广东省茂名市高州第五中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析

广东省茂名市高州第五中学2021-2022学年高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知满足条件，则的最大值（

）A、2

B、4

C、8

D、10参考答案：C2.函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为A．8

B．9

C．16

D．17参考答案：D略3.已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为()A．(2－，2＋)

B．[2－，2＋]

C．[1，3]

D．(1，3)参考答案：A略4.已知函数的最小正周期为4π，其图象关于直线对称.给出下面四个结论：①函数f(x)在区间上先增后减；②将函数f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称；③点是函数f(x)图象的一个对称中心；④函数f(x)在[π,2π]上的最大值为1.其中正确的是（

）A．①②

B．③④

C．①③

D．②④参考答案：C5.设a∈R，则“a＝1”是“函数在定义域上是奇函数”的（

）A.

充分不必要条件

B.

必要不充分条件

C.充分必要条件

D.

既不充分也不必要条件参考答案：A6.点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率e范围是（）A．（1，8] B． C． D．（2，3]参考答案：B【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】直接利用双曲线的定义，结合三角形的中位线定理，推出a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，因为点P是双曲线（a＞0，b＞0）左支上的一点，其右焦点为F（c，0），若M为线段FP的中点，且M到坐标原点的距离为，由三角形中位线定理可知：OM=PF1，PF1=PF﹣2a，PF≥a+c．所以，1．故选B．【点评】本题是中档题，考查双曲线的基本性质，找出三角形的中位线与双曲线的定义的关系，得到PF≥a+c．是解题的关键．7.设函数对任意的，都有，若函数，则的值是

A.1

B．-5或3

C.

-2

D．参考答案：C8.有三支股票A，B，C，28位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有A股票的人中，持有B股票的人数是持有C股票的人数的2倍．在持有A股票的人中，只持有A股票的人数比除了持有A股票外，同时还持有其它股票的人数多1．在只持有一支股票的人中，有一半持有A股票．则只持有B股票的股民人数是（）A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由题意作出文氏图，能求出只持有B股票的股民人数..【解答】解：由题意作出文氏图，如下：其中m+n+p=7．∴只持有B股票的股民人数是7人．故选：A．9.点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB=1，AC=2，AD=3，则该球的表面积为(

)A．7π B．14π C． D．参考答案：B【考点】球内接多面体．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，然后解答即可．【解答】解：三棱锥A﹣BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它扩展为长方体，它也外接于球，对角线的长为球的直径，d==，它的外接球半径是，外接球的表面积是4π（）2=14π故选：B．【点评】本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，是基础题．10.若是方程式的解，则属于区间

（

）

A．（0，1）

B．（1，1．25）

C．（1．25，1．75）

D．（1．75，2）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.祖暅（公元前5～6世纪）是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异．”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等．设由椭圆（a＞b＞0）所围成的平面图形绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（如图）（称为椭球体），课本中介绍了应用祖暅原理求球体体积公式的做法，请类比此法，求出椭球体体积，其体积等于

．参考答案：

【考点】类比推理．【分析】椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积．【解答】解：椭圆的长半轴为a，短半轴为b，现构造两个底面半径为b，高为a的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=．故答案为：．12.如图，AB是半圆O的直径，点P是半圆上不与点A，B重合的动点，PC∥AB，点M是OP中点．(1)求证：四边形AOCP是平行四边形；(2)填空：①当∠ABP＝

时，四边形AOCP是菱形；②连接BP，当∠ABP＝

时，PC是⊙O的切线．参考答案：(1)证明见解析；(2)①30°；②45°.【分析】（1）证明△CPM≌△AOM，得出PC=OA，结合PC∥AB，即可得出结论；（2）根据圆周角定理得到∠AOP=60°，推出△AOP是等边三角形，得到AP=AO，于是得到四边形AOCP是菱形；由圆周角定理得到∠AOP=90°，根据平行线的性质得到∠OPC=∠AOP=90°，于是得到结论．【详解】（1）∵点M是OP中点，∴PM=OM，∵AO=BO，∵PC∥AB，∴∠CPM=∠AOB，∠PCM=∠OAM∴△CPM≌△AOM，∴AO=CP又PC∥AB，∴四边形AOCP是平行四边形；（2）当∠ABP=30度时，四边形AOCP是菱形；理由：∵∠ABP=30°，∴∠AOP=60°，∵AO=PO，∴△AOP是等边三角形，∴AP=AO，∴四边形AOCP是菱形；当∠ABP=45度时，PC是⊙O的切线；理由：∵∠ABP=45°，∴∠AOP=90°，∵AO∥PC，∴∠OPC=∠AOP=90°，∴PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，切线的判定，菱形的判定，正确的识别图形是解题的关键．13.若平面向量与的夹角为180°，且，则的坐标为

