2018届高三数学第29练正弦定理、余弦定理练习

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGEPAGE9学必求其心得，业必贵于专精第29练正弦定理、余弦定理训练目标（1）正弦定理、余弦定理;(2)解三角形．训练题型（1）正弦定理、余弦定理及其应用；(2）三角形面积;（3）三角形形状判断;(4）解三角形的综合应用．解题策略（1）解三角形时可利用正弦、余弦定理列方程（组）；（2)对已知两边和其中一边的对角解三角形时要根据图形和“大边对大角”判断解的情况;(3)判断三角形形状可通过三角变换或因式分解寻求边角关系.一、选择题1．(2016·隆化期中)在△ABC中,如果sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，那么cosC等于（)A。eq\f(2，3) B．－eq\f（2，3）C．－eq\f(1,3） D．－eq\f(1,4）2．北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式，在坡度15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10eq\r(6)米（如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上，已知国歌长度为50秒,升旗手匀速升旗的速度为（)A.eq\f（3,5)(米/秒） B.eq\f（\r(3)，5)（米/秒)C。eq\f(\r(6)，5)(米/秒) D.eq\f（1，5)（米/秒）3．（2016·安庆检测）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c。若a2－c2＝eq\r(3）bc，sinB＝2eq\r(3)sinC，则A等于（)A.eq\f(5，6）π B.eq\f（2,3）πC。eq\f（π,3) D。eq\f(π，6)4．(2017·武汉调研)在△ABC中，角A，B,C的对边分别为a，b,c,且b2＝a2＋bc，A＝eq\f(π,6）,则角C等于（）A。eq\f（π,6） B.eq\f(π,4)C.eq\f（3π,4) D。eq\f(π,4）或eq\f（3π，4）5．(2016·衡水中学第二学期调研）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b,c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为(A．（eq\r(2），eq\r(3)） B．(1，eq\r(3)）C．(eq\r(2)，2) D．（0,2)6．（2016·东营期中)在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝eq\f(1,4）（b2＋c2－a2)，则B等于(）A．90° B．60°C．45° D．30°7．（2016·山西大学附中期中）已知三个向量m＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(a，cos\f（A，2)))，n＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（b,cos\f（B,2)））,p＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（c，cos\f（C,2）)）共线，其中a、b、c、A、B、C分别是△ABC的三条边及相对三个角,则△ABC的形状是（)A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形8．已知点O是△ABC的外接圆圆心，且AB＝3,AC＝4。若存在非零实数x，y，使得eq\o（AO，\s\up6(→））＝xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6（→）)，且x＋2y＝1,则cos∠BAC的值为（)A。eq\f(2,3） B.eq\f(\r（3)，3)C.eq\f(\r（2）,3） D.eq\f（1,3)二、填空题9．△ABC中,A、B、C是其内角，若sin2A＋sin(A－C）－sinB＝0，则△ABC的形状是__________________10．（2016·惠州二调)在△ABC中,设角A,B，C的对边分别是a，b，c,且∠C＝60°，c＝eq\r(3),则eq\f（a＋2\r（3）cosA，sinB)＝________。11．（2016·佛山期中）如图,一艘船以每小时15km的速度向东航行,船在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________km。12．(2016·吉安期中）在△ABC中，D为BC边上一点，若△ABD是等边三角形，且AC＝4eq\r(3），则△ADC的面积的最大值为________。

