵四边形AＢCD,ＡEFＧ都是正方形ﻫ∴∠ＡＢC＝∠AGF＝90°

由题意知AＢ=AG

∴∠AGB＝∠AＢG

∴∠ABC-∠ABG=∠AGF－∠AGＢ即∠HBG=∠ＨGＢﻫ∴HG=HBﻫ

5.如图,正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形ＡEＦG,边EF与CD交于点O。

（1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外),规定所连结的两条线段相ﻫ交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由;

(2）若正方形的边长为2cｍ，重叠部分(四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。ﻫ解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是_＿＿_AO____和____ＤE___＿。ﻫ理由如下:ﻫ∵在Ｒt△ADO与Rt△ＡＥO中,AD=AＥ,ＡＯ=AO,

∴Rt△ＡＤO≌Rt△AＥOﻫ∴∠ＤＡＯ=∠ＯAE(即AO平分∠DＡE）ﻫ∴ＡＯ⊥DＥ（等腰三角形的三线合一)ﻫ注:其它的结论也成立如GＤ⊥BE。ﻫ(2）∵四边形AEOD的面积为

∴三角形ADO的面积=ﻫ∵AD=2ﻫ∴

∴∠DＡO=３0°ﻫ∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°

ﻫ例5图例6图6.四边形ABCD、DEFＧ都是正方形，连接AE、CＧ。

（1)求证:ＡE＝CG;ﻫ(2)观测图形，猜想AE与CG之间的位置关系,并证明你的猜想。证明:（１）如图,ﻫ∵AＤ=CＤ，DＥ＝DG，∠ＡDC=∠ＧDE=90°ﻫ又∠ＣDG＝90°＋∠ADG=∠AＤEﻫ∴△ＡDE≌△CDG

∴ＡE＝CＧ

(2）猜想：AＥ⊥CG。

证明:如图,设AE与CＧ交点为M,AD与CG交点为N

∵△ADE≌△CDGﻫ∴∠DAE＝∠DＣGﻫ又∵∠ＡNM=∠CNＤ

∴△ＡMＮ∽△CDNﻫ∴∠AＭＮ=∠ＡDC=90°

∴ＡE⊥ＣＧ7．已知：如图,在△ＡＢＣ中，AＢ=AＣ，AD⊥ＢC，垂足为点Ｄ，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN,垂足为点E,ﻫ(1）求证：四边形AＤCＥ为矩形；

(２）当△ＡＢC满足什么条件时，四边形ADＣE是一个正方形?并给出证明。

证明：(1）在△AＢC中，ＡＢ=AC,ＡD⊥ＢＣ

∴∠BＡD=∠DAC

∵AＮ是△AＢＣ外角∠CAＭ的平分线

∴∠MAE=∠CAＥﻫ∴ﻫ又∵ＡD⊥ＢC,CE⊥ＡN

∴∠ADC＝∠CＥA=90°

∴四边形ADCＥ为矩形

(2)当时（答案不唯一),四边形ＡDCE是正方形。ﻫ证明:∵AB＝ＡC，AＤ⊥BC于Ｄ

∴ﻫ又ﻫ∴DC＝AD

由（１)四边形ADCＥ为矩形

∴矩形ADCＥ是正方形

ﻫ例8图8.将平行四边形纸片ABＣD按如图方式折叠，使点Ｃ与A重合，点D落到处,折痕为ＥＦ。

(1）求证：△ＡBＥ≌△AＤ′F;ﻫ（２)连接CＦ，判断四边形AECＦ是什么特殊四边形?证明你的结论。ﻫﻫ证明:（1）由折叠可知:，,ﻫ∵四边形ABＣD是平行四边形ﻫ∴∠Ｂ=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD

∴∠B=∠D′，AB=AD′ﻫ∠D′AE=∠BAD,即∠１+∠2＝∠２＋∠3

∴∠１＝∠3

∴△ABE≌△ＡD′Ｆﻫ(2)四边形AEＣF是菱形。

由折叠可知：AE=EC,∠4=∠5

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥ＢC

∴∠５＝∠6ﻫ∴∠4=∠6ﻫ∴AＦ=AEﻫ∵ＡE=EＣ

∴AF=EC

又∵AF∥EC

∴四边形AEＣF是平行四边形

∵AF=AE∴四边形ＡEＣF是菱形。ﻫ9．如下图，已知P正方形ＡBCＤ的对角线ＡC上一点(不与A、Ｃ重合),ＰE⊥BＣ于点Ｅ,PF⊥CD于点F.

ﻫ（１)求证:BP=ＤP;

（2)若四边形ＰECＦ绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP＝DP?若是，请给予证明；若不

是,请用反例加以说明；ﻫ(3)试选取正方形ＡBCＤ的两个顶点,分别与四边形ＰＥCF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边

形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．ﻫ思绪分析：（1)解法一：在△AＢP与△ADＰ中,运用全等可得BP=DＰ.ﻫ解法二:运用正方形的轴对称性，可得BP=DP.ﻫ(2）不是总成立．当四边形PECF绕点Ｃ按逆时针方向旋转,点Ｐ旋转到BC边上时，

DP>ＤC>BP，此时BP=DP不成立．

说明:未用举反例的方法说理的不得分.ﻫ(3）连接BE、DＦ，则BE与DF始终相等．ﻫ在图中，可证四边形ＰＥＣF为正方形,ﻫ在△ＢEC与△DFC中,可证△BEC≌△DＦC．ﻫ从而有BE=ＤF

10．为创建绿色校园,学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案规定只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表达.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.

提醒：在两个图案中,只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种,例如:图①、图②只能算一种.

ﻫ解:以下为不同情形下的部分对的画法,答案不唯一.

ﻫ１1.如图，等腰梯形ＡＢＣD中,AB=1５,ＡD=２0,∠C＝３０°。点M、Ｎ同时以相同速度分别从点A、点D开始在ＡB、AD（涉及端点）上运动。ﻫ（1）设ND的长为x，用x表达出点N到AB的距离,并写出x的取值范围。

(２）设，用t表达△AMN的面积。ﻫ(3)求△ＡMN的面积的最大值,并判断取最大值时△ＡMＮ的形状。

ﻫ解:（１)过点N作BＡ的垂线NP，交BＡ的延长线于点P。

由已知：，。

∵四边形ＡBCD是等腰梯形,AB∥CD，∠D=∠C=30°,ﻫ∴∠PＡN=∠D＝3０°。ﻫ在Rt△APN中，,ﻫ即点N到AB的距离为。ﻫ∵点N在AD上，，点Ｍ在ＡＢ上，，ﻫ∴x的取值范围是。ﻫ（2）根据(1)，。

(３)∵,∴当t＝０时,即ｘ=10时,有最大值2５。ﻫ当ｘ=1０时,即ND＝AＭ=１0，AＮ=ＡD-ＮD=10，即AM＝AＮ。ﻫ此时,△AMN为等腰三角形。

ﻫ12．（０８通州22改编）如图，在ＡBＣD中，AB＝８ｃm,AD=6cm,∠ＤAＢ＝6０°,点Ｍ是边AD上一点，且DM＝2cm,点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于Ｇ，GF交AＤ于O,设AE＝CＦ=x，ﻫ(１）试用含x的代数式表达△CＧＦ的面积；ﻫ(2)当ＧF⊥AD时，求AＥ的值。

解：(1)∵在平行四边形ＡＢＣＤ中CD=AB=8，BＣ＝AD=6ﻫ∵ＤM=2,