2018届数学二轮复习第一篇求准提速基础小题不失分第16练圆锥曲线的定义、方程与性质练习文

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE27学必求其心得，业必贵于专精PAGE第16练圆锥曲线的定义、方程与性质[明考情]圆锥曲线是高考的热点，每年必考，小题中考查圆锥曲线的定义、方程、离心率等，题目难度中档偏难.［知考向]1.圆锥曲线的定义与标准方程。2。圆锥曲线的几何性质.3.圆锥曲线的综合。考点一圆锥曲线的定义与标准方程方法技巧（1)椭圆和双曲线上的点到两焦点距离可以相互转化，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离.（2)求圆锥曲线方程的常用方法:定义法、待定系数法.1。(2017·九江二模)设椭圆eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12）＝1的左、右焦点分别为F1，F2,点P在椭圆上，且满足eq\o（PF1，\s\up6(→）)·eq\o（PF2，\s\up6(→））＝9，则｜eq\o（PF1，\s\up6(→））|·｜eq\o（PF2，\s\up6(→））|的值为（）A.8B.10C.12D。15答案D解析∵点P是椭圆eq\f（x2，16)＋eq\f(y2，12)＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点,∴｜PF1｜＋|PF2|＝8，｜F1F2|＝4，eq\o(PF1，\s\up6(→））·eq\o（PF2，\s\up6（→）)＝9，即|eq\o（PF1，\s\up6（→))|·｜eq\o（PF2,\s\up6（→)）｜cosθ＝9，｜eq\o(F1F2,\s\up6(→））｜2＝|eq\o(PF1，\s\up6(→)）|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2－2｜eq\o(PF1,\s\up6(→））｜·｜eq\o(PF2，\s\up6(→))|cosθ＝(｜eq\o（PF1,\s\up6（→)）｜＋|eq\o(PF2，\s\up6(→）)|)2－2|eq\o(PF1，\s\up6(→））｜·｜eq\o（PF2,\s\up6(→)）|－18＝64－2|eq\o(PF1，\s\up6（→））|·|eq\o（PF2,\s\up6（→)）｜－18＝16，∴|eq\o（PF1，\s\up6（→））｜·｜eq\o(PF2,\s\up6（→）)｜＝15。2.（2017·洛阳统考)已知双曲线C：eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的焦距为10，点P（2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（)A。eq\f(x2,20)－eq\f（y2,5）＝1 B.eq\f(x2，5）－eq\f(y2，20）＝1C。eq\f(x2,80)－eq\f（y2,20)＝1 D.eq\f(x2，20）－eq\f(y2,80）＝1答案A解析∵eq\f(x2，a2）－eq\f(y2,b2）＝1的焦距为10,∴c＝5＝eq\r（a2＋b2）, ①又双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a)x，且P(2，1)在渐近线上，∴eq\f(2b，a)＝1，即a＝2b， ②由①②得a＝2eq\r(5），b＝eq\r(5)，∴双曲线的方程为eq\f（x2，20）－eq\f（y2,5）＝1，故选A。3.已知双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，b2）＝1（a＞0，b＞0)的离心率为2，它的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0）的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点。若△AOB的面积为eq\r（3)，则抛物线的准线方程为（）A.x＝－2 B。x＝2C。x＝1 D.x＝－1答案D解析因为e＝eq\f（c，a)＝2，所以c＝2a，b＝eq\r（3)a，双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r（3)x。又抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，联立双曲线的渐近线方程和抛物线方程得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（－\f（p，2),\f(\r(3）p,2))）,Beq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(p,2），－\f(\r(3)p,2）)）.在△AOB中，｜AB｜＝eq\r(3）p,点O到AB的距离为eq\f(p,2），所以eq\f(1,2)·eq\r（3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3）,所以p＝2，所以抛物线的准线方程为x＝－1,故选D。4。