初中数学人教版八年级下册二次根式单元复习（市一等奖）

辅导讲义学员编号：年级：初二课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课类型T(二次根式的定义和性质)C（二次根式化简）T（二次根式综合）授课日期及时段教学内容一、同步知识梳理知识点一：二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。知识点二：二次根式有意义与无意义1.

二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。2.

二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。知识点四：二次根式（）的性质（）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。知识点五：二次根式的性质知识点六：与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，

，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.二、同步题型分析题型1：二次根式的概念例1：（★）下列各式中一定是二次根式的是（）B．C．D．答案：C例2：（★★）在式子中，二次根式有（）A.2个B.3个C.4个D.5个答案：C题型2：二次根式有意义的条件例1：（★）要使下列式子有意义，求x的取值范围.；（2）；（3）；；（5）；（6）；；（8）；（9）；（10）.例2：（★★）若+有意义，则=_______．答案：例3：（★★）使式子有意义的未知数x有（）个．A．0B．1C．2D．无数答案：B例4：（★★）若有意义，则的取值范围是。答案：m≤0且m≠-1例5：（★★）若等式成立，则的取值范围是.答案且题型3：二次根式的性质例1：（★）根式的值是()-3B．3或-3C．3D．9答案：C例2：（★）下列计算正确的是（）A.B.C.D.答案：C例3：（★）计算：（）2=（2）2=（）2=（）2=（）2=（）2=例4：（★★）当m<0时，化简的结果是（）A.-1B.1C.mD.-m答案：A例5：（★★）若，则a必须满足的条件是（）A.a>0B.a≥0C.a≤0D.a为任意实数答案：B三、课堂达标检测检测题1：（★）下列式子中，是二次根式的是（）A.B.C.D.X答案：A检测题2：（★）下列各式一定是二次根式的是（）A.B.C.D.答案：C检测题3：（★★）已知数a，b，若=b－a，则(

)A.a>b

B.a<b

C.a≥b

D.a≤b答案：D检测题4：（★★）要使式子eq\F(\r(a＋2),a)有意义，a的取值范围是（）a≠0B．a＞－2且a≠0C．a＞－2或a≠0D．a≥－2且a≠0答案D检测题5：（★★）求下列各式有意义的所有x的取值范围。（1）（2）（3）（4）答案：略知识梳理1、最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵被开方数中不含分母；⑶分母中不含根式。2、同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。一、专题精讲题型一：根号内外转化例1：（★★）将根号外的a移到根号内，得(

)A；

B.－；

C.－；

D.答案：B例2：（★★）若，则化简后为（）B.C.D.答案：B例3：（★★）把（a－b）eq\r(－\f(1,a－b))化成最简二次根式例4：（★★）在根式1)，最简二次根式是（）A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)例5：（★★）____；（2）_____；（3）____；（4）____；（5）题型二：与的化简例1：（★★）若2<a<3，则等于（）B.C.D.答案：C例2：（★★★）已知x＜y，化简为_______.例3：（★★★）如图：A，B，C三点表示的数分别为a，b，c:利用图形化简：CCAOB题型三：题型4：|a|、a²、的非负性例1：（★）已知，那么a+b的值为.例2：（★★）若，则的值为（）A．1 B．－1 C．7 D．－答案C例3：（★★）已知.例4：（★★）若则x+y=.题型四：分母有理化例1：（★★）1：把下列各式的分母有理化： 分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。 解： 题型五：二次根式比较大小（1）、根式变形法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。例1、比较与的大小。（2）、平方法当时，=1\*GB3①如果，则；=2\*GB3②如果，则。例2、比较与的大小。（3）、分母有理化法通过分母有理化，利用分子的大小来比较。例3、比较与的大小。（4）、分子有理化法通过分子有理化，利用分母的大小来比较。例4、比较与的大小。（5）、倒数法例5、比较与的大小。（6）、媒介传递法适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。例6、比较与的大小。（7）、作差比较法在对两数比较大小时，经常运用如下性质：=1\*GB3①；=2\*GB3②例7、比较与的大小。（8）、求商比较法它运用如下性质：当a>0，b>0时，则：=1\*GB3①；=2\*GB3②例8、比较与的大小。二、专题过关检测题1：（★★★）已知，化简二次根式的正确结果为（）A.B.C.D.答案：D检测题2：（★★）下列各式不是最简二次根式的是（）A.B.C.D.答案：D检测题3：（★★★）（2010广东广州，9，3分）若a＜1，化简SKIPIF1<0＝（）A．a﹣2 B．2﹣a C．a D．﹣a检测题4：（★★★）如图，实数、在数轴上的位置，化简：检测题5：（★★★）若.检测题6：（★★）若，求的值。检测题7：（★★★）已知a、b为实数且，则a=,b=.检测题8：（★★）比较大小：。检测题9：（★★）化简：（1）（2）（3）（4）检测题10：（★★★★★）已知：答案：解：，∴。∴原式=三、学法提炼1、专题特点：考察二次根式化简的相关计算能力2、解题方法：与1）两式的意义不同：（1）式的意义是非负数a的算术平方根的平方等于a本身，即（2）式的意义是任何实数a的平方的算术平方根等于a的绝对值，即，利用（2）式可以把根号内的因式移到根号外。2）两式的被开方数中的字母a的取值范围不同。

（1）式中的字母a只能取非负数，即。如，但无意义。

（2）式中的字母a可以取任意实数，如均有意义。3）两式的值不同：（1）式中，（2）式中；这两个性质很重要，在化简、计算含有二次根式的式子时，经常需要综合应用这两个性质。3、注意事项：尤其要注意跟号外化简的到根号内，要考虑整体符号的问题能力培养综合题1．（★★★★）阅读下面问题：；。试求：（1）的值；（2）的值；（3）（n为正整数）的值。答案：（1）=；（2）=；（3）=。综合题2．（★★★★）材料：如果n是任意正整数，那么=n理由：==n练习：填空=_______；=________；=_______．能力点评该题目为学有余力的同学学习，该化简形式仍可以再次拓展，如果是不连续的两个整数的算术平方根的差，应该怎么处理？学法升华知识收获1、掌握二次根式的性质，熟练化简二、方法技巧总结1、二次根式的两个性质区别的理解，尤其是对二次根式的非负性的运用2、二次根式化简的过程中，要注意整体二次根式的数值，到底是正还是负，要分析好范围再次定夺课后作业作业1：（★★）（2010广东茂名）若代数式SKIPIF1<0有意义，则SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0答案D作业2：（★）下列根式中，是最简二次根式的是（）A.B.C.D.答案：C作业3：（★★）把化成最简二次根式，结果为： A． B． C． D