广东省深圳市海滨中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析

广东省深圳市海滨中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若实数x，y满足不等式组则3x+4y的最小值是

A．13

B．15

C．20

D．28参考答案：A题主要考查了简单的线性规划问题以及目标函数的最值等，难度中等。作出不等式组的可行域，如图中的阴影部分所示，根据图形结合目标函数z=3x+4y可知当取点A（3，1），z的最小值为3×3+4×1=13，故选A；2.已知sin2α=?，α∈，则sinα＋cosα=(

)

A.－

B.

C.－ D.参考答案：B3.“a〉0”是“”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：A略4.如图，半径为的扇形的圆心角为，点在上，且，若，则(

).（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：A5.数列为等差数列，满足，则数列前项的和等于（）A．

B．21

C．42

D．84参考答案：B.试题分析：∵等差数列，∴，∴，∴，故选B.考点：等差数列的性质.6.有6名学生参加数学竞赛选拔赛，他们的编号分别是1—6号，得第一名者将参加全国数学竞赛.今有甲，乙，丙，丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜：4号，5号，6号都不可能；乙猜：3号不可能；丙猜：不是1号就是2号；丁猜：是4号，5号，6号中的某一个.以上只有一个人猜对，则他应该是（

）A．甲

B．乙

C．丙 D．丁参考答案：A若甲猜对，当第一名为3号时，则乙、丙、丁都猜错；若乙猜对，由于只有一个猜对，则丙猜错，即1,2,3都不可能，那么丁就猜对了，不符合题意；若丙猜对，则乙也猜对了，不符合题意；若丁猜对，则乙也猜对了，不符合题意；所以只有一个人猜对，应该是甲。故选A。

7.已知，，则a，b，c的大小关系为(

)A. B. C. D.参考答案：B【分析】由对数的单调性可得a＞2＞b＞1，再根据c＞1，利用对数的运算法则，判断b＞c，从而得到a、b、c的大小关系.【详解】解：由于，，，可得，综合可得，故选B.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟练运用对数运算公式是解决对数运算问题的基础和前提.8.已知，则、、的大小关系是（

）A． B．C． D．参考答案：9.已知函数是定义在上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则（

）

A、

B、

C、

D、1参考答案：C10.已知命题p：函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为π；命题q：若函数f（x+1）为偶函数，则f（x）关于x=1对称．则下列命题是真命题的是(

)A．p∧qB．p∨qC．（￢p）∧（￢q）D．p∨（￢q）参考答案：B考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：分别判定命题p，q的真假性，利用复合命题站真假之间的关系即可得到结论．解答： 解：函数f（x）=|sin2x﹣|=|2sin2x﹣1||cos2x|，∵cos2x的周期是π，∴函数f（x）=|sin2x﹣|的最小正周期为，即命题p是假命题．若若函数f（x+1）为偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即f（x）关于x=1对称，∴命题q为真命题，则p∨q为真命题，其余为假命题，故选：B点评：本题主要考查复合命题真假之间的关系，利用条件先判定命题p，q的真假是解决本题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设实数x?y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．参考答案：26考点：简单线性规划．

专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x+3y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（4，6）．此时z的最大值为z=2×4+3×6=26，故答案为：26点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．12.若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为

．参考答案：20略13.用铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，已知该圆锥的母线与底面所在的平面所成角为，容器的高为10cm，制作该容器需要

cm2的铁皮

参考答案：略14.已知则的值等于．

参考答案：略15.若向量，满足，，且，的夹角为，则

，

．参考答案：，，所以。16.已知函数，且，则对于任意的，函数总有两个不同的零点的概率是

.参考答案：恒成立。即由几何概率可得P=17.在△中，内角、、的对边分别为、、，已知，，，则________________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R）在x=2处的切线经过点（﹣4，2ln2）（1）讨论函数f（x）的单调性（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求导，当x=2时，代入f′（x），即可求得a=﹣1，求得点斜式方程，将（﹣4，2ln2）代入点斜式方程，即可求得f′（2），即可求得函数f（x）的单调区间；（2）由题意可知（2lnx+）＞m，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性及零点性质，求得（2lnx+）最小值，即可求得实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=2lnx+ax﹣（a∈R），求导f′（x）=+a+，当x=2时，f′（2）=1+a+f′（2），∴a=﹣1，设切点为（2，2ln2+2a﹣2f′（2）），则切线方程y﹣（2ln2+2a﹣2f′（2））=f′（2）（x﹣2），将（﹣4，2ln2）代入切线方程，2ln2﹣2ln2﹣2a+2f′（2））=﹣6f′（2），则f′（2）=﹣，∴f′（x）=﹣1﹣=≤0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减；（2）由不等式恒成立，则（2lnx+）＞m，令φ（x）=2lnx+，（x＞0）求导φ′（x）=﹣﹣1=﹣（﹣1）2≤0，∴φ（x）在（0，+∞）单调递减，由φ（1）=0，则当0＜x＜1时，φ（x）＞0，当x＞1时，φ（x）＜0，∴（2lnx+）在（0，+∞）恒大于0，∴m≤0，实数m的取值范围（﹣∞，0]．19.（12分）设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．参考答案：【考点】：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（Ⅰ）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．（Ⅱ）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．解（Ⅰ）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f（θ）===2

（Ⅱ）作出平面区域Ω（即△ABC）如图所示，其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）．因为P∈Ω，所以0≤θ≤，∴f（θ）==，且，故当，即时，f（θ）取得最大值2；当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1．【点评】：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．20.已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn+3=3an（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（n+1）logan，记Tn=++…+，求证：2Tn＜1．参考答案：考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（I）通过令n=1可得首项a1=3，当n≥2时，利用2Sn+3=3an与2Sn﹣1+3=3an﹣1的差可得公比，进而可得结论；（II）通过bn=2n（n+1），分离分母可得=（﹣），并项相加即得结论．解答： （I）解：当n=1时，2S1+3=2a1+3=3a1，得a1=3，当n≥2时，2Sn+3=3an

…①2Sn﹣1+3=3an﹣1

…②①﹣②，得：2an=3an﹣3an﹣1，即an=3an﹣1，∴数列{an}为公比为3，首项为3的等比数列，∴an=3?3n﹣1=3n（n∈N*）；（II）证明：∵bn=（n+1）log3n=2n（n+1），∴==（﹣），∴Tn=++…+=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜，∴2Tn＜1．点评：本题考查求数列的通项和前n项和的取值范围，注意解题方法的积累，属于中档题．21.已知函数f(x)＝，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．参考答案：由f(x)=0，得x-1=-1/2x2+2，令y1=x-1，y2=-1/2x2+2，分别画出它们的图象如图，其中抛物线的顶点坐标为(0,2)，与x轴的交点为(-2,0)、(2,0)，y1与y2的图象有3个交点，从而函数f(x)有3个零点．由f(x)的解析式知x≠0，f(x)的图象在(-∞，0)和(0，+∞)略22.（本小题满分12分）数列满足(1)证明：数列是等差数列；(2)设，求数列的前项和

参考答案：（1）见解析；（2）

知识点：数列的求和；等差关系的确定解析：（1）证：由已知可得，

……………3分

即

……………4分所以