（2017·天津）已知双曲线eq\f（x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a〉0，b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点），则双曲线的方程为()A.eq\f（x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,12）－eq\f(y2，4)＝1C.eq\f(x2,3）－y2＝1 D.x2－eq\f(y2，3）＝1答案D解析根据题意画出草图如图所示(不妨设点A在渐近线y＝eq\f(b,a)x上）.由△AOF是边长为2的等边三角形得到∠AOF＝60°，c＝|OF|＝2.又点A在双曲线的渐近线y＝eq\f（b，a)x上，∴eq\f(b,a）＝tan60°＝eq\r(3)。又a2＋b2＝4,∴a＝1,b＝eq\r(3)，∴双曲线的方程为x2－eq\f（y2，3)＝1。故选D。5。(2017·甘肃肃南裕固族自治县一中期末）抛物线y＝－eq\f(1,4)x2上的动点M到两定点(0,－1），（1，－3)的距离之和的最小值为________。答案4解析由题意得焦点F（0，－1)，设A(1，－3)，则|MA｜＋｜MF|＝｜MA|＋｜yM｜＋1≥|yA｜＋1＝4。考点二圆锥曲线的几何性质要点重组在椭圆中：a2＝b2＋c2,离心率为e＝eq\f（c,a)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（b，a））)2）；在双曲线中:c2＝a2＋b2，离心率为e＝eq\f（c,a）＝eq\r（1＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(b，a））)2）。方法技巧求离心率的两种方法（1）定义法：求出a，c，代入e＝eq\f（c,a)进行求解。(2)方程法：只需根据一个条件得到关于a，b，c的各项式，然后两边同除以a或a2得到关于e的方程求e.6.已知A是双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f(y2,b2)＝1（a＞0，b＞0)的左顶点，F1,F2分别为左、右焦点，P为双曲线上一点,G是△PF1F2的重心，若eq\o(GA,\s\up6(→）)＝λeq\o(PF1，\s\up6(→）），则双曲线的离心率为()A.2B。3C。4D.与λ的取值有关答案B解析因为eq\o(GA,\s\up6(→)）＝λeq\o（PF1，\s\up6（→）），所以eq\o(GA,\s\up6（→））∥eq\o（PF1，\s\up6(→))，所以eq\f(|OA|,｜OF1|)＝eq\f（|OG｜,｜OP｜）＝eq\f(1,3）(O为坐标原点），即eq\f(a,c）＝eq\f(1,3)，所以e＝eq\f（c,a)＝3.7。（2017·广安模拟）椭圆eq\f(x2，a2）＋eq\f(y2，b2）＝1(a＞b＞0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足△OAF是等边三角形（O为坐标原点），则椭圆的离心率是（)A.eq\r（3）－1 B.2－eq\r（3)C.eq\r(2）－1 D。2－eq\r（2）答案A解析根据题意,如图，设F(c，0）,由△OAF是等边三角形,则Aeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（c，2），\f（\r（3）c,2）)），又A在椭圆上，则有eq\f(c2，4a2)＋eq\f（3c2，4b2)＝1， ①a2＝b2＋c2， ②联立①②，解得c＝（eq\r(3）－1)a，则其离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3）－1。8。(2017·全国Ⅲ)双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2，9)＝1（a>0)的一条渐近线方程为y＝eq\f(3，5）x，则a＝________.答案5解析∵双曲线的标准方程为eq\f(x2,a2）－eq\f（y2，9)＝1（a＞0）,∴双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(3，a)x.又双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(3,5）x，∴a＝5.9.(2016·北京）双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a＞0,b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则a＝________.答案2解析设B为双曲线的右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,∴c＝|OB｜＝2eq\r（2）.又∠AOB＝eq\f(π，4），∴eq\f(b,a)＝taneq\f(π，4）＝1,即a＝b。又∵a2＋b2＝c2＝8，∴a＝2。10。设抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M为抛物线E上一点，｜MF｜的最小值为3，若点P为抛物线E上任意一点，A(4，1)，则｜PA｜＋|PF｜的最小值为________.