2023年勾股定理知识点总结

第18章勾股定理复习一．知识归纳1.勾股定理内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表达方法:假如直角三角形的两直角边分别为,，斜边为，那么勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千数年前,周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思绪是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表达方法，列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：方法一:,，化简可证．方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三:，,化简得证3.勾股定理的合用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只合用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特性,因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，,②知道直角三角形一边,可得此外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题5、运用勾股定理作长为的线段

作长为、、的线段。ﻫ思绪点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。ﻫ作法：如图所示

ﻫ(１)作直角边为1（单位长)的等腰直角△ＡCB，使AB为斜边；

(2)以AB为一条直角边，作另一直角边为１的直角。斜边为;ﻫ（3）顺次这样做下去,最后做到直角三角形，这样斜边、、、的长度就是

、、、。ﻫ举一反三【变式】在数轴上表达的点。

解析：可以把看作是直角三角形的斜边,，ﻫ为了有助于画图让其他两边的长为整数，ﻫ而１0又是9和1这两个完全平方数的和，得此外两边分别是３和1。ﻫ

作法：如图所示在数轴上找到A点,使OA=3，作AC⊥OA且截取AＣ=1，以OC为半径，ﻫ以Ｏ为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。注:逆命题与勾股定理逆定理可以判断真假的陈述句叫做命题，写出下列原命题的逆命题并判断是否对的

1.原命题：猫有四只脚.（对的)ﻫ２．原命题:对顶角相等(对的）

３．原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．（对的)ﻫ４．原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（对的）ﻫ思绪点拨：掌握原命题与逆命题的关系。ﻫ解析:1.逆命题:有四只脚的是猫(不对的）

２．逆命题：相等的角是对顶角(不对的）ﻫ3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.(对的）

4.逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上．(对的）

总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。ﻫ6.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理的证明方法要掌握,书74页假如三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边要点诠释:勾股定理的逆定理是鉴定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来拟定三角形的也许形状,在运用这一定理时应注意：（1）一方面拟定最大边,不妨设最长边长为：ｃ;(2)验证ｃ２与a2+b2是否具有相等关系,若c２＝a２+b2,则△AＢC是以∠Ｃ为直角的直角三角形（若ｃ2>a2+b２，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2＋ｂ2，则△ＡＢＣ为锐角三角形）。(定理中,，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的,如若三角形三边长,，满足,那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是鉴定定理;联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4:互逆命题的概念假如一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。规律方法指导ﻫ１.勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系互相转化证明的。2.勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系,可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。３.勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的重要错误。4.勾股定理的逆定理：假如三角形的三条边长a,b，ｃ有下列关系：a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形;该逆定理给出鉴定一个三角形是否是直角三角形的鉴定方法．5.应用勾股定理的逆定理鉴定一个三角形是不是直角三角形的过程重要是进行代数运算,通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。假如把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。(例：勾股定理与勾股定理逆定理)①勾股定理的逆定理是鉴定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来拟定三角形的也许形状,在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形;若,时,以,,为三边的三角形是钝角三角形;若,时,以，，为三边的三角形是锐角三角形;②定理中，,及只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长,,满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时,说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形7.勾股数①可以构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中,,，为正整数时,称,,为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；等③用含字母的代数式表达组勾股数:（为正整数）；(为正整数）(,为正整数)８．勾股定理的应用勾股定理可以帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题.在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线),构造直角三角形，以便对的使用勾股定理进行求解.9勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.1０．勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体.通常既要通过逆定理鉴定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度，两者相辅相成，完毕对问题的解决.常见图形:题型一:直接考察勾股定理例１.在中，．⑴已知,.求的长⑵已知,,求的长分析：直接应用勾股定理解:⑴⑵题型二:应用勾股定理建立方程例2.⑴在中，，,,于,=⑵已知直角三角形的两直角边长之比为,斜边长为,则这个三角形的面积为⑶已知直角三角形的周长为，斜边长为,则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积.有时可根据勾股定理列方程求解解:⑴,⑵设两直角边的长分别为,,,⑶设两直角边分别为,，则，,可得例3.如图中，,，，，求的长分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解:作于,，在中在中,，例４.如图,,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积答案：6题型三:实际问题中应用勾股定理例5．如图有两棵树,一棵高，另一棵高,两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了分析：根据题意建立数学模型，如图，,，过点作，垂足为,则,在中，由勾股定理得答案:题型四:应用勾股定理逆定理,鉴定一个三角形是否是直角三角形例６.已知三角形的三边长为,，，鉴定是否为①,，②，,解：①，是直角三角形且②，,不是直角三角形例7．三边长为，，满足，,的三角形是什么形状？解：此三角形是直角三角形理由:,且所以此三角形是直角三角题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用例８.已知中，,,边上的中线,求证：经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法ﻫ1、在Ｒt△AＢC中，∠C=90°