答案精析1．D[由正弦定理可得sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝2∶3∶4，可设a＝2k，b＝3k，c＝4k（k>0)，由余弦定理可得cosC＝eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＝eq\f(4k2＋9k2－16k2，2·2k·3k)＝－eq\f（1，4)。］2．A[由条件得△ABD中，∠DAB＝45°，∠ABD＝105°，∠ADB＝30°，AB＝10eq\r(6)，由正弦定理得BD＝eq\f(sin∠DAB,sin∠ADB)·AB＝20eq\r(3)，则在Rt△BCD中，CD＝20eq\r(3）×sin60°＝30，所以速度v＝eq\f（30,50）＝eq\f（3，5）（米/秒）,故选A。]3．D[已知sinB＝2eq\r(3)sinC，利用正弦定理化简得b＝2eq\r(3)c，代入a2－c2＝eq\r(3)bc,得a2－c2＝6c2，即a＝eq\r（7）c，∴cosA＝eq\f（b2＋c2－a2,2bc）＝eq\f(12c2＋c2－7c2,4\r（3)c2)＝eq\f（\r(3),2)。∵A为三角形内角，∴A＝eq\f（π，6),故选D。］4．B[在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc），即eq\f(\r(3),2)＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc),所以b2＋c2－a2＝eq\r（3）bc，又b2＝a2＋bc,所以c2＋bc＝eq\r(3)bc，所以c＝（eq\r（3)－1）b〈b，a＝eq\r(2－\r(3)）b,所以cosC＝eq\f(b2＋a2－c2，2ab)＝eq\f(\r(2），2),所以C＝eq\f(π,4).］5．A［∵B＝2A，∴sinB＝sin2∴sinB＝2sinAcosA，∴b＝2acosA，又∵a＝1，∴b＝2cosA。∵△ABC为锐角三角形，∴0<A<eq\f（π,2)，0<B〈eq\f（π，2），0〈C<eq\f(π，2),即0<A〈eq\f（π，2)，0〈2A〈eq\f（π,2)，0<π－A－2A〈eq\f（π，2),∴eq\f（π，6）<A<eq\f(π,4)，∴eq\f(\r（2），2）〈cosA<eq\f（\r（3）,2),∴eq\r(2)〈2cosA<eq\r(3）,∴b∈（eq\r(2)，eq\r（3））．］6．C[由正弦定理可知acosB＋bcosA＝2RsinAcosB＋2RsinBcosA＝2Rsin（A＋B)＝2RsinC＝2RsinC·sinC，∴sinC＝1，C＝90°。∴S＝eq\f（1,2)ab＝eq\f(1，4）（b2＋c2－a2），解得a＝b，因此B＝45°.故选C。］7．B[∵m＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（a,cos\f（A,2)))与n＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(b，cos\f（B，2）））共线，∴acoseq\f（B,2)＝bcoseq\f(A,2)，由正弦定理，得sinAcoseq\f(B,2)＝sinBcoseq\f(A，2),∵sinA＝2sineq\f(A，2)coseq\f（A,2），sinB＝2sineq\f（B,2)coseq\f（B，2)，∴2sineq\f（A,2）coseq\f（A，2)coseq\f(B,2)＝2sineq\f（B,2)coseq\f(B，2)coseq\f(A，2),化简，得sineq\f(A,2）＝sineq\f（B，2）.又0<eq\f（A，2）〈eq\f(π，2)，0〈eq\f(B，2)〈eq\f（π，2)，∴eq\f（A，2）＝eq\f（B，2）,可得A＝B.同理,由n＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(b，cos\f（B,2)))与p＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(c,cos\f（C，2)))共线得到B＝C，∴A＝B＝C，可得△ABC是等边三角形．]8．A[设线段AC的中点为点D，则直线OD⊥AC。因为eq\o(AO,\s\up6（→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→)）＋yeq\o(AC,\s\up6（→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝xeq\o（AB,\s\up6(→)）＋2yeq\o（AD,\s\up6（→）).又x＋2y＝1，所以点O、B、D三点共线，即点B在线段AC的中垂线上，则AB＝BC＝3。在△ABC中，由余弦定理,得cos∠BAC＝eq\f（32＋42－32,2×3×4）＝eq\f(2,3）.故选A。］9．等腰或直角三角形解析因为sin2A＋sin(A－C)－sin＝sin2A＋sin(A－C）－sin(A＋C＝2sinAcosA－2sinCcosA＝2cosA（sinA－sinC）＝0,所以cosA＝0或sinA＝sinC，所以A＝eq\f（π，2）或A＝C。故△ABC为等腰或直角三角形．10．4解析由正弦定理知eq\f（a，sinA)＝eq\f（c,sinC)＝2，所以a＝2sinA，代入得原式＝eq\f（2sinA＋2\r(3）cosA，sinB）＝4·eq\f(sin(A＋60°），sinB)＝4.11．30eq\r（2）解析依题意有AB＝15×4＝60，∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，由正弦定理得eq\f(60,sin45°)＝eq\f(BM,sin30°)，解得BM＝30eq\r（2)。12．4eq\r（3）解析在△ACD中,cos∠ADC＝eq\f（AD2＋DC2－AC2，2AD·DC)＝eq\f(AD2