答案7解析由题意，|MF|的最小值为3,得eq\f（p,2）＝3，∴p＝6，∴抛物线E：y2＝12x，抛物线y2＝12x的焦点F的坐标是（3,0）.设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，∴要求|PA｜＋|PF|取得最小值，即求|PA｜＋｜PD|取得最小值，当D，P,A三点共线时|PA|＋｜PD｜最小，为4－（－3)＝7。考点三圆锥曲线的综合方法技巧圆锥曲线范围，最值问题的常用方法(1)定义性质转化法：利用圆锥曲线的定义性质进行转化，根据平面几何中的结论确定最值或范围.(2）目标函数法：建立所求的目标函数,将所求最值转化为函数最值解决.（3）条件不等式法：找出与变量相关的所有限制条件,然后再通过解决不等式（组）求变量的范围。11。已知方程eq\f(x2,2＋m)－eq\f（y2,m＋1)＝1表示椭圆,则实数m的取值范围是（）A。(－∞，－1）B.(－2，＋∞）C。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－∞，－\f(3,2)）)∪(－1，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－2,－\f（3,2)）)∪eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，2），－1））答案D解析由eq\f(x2，2＋m)－eq\f(y2,m＋1)＝1转化成标准方程eq\f(x2，2＋m）＋eq\f(y2,－m＋1)＝1，假设焦点在x轴上，则2＋m＞－（m＋1)＞0，解得－eq\f(3,2）＜m＜－1；假设焦点在y轴上,则－（m＋1)＞2＋m＞0，解得－2＜m＜－eq\f(3,2）。综上可知，m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－2,－\f（3，2))）∪eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（3,2),－1））.12。（2016·四川)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px（p>0)上任意一点,M是线段PF上的点,且｜PM|＝2｜MF｜,则直线OM的斜率的最大值为（）A。eq\f（\r(3）,3)B。eq\f（2,3)C.eq\f（\r（2）,2)D。1答案C解析如图，由题意可知Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（p,2)，0）），设P点坐标为eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0），2p)，y0))，显然，当y0〈0时,kOM<0;当y0〉0时,kOM〉0.要求kOM的最大值，不妨设y0>0，则eq\o（OM,\s\up6（→))＝eq\o（OF,\s\up6（→)）＋eq\o(FM，\s\up6（→））＝eq\o（OF，\s\up6（→））＋eq\f(1，3)eq\o（FP，\s\up6（→））＝eq\o(OF,\s\up6(→))＋eq\f(1，3)(eq\o（OP，\s\up6(→）)－eq\o(OF，\s\up6（→）））＝eq\f(1，3）eq\o(OP,\s\up6(→)）＋eq\f（2,3）eq\o(OF，\s\up6（→)）＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0）,6p）＋\f（p，3)，\f(y0，3）)），kOM＝eq\f(\f（y0,3）,\f(y\o\al(2,0),6p）＋\f(p,3））＝eq\f(2,\f(y0,p）＋\f(2p，y0)）≤eq\f(2,2\r（2）)＝eq\f(\r（2),2)，当且仅当yeq\o\al(2,0）＝2p2时等号成立。故选C。13。(2017·全国Ⅱ）若双曲线C：eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1(a>0,b>0）的一条渐近线被圆(x－2）2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A.2B.eq\r（3)C.eq\r(2）D。eq\f(2\r（3)，3)答案A解析设双曲线的一条渐近线方程为y＝eq\f(b，a)x，圆的圆心为(2,0),半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为eq\r(22－12)＝eq\r(3）。由点到直线的距离公式得eq\f(|2b|,\r(a2＋b2)）＝eq\r(3)，解得b2＝3a2.所以C的离心率e＝eq\f（c,a)＝eq\r（\f（c2,a2)）＝eq\r(1＋\f(b2，a2）)＝2.故选A。14。过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一条直线交抛物线于A，B两点，若线段AF，BF的长分别为m，n,则eq\f(mn，m＋n）等于()A。eq\f(1，2a）B.eq\f(1，4a)C。