．参考答案：（3，﹣6）【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】题目要求向量的坐标，已知条件是知道模和与另一个向量的夹角，因此，设出坐标用夹角公式和模的公式列出关于横纵坐标的方程组，解方程组即可．本题所给的角是特殊角，解法更简单．【解答】解：∵与夹角是180°∴设=λ（﹣1，2），∵||=，||=，∴λ=±3，∵两向量方向相反，∴λ=﹣3∴故答案为：（3，﹣6）【点评】数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，本题应用数量积的变形公式求夹角，实际上模长、夹角、数量积可以做到知二求一．14.在长方形中，，为的中点，若，则的长为

参考答案：215.已知实数x，y满足，则函数的最大值为▲．参考答案：略16.已知非零向量满足，则与的夹角为__________;参考答案：;17.已知数列{an}是无穷等比数列，它的前n项的和为Sn，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数，公比是复数的模，其中i是虚数单位，则=

．参考答案：70【考点】8J：数列的极限．【分析】由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，即可求出极限．【解答】解：由题意，该数列的首项是二项式展开式中的x的系数=35，公比是复数的模，∴==70，故答案为70．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分）选修4一1:几何证明选讲如图，AB是的弦，C、F是上的点，OC垂直于弦AB，过点F作的切线，交AB的延长线于D，连结CF交AB于点E.

(1)求证：；(2)若BE=1，DE=2AE,求DF的长.参考答案：19.对某地区儿童的身高与体重的一组数据，我们用两种模型①y=bx+a，②y=cedx拟合，得到回归方程分别为，，作残差分析，如表：身高x（cm）60708090100110体重y（kg）68101415180.410.01

1.21﹣0.190.41﹣0.360.070.121.69﹣0.34﹣1.12（Ⅰ）求表中空格内的值；（Ⅱ）根据残差比较模型①，②的拟合效果，决定选择哪个模型；（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被认为是异常数据，应剔除，剔除后对（Ⅱ）所选择的模型重新建立回归方程．（结果保留到小数点后两位）附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn），其回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，．参考答案：【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39，即可求表中空格内的值；（Ⅱ）求出残差的绝对值和，即可得出结论；（Ⅲ）确定残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据，即可求出回归方程．【解答】解：（Ⅰ）根据残差分析，把x=80代入得.10﹣10.39=﹣0.39．所以表中空格内的值为﹣0.39．（Ⅱ）模型①残差的绝对值和为0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62，模型②残差的绝对值和为0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62＜3.7，所以模型①的拟合效果比较好，选择模型①．（Ⅲ）残差大于1kg的样本点被剔除后，剩余的数据如表由公式：，．得回归方程为y=0.24x﹣8.76．20.已知函数。（1）当时，求的单调区间；（2）证明：对任意在区间(0,1)内均存在零点。参考答案：解：（1），令，得或。

1o当＞0时，＞0的解集为

∴的单调增区间为的单调减区间为。

2o当＜0时，＜0的解集为

∴的单调增区间为的单调减区间为。（2）由（1）可知，当＞0时，在内递减，内单调递增。∴1o当即时，在(0,1)递减，在(1,+)递增。

＞0，＜0∴在(0,1)内有零点。2o当0＜＜1,即0＜＜2时,在内递减,在内单调递增。若＜0＞0∴在内存在零点。若＜0，＞0∴在内存在零点。∴对任意，在区间(0,1)内均存在零点。21.（本题10分）已知集合。（1）求集合；（2）若不等式的解集为，求的值。参考答案：【知识点】交集及其运算；一元二次方程的根的分布与系数的关系．A1B5【答案解析】（1）；（2）.解析：（1）A={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，B=={x|＜0}={x|﹣3＜x＜1}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜1}；（2）由题意及（1）有﹣3，1是方程2x2+ax+b=0的两根∴∴．【思路点拨】（1）分别求出集合A和集合B中的不等式的解集，然后求出两集合