《高考试卷模拟练习》浙江省2012届数学高考领先卷-名校精粹重组试卷(理数)新

本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．参考公式：如果事件，互斥，那么棱柱的体积公式如果事件，相互独立，那么其中表示棱柱的底面积，表示棱柱的高棱锥的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件恰好发生次的概率其中表示棱锥的底面积，表示棱锥的高棱台的体积公式球的表面积公式球的体积公式其中分别表示棱台的上底、下底面积，其中表示球的半径表示棱台的高选择题部分（共50分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，中任意两个不同元素的和的集合为，2，，则集合A中的任意两个不同元素的差的绝对值所组成的集合为A．，2， B．， C．，D．，1，【解析】不妨设a<b<c，则：，解之的，故，k=2k=k+1k=2k=k+1开始结束输出k是否【答案】B2．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是A．3 B．4 C．5 D．6【解析】第一次下来，k=3，a=43=64，b=34=81；第二次下来，k=4，a=44=256，b=44=256；第三次下来，k=5，a=45=1024，b=54=625．满足，故跳出程序．【答案】C3．若一个螺栓的底面是正六边形，它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积是正视图俯视图21.621.5A．正视图俯视图21.621.5C．D．【解析】；；．【答案】C4．关于直线、与平面、，有下列四个命题：①若∥，∥且∥，则∥；②若，且，则；③若，∥且∥，则；④若∥，且，则∥．其中真命题的序号是A．①②B．③④C．①④D．②③【解析】借用正方体即可判断出正确与否．【答案】D5．已知抛物线的焦点为，关于原点的对称点为P．过作轴的垂线交抛物线于、两点．有下列四个命题：①必为直角三角形；②不一定为直角三角形；③直线必与抛物线相切；④直线不一定与抛物线相切．其中正确的命题是A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【解析】当时，|y|=p；∴MF=NF=PF=p，故∠MPF=∠NPF=45°，即∠MPN=90°；当M在第一象限时可得直线PM的斜率为，可得直线PM方程为；即，带入得故直线PM与抛物线只有一个交点，∴直线必与抛物线相切．【答案】A6．设实数、满足：，则的最小值是A． B． C．1 D．8【解析】作出可行域．∵，设，易得当过的交点P（—2，—1）时有最小值—4，故．【答案】B7．现定义，其中i为虚数单位，e为自然对数的底，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于 A． B． C． D．【解析】（其实为欧拉公示）【答案】A8．下列四个函数图象，只有一个是符合（其中为正实数，为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，之间一定成立的关系是xxyOxyOxyOxyO①②③④A．B．C．D．【答案】A9．若函数，则函数在，上的不同零点个数为A．2 B．3 C．4 D．5【解析】注意分段．，，当时，，则上恒成立．故在上为单调递增函数，又，，故在上有1个根．同理可分析得在，上各有1个根，在上无根．综上可知在，上，方程共有3个根．【答案】B10．定义在（—1，1）上的函数f(x)满足：；当时，有；若，，R＝f(0)．则P，Q，R的大小关系为A． B． C． D．不能确定【解析】∵函数f(x)满足：；当时，有； 令得f(0)=0；令x=0得．∴在（—1，1）为奇函数，单调减函数且在（—1，0）时，，在（0，1）时； ∴R＝f(0)=0，．∵,∴Q—． P=．【答案】C非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上．2．在答题纸上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11．若展开式中二项式系数之和是1024，常数项为，则实数的值是．【解析】．【答案】·ⅢⅡⅠ12．如图所示，“·ⅢⅡⅠ球附近一点变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行．若用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①；②；③；④．其中正确的式子序号是______________．【解析】②中：，③中：．【答案】②③13．在中，已知内角，边，则的面积的最大值为．【解析】由，得，根据正弦定理，得，，∴，其中，故得的最大值为．【答案】解题探究：本题主要考查解三角形、三角恒等变形和三角函数最值的求法等基础知识和基本方法．根据题设条件，由正弦定理，将三角形的面积表示成角的三角函数，通过三角恒等变形将其化为形式，再由角的范围即可求得的最大值．14．已知映射：P（m，n），，．设点，A（1，3），B（3，1）点M是线段AB上一动点，：．当点M在线段AB上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点所经过的路线长度为．【解析】理解映射的内容即可解出本题．【答案】15．设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6+15=0，则d的取值范围是．