2aD.eq\f(a,4)答案B解析显然直线AB的斜率存在，故设直线方程为y＝kx＋eq\f（1，4a)，与y＝ax2联立，消去y得ax2－kx－eq\f（1，4a）＝0，设A（x1,axeq\o\al(2，1))，B(x2，axeq\o\al（2，2)），则x1＋x2＝eq\f(k，a），x1x2＝－eq\f(1，4a2)，xeq\o\al(2，1）＋xeq\o\al（2,2）＝eq\f（k2，a2）＋eq\f（1，2a2)，m＝axeq\o\al（2，1）＋eq\f(1，4a),n＝axeq\o\al（2,2)＋eq\f(1,4a),∴mn＝eq\f（1，4a)·eq\f(k2＋1,a），m＋n＝eq\f（k2＋1,a)，∴eq\f（mn,m＋n)＝eq\f（1,4a）.故选B。15。过椭圆eq\f（x2，5）＋eq\f（y2，4)＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________.答案eq\f（5,3）解析由已知得直线方程为y＝2(x－1).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝2x－2，，4x2＋5y2－20＝0，))得3y2＋2y－8＝0，设A(x1，y1），B(x2,y2)，则y1＋y2＝－eq\f(2,3），y1y2＝－eq\f（8,3）,∴｜y1－y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r（\f（4,9)＋\f（32，3）)＝eq\f(10,3),∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×eq\f(10，3）＝eq\f(5，3).16.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，则直线AB恒过定点________。答案（0，2)解析设Q（t，－2）,A（x1,y1)，B(x2，y2),抛物线方程变为y＝eq\f（1，4）x2，则y′＝eq\f(1，2）x，则在点A处的切线方程为y－y1＝eq\f(1，2)x1（x－x1），化简,得y＝eq\f(1,2）x1x－y1，同理，在点B处的切线方程为y＝eq\f（1，2）x2x－y2.又点Q（t，－2）的坐标满足这两个方程，代入，得－2＝eq\f（1,2）x1t－y1，－2＝eq\f(1，2)x2t－y2,则说明A（x1，y1)，B（x2，y2)都满足方程－2＝eq\f(1,2)xt－y，即直线AB的方程为y－2＝eq\f(1，2)tx，因此直线AB恒过定点（0,2).1.若点O和点F（－2，0)分别为双曲线eq\f（x2,a2）－y2＝1(a＞0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点,则eq\o(OP，\s\up6(→)）·eq\o(FP,\s\up6(→））的取值范围为()A。［3－2eq\r(3)，＋∞） B。［3＋2eq\r（3），＋∞)C。eq\b\lc\［\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7，4)，＋∞)) D。eq\b\lc\［\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(7，4),＋∞))答案B解析由题意，得22＝a2＋1,即a＝eq\r（3),设P(x，y)，x≥eq\r（3），eq\o（FP,\s\up6（→))＝（x＋2，y)，则eq\o（OP,\s\up6(→)）·eq\o(FP,\s\up6(→))＝（x＋2)x＋y2＝x2＋2x＋eq\f(x2,3）－1＝eq\f（4,3)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(3,4)))2－eq\f（7，4），因为x≥eq\r(3),所以eq\o(OP,\s\up6(→））·eq\o(FP，\s\up6（→)）的取值范围为[3＋2eq\r(3)，＋∞）。2。已知圆C1：(x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________。答案x2－eq\f(y2，8）＝1(x≤－1)解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1｜－｜AC1｜＝|MA｜，｜MC2｜－|BC2｜＝|MB|，因为|MA｜＝|MB|，所以｜MC1|－｜AC1|＝|MC2｜－｜BC2｜，即|MC2｜－｜MC1|＝|BC2|－｜AC1｜＝2＜6，所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小），其中a＝1，c＝3，则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2,8)＝1(x≤－1）。3。若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为eq\r(3），则椭圆的方程为________________.答案eq\f(x2，12)＋eq\f（y2,9)＝1或eq\f（x2,9）＋eq\f(y2，12）＝1解析由题意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝2c,，a－c＝\r(3），)）所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2\r(3），，c＝\r(3).)）