命题、定理、定义【知识精讲+备课精研+高效课堂】 高一数学 课件（苏教版2019必修第一册）

2.1命题、定理、定义课标要求素养要求1.结合实例，判断所给语句是不是命题.2.找出命题的条件与结论，并判断命题的真假.结合实例，理解命题的条件与结论，判断命题的真假，培养数学抽象素养和逻辑推理素养.新知探究哥德巴赫猜想是世界近代三大数学难题之一.1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉；提出：每一个大于2的偶数即是两个素数的和.例如4＝2＋2，6＝3＋3，48＝29＋19，等.哥德巴赫猜想是一个迄今为止没有得到正面证明也没有被推翻的命题.问题“请将窗子打开”是命题吗？提示不是，因为不能判断真假.1.命题：将可判断______的陈述句叫作命题.数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式.其中p叫做命题的______，q叫做命题的______.2.定理，定义 (1)有些已经被证明是真的命题可作为推理的依据而直接使用，称之为定理. (2)定义是对某些对象标明符号，指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵.真假条件结论基础自测[判断题]1.“一个实数不是正数就是负数”是真命题.(

)

提示

还可能为0，是假命题.2.“两个奇数的和是偶数”这一命题的条件是两个数是奇数.(

)3.若a2＝b2，则a＝b.(

)

提示也可能a＝－b.×√×[基础训练]1.“矩形的对角线相等”这一命题的条件p为________，结论q为________.

答案四边形是矩形对角线相等2.将“垂直于同一个平面的两条直线平行”这一命题改写为“若p，则q”形式为________.

答案若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行[思考]如何判断命题的真假？提示在判断命题是真命题时，要进行证明；要说明命题是假命题，只需找出一个反例.题型一命题与真假命题的判断【例1】判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由.(1)奇数的平方仍是奇数；(2)两条对角线互相垂直的四边形是菱形；(3)所有的质数都是奇数；(4)5x>4x；(5)若x∈R，则x2＋4x＋7>0；(6)未来是多么美好啊！(7)你是高二的学生吗？(8)若x＋y是有理数，则x，y都是有理数.规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.【训练1】下列语句是否是命题？若是，判断其真假，并说明理由. (1)x≥16. (2)x＝2或x＝3是方程x2－5x＋6＝0的根. (3)空集是任何非空集合的真子集. (4)指数函数是增函数吗？解

(1)不是命题.因为没有给定变量x的值，无法确定其真假.(2)是真命题.代入验证即可.(3)是真命题.由空集的定义和性质不难得出.(4)不是命题.因为是疑问句无法判断真假.题型二命题的条件与结论【例2】将下列命题改写成“若p，则q”的形式.(1)在△ABC中，大角对大边.(2)矩形的对角线互相垂直.(3)相等的两个角的正弦值相等.(4)等底等高的两个三角形是全等三角形.解

(1)在△ABC中，若∠A>∠B，则BC>AC.(2)若一个四边形是矩形，则这个四边形的对角线互相垂直.(3)若∠A＝∠B，则sinA＝sinB.(4)若两个三角形等底等高，则这两个三角形全等.规律方法命题“若p，则q”形式是由条件p和结论q组成的，在写命题时为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论.【训练2】指出下列命题中的条件p和结论q. (1)若x＋y＝0，则x，y互为相反数. (2)如果x∈A，则x∈A∩B. (3)当x＝2时，x2＋x－6＝0.解

(1)p：x＋y＝0；q：x，y互为相反数.(2)p：x∈A，q：x∈A∩B.(3)p：x＝2，q：x2＋x－6＝0.题型三命题真假的判断【例3】判断下列命题的真假：(1)若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根.(2)若A⊆B，则A∩B＝A.(3)如果两个三角形相似，则两个三角形全等.(4)若x＋y>5，则x>2且y>3.解

(1)当k>0时，Δ＝4＋4k>0恒成立，则方程x2＋2x－k＝0一定有实数根，故是真命题.(2)当A⊆B时，任意x∈A，则x∈B，∴A∩B＝A成立，故是真命题.(3)两个三角形相似则三个内角对应相等，但边长是成比例，不相等，故两个三角形不全等，是假命题.(4)若x＋y>5，可以x＝1，y＝6，不满足x>2且y>3，是假命题.规律方法命题真假的判定方法(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际上就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程.判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法.(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法.【训练3】判断下列命题的真假.(1)若mn<0，则方程mx2－x＋n＝0有实根.(2)若x>y，则x2>y2.(3)若x>2，则x>1.解

(1)当mn<0时，Δ＝1－4mn>0恒成立，∴方程mx2－x＋n＝0有实根，是真命题.(2)当x＝1，y＝－2时满足x>y，但x2<y2，故是假命题.(3)对每一个大于2的数一定大于1，故是真命题.一、课堂小结1.通过学习命题，找出命题的条件和结论，判断真假，培养数学抽象素养和逻辑推理素养.2.命题是能够判断真假的语句，一个命题由条件和结论两部分组成，命题分为真命题和假命题.二、课堂检测1.下列语句中是命题的是(

) A.两个周期函数的和是周期函数吗？ B.sin0°＝0 C.x2－2x＋1>0 D.作△ABC∽△EFG解析一般地，疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.答案

B2.语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是(

) A.不是命题 B.真命题 C.假命题 D.不能判断真假解析由不等式的性质知a>b，则a＋c>b＋c成立，故为真命题.答案

B3.平面内四条边都相等的四边形是正方形，这一命题的条件是________.答案平面内一个四边形的四条边都相等4.若x∈M∪N，则x∈M是________命题(真或假).解析若x∈M∪N，则x∈M或x∈N.答案假5.