（１)已知a=6，c＝１0，求b,(２）已知a=４０,b=９，求ｃ;(3)已知c=25,ｂ＝15,求ａ.ﻫ思绪点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。ﻫ举一反三【变式】:如图∠B=∠AＣD=90°，AD=1３,ＣD=12,BC＝3，则AB的长是多少?ﻫﻫ类型二：勾股定理的构造应用ﻫ2、如图,已知:在中,,，.求:BC的长.

举一反三【变式1】如图,已知:,,于Ｐ.求证:．

ﻫ【变式2】已知：如图,∠B=∠Ｄ=9０°,∠A=6０°，AB=4，CD＝2。求:四边形ABCD的面积。

分析:如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长AＢ、DC交于Ｆ，或延长AＤ、BC交于点E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简朴。ﻫ

类型三:勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题ﻫ3、如图所示,在一次夏令营活动中，小明从营地Ａ点出发,沿北偏东6０°方向走了到达B点，然后再沿北偏西3０°方向走了5０0m到达目的地Ｃ点。ﻫ（1)求A、C两点之间的距离。ﻫ（2)拟定目的地C在营地Ａ的什么方向。ﻫ举一反三ﻫ【变式】一辆装满货品的卡车，其外形高2.5米，宽１．６米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？

(二)用勾股定理求最短问题

举一反三

【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cｍ，高ＡＢ为４cm，ＢC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程.ﻫ解：类型四:运用勾股定理作长为的线段

5、作长为、、的线段。举一反三【变式】在数轴上表达的点。ﻫ7、假如ΔＡBC的三边分别为a、ｂ、c,且满足a2＋ｂ2+ｃ２+50=６a＋8b+10ｃ,判断ΔABC的形状。

【变式2】已知：△AＢC的三边分别为m2－n2,２mn,ｍ２+n2(m，ｎ为正整数,且m＞n),判断△AＢC是否为直角三角形.ﻫ分析:本题是运用勾股定理的的逆定理，只要证明:a２+b２=c２即可

【变式3】如图正方形ＡBＣD,E为BＣ中点，F为AB上一点,且BF=AB。

请问ＦE与ＤE是否垂直?请说明。ﻫ类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法若直角三角形两直角边的比是3:4，斜边长是２０,求此直角三角形的面积。96举一反三【变式１】等边三角形的边长为２，求它的面积。

【变式2】直角三角形周长为12cｍ，斜边长为5ｃm，求直角三角形的面积。6(ｃｍ2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,ｎ+2,n+３，求ｎ。n＝２ﻫ【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是(）

A、8,１５,17B、4，５，６C、5，８，１0D、8,39,４0【变式5】四边形AＢＣＤ中，∠B＝90°,AB＝３,BC=4，CＤ＝12，ＡＤ＝1３，求四边形AＢCD的面积。2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN=30°,点A处有一所中学,ＡP＝1６0m。假设拖拉机行驶时,周边100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MＮ上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由，假如受影响，已知拖拉机的速度为18ｋm/ｈ,那么学校受影响的时间为多少秒？ﻫ

答：拖拉机在公路MN上沿ＰＮ方向行驶时，学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为２4秒。总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便运用勾股定理。ﻫ举一反三【变式１】如图学校有一块长方形花园,有很少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_____＿＿__＿步路（假设２步为1m),却踩伤了花草。

【答案】4

类型三：数学思想方法(一）转化的思想方法

我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时，经常作垂线,构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.

3、如图所示，△AＢＣ是等腰直角三角形,AB=AC,Ｄ是斜边BＣ的中点，Ｅ、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，ＣF＝5.求线段ＥＦ的长。ﻫ解：连接AD．

所以EF=1３。ﻫ总结升华：此题考察了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。

(二)方程的思想方法

４、如图所示，已知△ABC中，∠Ｃ=9０°,∠A=60°,,求、、的值。ﻫﻫ，，。ﻫ总结升华:在直角三角形中，3０°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。

举一反三：【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD，使点D落在BＣ边的点F处，已知AＢ=8cm,BC=10cm，求EF的长即EF的长为5cm。9.观测下列几组数据:（１）8，15,1７;(2）7,１２，１5;（3)１２,15，２０；（4)7，24,25．其中能作为直角三角形的三边长的有（）组