所以b2＝a2－c2＝9。所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为eq\f（x2,12)＋eq\f(y2，9）＝1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为eq\f(x2,9）＋eq\f（y2，12)＝1.故椭圆的方程为eq\f（x2，12）＋eq\f（y2,9）＝1或eq\f(x2，9）＋eq\f（y2,12）＝1。4.已知椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0)，F2（c，0),若椭圆上存在点P（异于长轴的端点），使eq\f（a，sin∠PF1F2）＝eq\f（c,sin∠PF2F1），则该椭圆的离心率的取值范围为______.答案(eq\r（2)－1,1)解析由已知，得e＝eq\f（c，a）＝eq\f（sin∠PF2F1,sin∠PF1F2)，由正弦定理，得eq\f（｜PF1|,｜PF2｜)＝eq\f(sin∠PF2F1，sin∠PF1F2)，所以e＝eq\f(|PF1|，|PF2|)＝eq\f（2a－|PF2|，｜PF2|)＝eq\f(2a，|PF2｜）－1.由椭圆的几何性质，知a－c＜｜PF2｜〈a＋c。∴eq\f(2a,|PF2｜)－1>eq\f（a－c,a＋c)，即e>eq\f(a－c,a＋c)，即e＞eq\f(1－e,1＋e)，即e2＋2e－1＞0,结合0＜e＜1，可解得e∈(eq\r(2)－1，1)。解题秘籍（1）椭圆的焦点位置不明确时，要分焦点在x轴上或y轴上进行讨论。(2）平面内到两个定点的距离之差为定值的点的轨迹不是双曲线，要注意定值的限制条件和“绝对值”。(3)范围问题要注意圆锥曲线上点的坐标的范围和几何意义，不要忽略离心率本身的限制条件。1.已知椭圆eq\f（x2,25)＋eq\f(y2,m2）＝1(m〉0)的左焦点为F1(－4,0），则m等于(）A.2B。3C.4D。9答案B解析由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0,所以m＝3。2。(2017·和平区模拟）已知椭圆eq\f(x2，a2)＋eq\f（y2，5)＝1(a＞eq\r(5））的焦点为F1，F2，且离心率e＝eq\f（2,3），若点P在椭圆上,|PF1|＝4，则｜PF2|的值为(）A。2B.6C。8D。14答案A解析椭圆eq\f（x2,a2）＋eq\f(y2,5)＝1（a＞eq\r(5）)，椭圆的焦点在x轴上,b＝eq\r（5），c＝eq\r(a2－5)，则离心率e＝eq\f（c,a)＝eq\f(2，3），即eq\f（a2－5,a2)＝eq\f(4，9)，解得a2＝9，a＝3，∴椭圆的长轴长为2a＝6,由椭圆的定义可知，|PF1｜＋｜PF2｜＝6，即｜PF2|＝2。3.已知双曲线eq\f(x2，4）－eq\f（y2，b2）＝1(b〉0），以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B，C，D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(3y2,4)＝1 B。eq\f(x2，4)－eq\f(4y2,3）＝1C。eq\f（x2，4)－eq\f(y2，4)＝1 D.eq\f(x2，4）－eq\f(y2，12）＝1答案D解析由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,2)x,圆的方程为x2＋y2＝4，联立eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x2＋y2＝4,，y＝\f（b，2）x，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f（4，\r(4＋b2))，，y＝\f(2b，\r（4＋b2））)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(－4，\r（4＋b2)），,y＝\f(－2b,\r(4＋b2)），）)即第一象限的交点为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(4，\r(4＋b2）），\f（2b,\r（4＋b2）)）).由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为eq\f（8,\r(4＋b2))，eq\f(4b，\r(4＋b2)),故eq\f(8×4b,4＋b2)＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2，12）＝1.故选D。4。(2016·浙江)已知椭圆C1：eq\f（x2,m2）＋y2＝1(m＞1）与双曲线C2：eq\f(x2，n2）－y2＝1(n＞0）的焦点重合，e1，e2分别为C1，C2的离心率,则()A。m＞n且e1e2＞1 B。m＞n且e1e2＜1C.m＜n且e1e2＞1 D.m＜n且e1e2＜1答案A解析由题意可得m2－1＝n2＋1，即m2＝n2＋2，∵m＞0，n＞0，故m＞n.