2017-2018学年八年级数学下册第18章平行四边形学科素养思想方法（含解析）

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精9-学必求其心得，业必贵于专精PAGE平行四边形学科素养·思想方法一、转化思想【思想解读】转化思想是解决数学问题的一种重要思想，通过转化可以将复杂的、生疏的问题转化为简单的、熟悉的问题,从而使问题得到解决。【应用链接】平行四边形、矩形、菱形、正方形都被其对角线分成几个三角形或特殊三角形.在解决有关计算题与证明题时，也常通过连接四边形的对角线构成三角形,将四边形问题转化到三角形中,利用三角形的知识进行解答。【典例1】如图所示,在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O,过点O作直线交AD于点E，交BC于点F。若▱ABCD的面积为30cm2，求阴影部分的面积。【分析】运用全等三角形的性质将S△BOF转化为S△DOE，从而使三块阴影部分构成一个整体,然后根据其与平行四边形的关系求其面积。【自主解答】∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=CB，DC=BA.∵AC=CA，∴△ABC≌△CDA（SSS)，∴S△ABC=S△CDA=S▱ABCD=×30=15（cm2)。∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB,AD∥BC.∴∠1=∠2,∠3=∠4.∴△DOE≌△BOF（AAS)。∴S△DOE=S△BOF。∴S阴影部分=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△DOE+S△AOE+S△COD=S△CDA=15cm2.【变式训练】如图,李村有一块呈四边形的池塘,在它的四个角A,B,C，D处均种有一棵大核桃树，李村准备开挖池塘建养鱼池,要使池塘面积扩大为原来的2倍，又想保持大核桃树不动，并要求扩建后的池塘呈平行四边形,请问这个村能否实现这一设想？若能,请你设计方案并画出图形;若不能，请说明理由（画图要保留痕迹，不写画法)。【解析】能实现。如图所示。设AC,BD相交于点O，由作法可知,所得四边形为平行四边形，由性质知△AA′B≌△BOA,△D′AD≌△ODA，△CC′D≌△DOC，△BB′C≌△COB，所以面积扩大为原来的2倍.二、方程思想【思想解读】方程思想就是从分析几何问题的数量关系出发，恰当设未知数，利用问题中的条件,把要解决的数学问题中的已知量和未知数之间的数量关系转化为方程或者方程组,进而解决问题.【应用链接】方程是沟通数量关系的桥梁，本章中常通过三角形的中位线、矩形、菱形、正方形等与勾股定理相结合的方式找到等量关系列方程（组)进行求解.【典例2】（2016·毕节中考）如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是（）A。3 B。4 C.5 D。6【分析】根据折叠可得DH=EH，在直角△CEH中，设CH=x，则DH=EH=9-x，根据BE∶EC=2∶1可得CE=3，可以根据勾股定理列出方程，从而解出CH的长。【解析】选B.设CH=x，则DH=EH=9-x，∵BE∶EC=2∶1，BC=9,∴CE=BC=3，∴在Rt△ECH中,EH2=EC2+CH2，即（9-x）2=32+x2，解得：x=4,即CH=4.【变式训练】如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F,AE=12cm,AF=15cm，四边形ABCD的周长为67.5cm.求AB,BC的长.【解析】依题意可设AB=CD=xcm,BC=AD=ycm。因为S▱ABCD=BC·AE=CD·AF,所以12y=15x,即4y=5x.因为2（AB+BC）=67。5,所以2（x+y）=67.5,所以解得所以AB,BC的长分别是15cm，18。75cm。三、分类讨论思想【思想解读】分类讨论思想是一种重要的数学思想。在研究数学问题时,常把需要研究的问题根据题目的特点和要求,分成若干类，转化成若干个问题来解决，这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想，称为分类讨论思想.【应用链接】在研究四边形时，审题要注意考虑问题的全面性。对于无图题，正确画出所有符合题意的图形是关键,有些题目要注意分类。在研究数学问题时，常常需要通过分类讨论解决问题。分类要依据一个标准，且要做到不重复不遗漏。【典例3】（2017·通辽中考)在▱ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF平分∠ADC交边BC于F,若AD=11,EF=5，则AB=________。【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC,得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC,根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，得出AB=BE=CF=CD,分两种情况,即可得到结论。【解析】①如图1,在▱ABCD中,∵BC=AD=11,BC∥AD，CD=AB，CD∥AB,∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC,∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF,∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD，∴AB=BE=CF=CD∵EF=5,∴BC=BE+CF-EF=2AB-EF=2AB-5=11，∴AB=8;②在▱ABCD中，∵BC=AD=11,BC∥AD，CD=AB,CD∥AB，∴∠DAE=∠AEB,∠ADF=∠DFC，∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F,∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CFD=∠CDF,∴AB=BE,CF=CD,∴AB=BE=CF=CD,∵EF=5，∴BC=BE+CF+EF=2AB+EF+EF=2AB+5=11,∴AB=3。综上所述：AB的长为8或3.答案：8或3【变式训练】（2016·孝感中考）在▱ABCD中,AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2,则AB的长为（）A。3 B.5 C。2或3 D。3或5【分析】本题考查了平行四边形的性质和分类讨论的数学思想,解题的关键是正确应用图形的性质。(1）先根据题目要求画出图形，会发现此题有两种情况.（2)根据图形分别找到两个等腰三角形:△ABE和△CDF,再根据图形中线段之间的关系列出方程即可解。【解析】选D.本题分两种情况讨论：①如图1,∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE,∠ADF=∠CDF。又∵在▱ABCD中,AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE,∠ADF=∠CFD，∴∠BAE=∠BEA，∠CDF=∠CFD，∴BA=BE,CD=CF。又∵AB=CD，∴BE=CF=AB。∵BE+CF—EF=BC,∴2AB—EF=BC.∵BC=AD=8,EF=2,∴2AB-2=8，AB=5.②如图2，∵AE平分∠BAD交BC于点E,DF平分∠ADC交BC于点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF。又∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE，∠ADF=∠CFD,∴∠BAE=∠BEA,∠CDF=∠CFD，∴BA=BE,CD=CF。又∵AB=CD，∴BE=CF=AB。∵B