高考数学三轮冲刺压轴小题03 解密函数零点相关问题 (解析版)

18/18解密函数零点相关问题一、方法综述新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，函数的零点问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它主要涉及到基本初等函数的图象，渗透着转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分．根据函数零点的定义：对于函数SKIPIF1<0，把使SKIPIF1<0成立的实数SKIPIF1<0叫做函数SKIPIF1<0的零点．即：方程SKIPIF1<0有实数根SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0的图象与SKIPIF1<0轴有交点的横坐标SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0有零点．围绕三者之间的关系，在高考数学中函数零点的题型主要①函数的零点的分布；②函数的零点的个数问题；③利用导数结合图像的变动将两个函数的图像的交点问题转化成函数的零点的个数问题．二、解题策略类型一：函数零点的分布问题例1．【2020·河南高考模拟】已知单调函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，对于定义域内任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的零点所在的区间为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据题意，对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的单调函数，则SKIPIF1<0为定值，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以零点所在的区间为（3，4）.【解题秘籍】判断函数零点所在区间有三种常用方法：①直接法，解方程判断；②定理法；③图象法．【举一反三】函数f(x)＝lnx＋x－eq\f(1,2)，则函数的零点所在区间是()A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．(1，2)【答案】C【解析】函数f(x)＝lnx＋x－eq\f(1,2)的图象在(0，＋∞)上连续，且SKIPIF1<0＝lneq\f(3,4)＋eq\f(3,4)－eq\f(1,2)＝lneq\f(3,4)＋eq\f(1,4)＜0，f(1)＝ln1＋1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＞0，故f(x)的零点所在区间为SKIPIF1<0．学科$网类型二函数零点的个数问题例2．【2020·陕西高考模拟】已知函数SKIPIF1<0，则函数g（x）＝xf（x）﹣1的零点的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由g（x）＝xf（x）﹣1＝0得xf（x）＝1，当x＝0时，方程xf（x）＝1不成立，即x≠0，则等价为f（x）＝SKIPIF1<0，当2＜x≤4时，0＜x﹣2≤2，此时f（x）＝SKIPIF1<0f（x﹣2）＝SKIPIF1<0（1﹣|x﹣2﹣1|）＝SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0|x﹣3|，当4＜x≤6时，2＜x﹣2≤4，此时f（x）＝SKIPIF1<0f（x﹣2）＝SKIPIF1<0[SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0|x﹣2﹣3|]＝SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0|x﹣5|，作出f（x）的图象如图，则f（1）＝1，f（3）＝SKIPIF1<0f（1）＝SKIPIF1<0，f（5）＝SKIPIF1<0f（3）＝SKIPIF1<0，设h（x）＝SKIPIF1<0，则h（1）＝1，h（3）＝SKIPIF1<0，h（5）＝SKIPIF1<0＞f（5），作出h（x）的图象，由图象知两个函数图象有3个交点，即函数g（x）的零点个数为3个，故选：B．【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【举一反三】【2020·安徽高考模拟】已知函数SKIPIF1<0若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为减函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为增函数，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.又在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的图像如图所示：因为SKIPIF1<0有两个不同的零点，所以方程SKIPIF1<0有两个不同的解即直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个不同交点且交点的横坐标分别为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.综上，选D.类型三已知函数零点求参数例3．【2020·天津高考模拟】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0若关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有三个不相等的实数解,则SKIPIF1<0的取值范围是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0恰有三个不相等的实数解，即方程SKIPIF1<0恰有三个不相等的实数解，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有三个不同的交点.令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递减；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数单调递增；且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，据此绘制函数SKIPIF1<0的图像如图所示，结合函数图像可知，满足题意时SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.本题选择C选项.【举一反三】【2020·江苏高考模拟】已知函数SKIPIF1<0有且仅有三个零点，并且这三个零点构成等差数列，则实数a的值为_______．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】函数SKIPIF1<00，得|x+a|SKIPIF1<0a＝3，设g（x）＝|x+a|SKIPIF1<0a，h（x）＝3，则函数g（x）SKIPIF1<0，不妨设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞﹣a时，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即xSKIPIF1<03，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此时x2＝﹣1，x3＝4，由等差数列的性质可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得6SKIPIF1<02a＝3，解得aSKIPIF1<0，满足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，则f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣xSKIPIF1<02a＝3的两个解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的两个解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由设f（x）＝0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1SKIPIF1<0（舍去）或a＝﹣1SKIPIF1<0．③﹣a＞4，即a＜﹣4时，f（x）＝0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，aSKIPIF1<0或﹣1SKIPIF1<0．三、强化训练1．已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】四川省成都市南开为明学校2020-2021学年高三上学期第二次调研考试数学（理）试题【答案】A【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个零点即直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0有SKIPIF1<0个交点，将直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像分别沿SKIPIF1<0轴的正方向上移SKIPIF1<0个单位，即直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图像有SKIPIF1<0个交点，因为SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0是奇函数，因为直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，所以只需满足直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0刚好有除点SKIPIF1<0外的另一个交点即可，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，如图，将直线SKIPIF1<0绕原点逆时针旋转，显然SKIPIF1<0与SKIPIF1<0只有一个交点，故实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A.2．