又∵eeq\o\al(2,1)·eeq\o\al（2，2）＝eq\f（m2－1，m2)·eq\f(n2＋1,n2）＝eq\f(n2＋1,n2＋2)·eq\f(n2＋1，n2)＝eq\f（n4＋2n2＋1，n4＋2n2）＝1＋eq\f（1,n4＋2n2）＞1，∴e1·e2＞1.5。过抛物线y2＝2px（p＞0)的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3,｜PQ｜＝10，则抛物线的方程是（）A。y2＝4x B.y2＝2xC.y2＝8x D.y2＝6x答案C解析设抛物线y2＝2px(p＞0）的焦点为F，P（x1，y1）,Q(x2，y2)，由抛物线的定义可知，|PQ｜＝|PF｜＋|QF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f（p,2）＝(x1＋x2)＋p,线段PQ中点的横坐标为3,又｜PQ|＝10，∴10＝6＋p,可得p＝4，∴抛物线的方程为y2＝8x。6.已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线过点（2,eq\r(3)），且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4eq\r（7）x的准线上，则双曲线的方程为（)A.eq\f（x2，21)－eq\f（y2，28)＝1 B.eq\f(x2，28)－eq\f（y2,21）＝1C。eq\f(x2,3）－eq\f（y2，4）＝1 D.eq\f(x2,4）－eq\f（y2，3)＝1答案D解析双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a）x，又渐近线过点(2，eq\r（3）)，所以eq\f(2b，a)＝eq\r(3),即2b＝eq\r(3)a， ①抛物线y2＝4eq\r（7)x的准线方程为x＝－eq\r（7），由已知，得eq\r(a2＋b2)＝eq\r（7），即a2＋b2＝7， ②联立①②，解得a2＝4，b2＝3，所以双曲线的方程为eq\f（x2，4）－eq\f（y2，3)＝1。7。（2016·全国Ⅱ)已知F1，F2是双曲线E:eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1＝eq\f（1，3）,则E的离心率为(）A.eq\r（2)B.eq\f（3,2)C.eq\r（3）D.2答案A解析如图，因为MF1与x轴垂直，所以|MF1|＝eq\f（b2，a)。又sin∠MF2F1＝eq\f（1，3)，所以eq\f（｜MF1|,|MF2｜）＝eq\f（1，3）,即|MF2|＝3|MF1｜。由双曲线的定义得2a＝｜MF2|－|MF1|＝2|MF1|＝eq\f(2b2，a),所以b2＝a2，所以c2＝b2＋a2＝2a2,所以离心率e＝eq\f(c,a）＝eq\r(2)。8。（2016·全国Ⅲ)已知O为坐标原点，F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f（y2，b2)＝1（a＞b＞0）的左焦点，A,B分别为C的左、右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为（）A.eq\f(1，3）B。eq\f(1,2)C.eq\f(2，3)D。eq\f（3,4)答案A解析设M（－c，m)，则Eeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f（am,a－c)))，OE的中点为D，则Deq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f(am,2a－c))),又B，D，M三点共线，所以eq\f(m,2a－c）＝eq\f(m，a＋c),a＝3c,e＝eq\f(1,3)。9。设F1，F2分别是椭圆eq\f（x2，25）＋eq\f(y2，16)＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为（6，4)，则｜PM｜＋|PF1|的最大值为________。答案15解析因为椭圆eq\f(x2,25）＋eq\f（y2，16)＝1中，a＝5,b＝4,所以c＝3,得焦点为F1(－3,0），F2（3，0).根据椭圆的定义,得|PM|＋｜PF1｜＝｜PM｜＋（2a－|PF2|)＝10＋（｜PM｜－|PF2|）.因为|PM|－｜PF2|≤｜MF2|，当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立，此时｜PM|＋｜PF1|的最大值为10＋5＝15。10.已知A（1，2），B（－1,2)，动点P满足eq\o（AP,\s\up6(→）)⊥eq\o(BP，\s\up6(→））。若双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a>0，b>0)的渐近线与动点P的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.答案（1，2)解析设P(x，y），由题设条件，得动点P的轨迹为(x－1）（x＋1）＋（y－2)(y－2）＝0，即x2＋（y－2)2＝1，它是以（0，2）为圆心，1为半径的圆。又双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a>0,b〉0）的