【解析】因为，，则的取值范围（等于不等的转化）另解：（确定主元）得．【答案】16．设行列式，引进表示D中元素所在的行与列都抹掉后的剩余部分，同时记，则有行列式的求值公式，，当，即时，上述的求值公式又可改写为—，则行列式_________________．【解析】，可以令，故有，按照展开，降阶为形，在用公式—即可求出答案．【答案】解题探究：本题主要考查考生的阅读能力和计算能力．本题背景为大学数学《线性代数》，考生应当有对新定义、陌生的知识等有较强的适应能力．17．已知函数，下面有关于该函数的四个命题：①函数是周期函数；②函数既有最大值又有最小值；③函数的定义域是R，且其图象有对称轴；④对于任意，（其中是函数的导函数）．其中正确的是_________．【解析】①三角函数与一次、二次等函数作积或商操作后一般都不具周期性，如等；②这个函数的图像类似与物理当中作阻尼运动的振子，当时，，故必定有最值；③将代替代入得，故有对称轴；④求导，在上取几个特殊的值代入看看是否满足即可．【答案】②③三、解答题：本大题共7小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）在中，角A、B、C的对边分别为，且满足（1）求角B的大小；（2）若，求面积的最大值．【解析】解：（1）条件可化为：． 根据正弦定理有． ∴，即． 因为，所以，即．…7分（2）因为． 所以，即， 根据余弦定理， 可得． 有基本不等式可知． 即， 故△ABC的面积． 即当a=c=时， △ABC的面积的最大值为．…14分19．（本小题满分14分）设数列满足．（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．【解析】解：（1）由 令，当时， ①当时， ②当时，，．…7分（2）当时，要证，只需证．只需证． 因为 ． 当综上所述………14分20．（本小题满分15分）如图，已知△AOB，∠AOB＝，∠BAO＝，AB＝4，D为线段AB的中点．若△AOC是△AOB绕直线AO旋转而成的．记二面角B－AO－C的大小为．（1）当平面COD⊥平面AOB时，求的值；AOBCD（2）当∈[，]时，求二面角C－OD－B的余弦值的取值范围．AOBCD【解析】yAOyAOBCD(第20题)xz（1）解：如图，以O为原点，在平面OBC内垂直于OB的直线为x轴，OB，OA所在的直线分别为y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，则A(0，0，2)，B(0，2，0)，D(0，1，)，C(2sin，2cos，0)．设＝(x，y，z)为平面COD的一个法向量，由得取z＝sin，则＝(cos，－sin，sin)．因为平面AOB的一个法向量为＝(1，0，0)，由平面COD⊥平面AOB得＝0，所以cos＝0，即＝．………7分（2）设二面角C－OD－B的大小为，由（1）得当＝时，cos＝0；当∈(,]时，tan≤－，cos=＝＝－，故－≤cos＜0．综上,二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．…………15分解法二：（1）解：在平面AOB内过B作OD的垂线，垂足为E，FCAOBD(第20题)FCAOBD(第20题)GE平面AOB∩平面COD＝OD，所以BE⊥平面COD，故BE⊥CO．又因为OC⊥AO，所以OC⊥平面AOB，故OC⊥OB．又因为OB⊥OA，OC⊥OA，所以二面角B－AO－C的平面角为∠COB，即＝．………7分（2）解：当＝时，二面角C－OD－B的余弦值为0；当∈(,]时，过C作OB的垂线，垂足为F，过F作OD的垂线，垂足为G，连结CG，则∠CGF的补角为二面角C－OD－B的平面角．在Rt△OCF中，CF＝2sin，OF＝－2cos，在Rt△CGF中，GF＝OFsin＝－cos，CG＝，所以cos∠CGF＝＝－．因为∈(,]，tan≤－，故0＜cos∠CGF＝≤．所以二面角C－OD－B的余弦值的取值范围为[－，0]．……………15分21．（本小题满分15分）如图，过点作抛物线的切线，切点A在第二象限．.（1）求切点A的纵坐标；（2）若离心率为的椭圆恰好经过切点A，设切线交椭圆的另一点为B，记切线、OA、OB的斜率分别为，求椭圆方程．【解析】（本小题满分15分）解：（1）设切点，且，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，，即点的纵坐标．…………5分（2）由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由，得．…………7分所以椭圆方程为，且过，．………9分由，，…11分∴．将，代入得：，所以，∴椭圆方程为．………………15分22．（本小题满分14分）设函数的图象与直线相切于．（1）求在区间上的最大值与最小值；（2）是否存在两个不等正数，当时，函数的值域也是，若存在，求出所有这样的正数；若不存在，请说明理由；（3）设存在两个不等正数，当时，函数的值域是，求正数的取值范围．【解析】解：（1）．依题意则有：，所以，解得，所以．，由可得或．在区间上的变化情况为：0134+0—0+0增函数4减函数0增函数4所以函数在区间上的最大值是4，最小值是0．……3分（2）由函数的定义域是正数知，，故极值点不在区间上；（A）若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点；（B）若在上单调增，即或，则，即，解得不合要求；（C）若在上单调减，即，则，两式相减并除得：，①两式相除并开方可得，即，整理并除以得：，②则①、②可得，即是方程的