已知函数SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒有两个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷I文科数学试题【答案】B【解析】作出SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，如图所示，要使函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒有两个零点，即函数SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象有两个交点，易知当SKIPIF1<0时，满足题意；当SKIPIF1<0时，有三个交点，不满足题意；当SKIPIF1<0时，考虑SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，设切点坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，有两个交点，满足题意；当SKIPIF1<0时，有四个交点，不满足题意；当SKIPIF1<0时，无交点，不满足题意综上，实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选SKIPIF1<0.3．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象上分别存在点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0､SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【来源】四川省内江市高中2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试数学理科试题【答案】C【解析】设SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的图象上的任意一点，其关于SKIPIF1<0对称的点的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0对称的函数为SKIPIF1<0.由于SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图象上分别存在点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0､SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，故函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0图象在区间SKIPIF1<0有交点，所以方程SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上有解，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.4．已知函数SKIPIF1<0，以下结论正确的是（）A．SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数B．SKIPIF1<0C．若方程SKIPIF1<0恰有SKIPIF1<0个实根，则SKIPIF1<0D．若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有个零点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【来源】四川省师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期期中数学（理）试题【答案】C【解析】由题意，作出函数SKIPIF1<0的图象，如图所示，对于A中，当SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为周期为SKIPIF1<0的函数，作出SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0的函数，可知SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上先增后减，所以A错误；对于B中，因为SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0为周期为SKIPIF1<0的函数，又由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B错误；对于C中，直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的图象和函数SKIPIF1<0的图象有三个交点，当SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，根据对称性可知，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相切时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，综上可得，当函数SKIPIF1<0的图象和函数SKIPIF1<0的图象有三个交点时，SKIPIF1<0，所以C正确．对于D中，又由函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有个零点SKIPIF1<0，故直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上由6个交点，不妨设SKIPIF1<0，由图象可知SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称，所以SKIPIF1<0，所以D错误.故选：C.5．SKIPIF1<0为实数，SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数.SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的图像上恰好存在一个点与SKIPIF1<0的图像上某点关于SKIPIF1<0轴对称，则实数SKIPIF1<0的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，由题意可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有一个解，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有一个解设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0写成分段函数形式即为SKIPIF1<0作出函数图象可知SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只有一个交点，由图象可知，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<06．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为实数)有两个不同的零点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0，求导SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增.函数SKIPIF1<0有两个不同零点，等价于方程SKIPIF1<0有两个不等实根.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，作出函数SKIPIF1<0的图像，则问题转化为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有两个不同的实根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，且SKIPIF1<0，由零点存在性定理知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0.7．已知函数SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0个零点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是__________.【来源】江西宜春市2021届高三上学期数学（理）期末试题【答案】SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值，即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.所以，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，列表如下：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0极大值SKIPIF1<0所以，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得最大值，即SKIPIF1<0，若使得函数SKIPIF1<0存在SKIPIF1<0个零点，则直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，作出函数SKIPIF1<0的图如下图所示：由图象可知，SKIPIF1<0.作出函数SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象如下图所示：由图象可知，当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0与函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的图象有两个交点，综上所述，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.8．已知函数SKIPIF1<0给出下列四个结论：①存在实数SKIPIF1<0，使函数SKIPIF1<0为奇函数；②对任意实数SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0既无最大值也无最小值；③对任意实数SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0总存在零点；④对于任意给定的正实数SKIPIF1<0，总存在实数SKIPIF1<0，使函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.【来源】中国人民大学附属中学2021届高三3月开学检测数学试题【答案】①②③④【解析】如上图分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0时函数SKIPIF1<0的图象，对于①：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0图象如图SKIPIF1<0关于原点对称，所以存在SKIPIF1<0使得函数SKIPIF1<0为奇函数，故①正确；对于②：由三个图知当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0