广东省江门市下川中学2021年高三数学理模拟试卷含解析

广东省江门市下川中学2021年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从编号为1,2,…,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6

的概率为（

）A． B． C． D．参考答案：B略2.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，是由七块板组成的．而这七块板可拼成许多图形，例如：三角形、不规则多边形、各种人物、动物、建筑物等，清陆以湉《冷庐杂识》写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．在18世纪，七巧板流传到了国外，至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》．若用七巧板拼成一只雄鸡，在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为16，计算雄鸡的鸡尾面积为2，利用几何概型概率计算公式得解。【详解】设包含7块板的正方形边长为4，其面积为则雄鸡的鸡尾面积为标号为6的板块，其面积为所以在雄鸡平面图形上随机取一点，则恰好取自雄鸡鸡尾（阴影部分）的概率为.故选：C.【点睛】本题主要考查了几何概型概率计算，考查观察能力，属于基础题。3.为了得到函数的图象，可将函数的图象上所有的点的（

）A.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B.纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度

D.横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度参考答案：D因为选项A中，两条直线同时平行与同一个平面，则两直线的位置关系有三种，选项B中，只有Mm,n相交时成立，选项C中，只有m垂直于交线时成立，故选D4.已知，则的值为（

）A． B． C． D．参考答案：B5.古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺；莞生一日，长一尺。蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长等？”.意思是：“今有蒲草第一天，长为3尺；莞生长第一天，长为1尺.以后蒲的生长长度逐天减半，莞的生长长度逐天加倍.问几天后蒲的长度与莞的长度相等？”以下给出了问题的4个解，其精确度最高的是（结果保留一位小数，参考数据：，）（

）A．1.3日

B．1.5日

C．2.6日

D．3.0日参考答案：C由题意可知蒲的长度是首项为3，公比为的等比数列，莞的长度是首项为1，公比为2的等比数列，设n天后长度相等，由等比数列前n项和公式有：，解得.

6.已知角θ的终边经过点P（x，3）（x＜0）且cosθ=x，则x等于（）A．﹣1 B．﹣ C．﹣3 D．﹣参考答案：A【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】求出OP的距离，直接利用三角函数的定义，求出cosθ，列出方程，即可求出x的值．【解答】解：已知角α的终边经过点P（x，3）（x＜0）所以OP=，由三角函数的定义可知：cosθ=x=，x＜0解得x=﹣1．故选A．7.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，则球的表面积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：A8.若函数在实数集上单调递增，且，则实数的取值范围是（

）A.

B.

C.

D.参考答案：B略9.数列{an}的通项公式为an=|n﹣c|(n∈N*)．则“c≤1”是“{an}为递增数列”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用等差数列为递增数列的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行求解．【解答】解：数列{an}的通项公式为，若“{an}为递增数列”，则an+1﹣an=|n+1﹣c|﹣|n﹣c|＞0，即（n+1﹣c）2＞（n﹣c）2，解得c＜n+，∵n+≥∴c≤1”是“{an}为递增数列充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查递增数列的性质以及充分条件和必要条件的应用，比较基础．10.已知，，是三个互不重合的平面，是一条直线，下列命题中正确命题是A．若，，则

B．若上有两个点到的距离相等，则C．若，∥，则

D．若，，则

参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知直线与圆相切，则的值为________.参考答案：12.函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则=．参考答案：﹣2【考点】函数的图象．【分析】依题意，过原点的直线与函数y=|cosx|（x≥0）在区间（，2π）内的图象相切，利用导数知识可求得切线方程，利用直线过原点，可求得θ=﹣，代入所求关系式即可求得答案【解答】解：∵函数f（x）=|cosx|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数y=|cosx|（x≥0）在区间（，2π）内的图象相切，在区间（，2π）上，y的解析式为y=cosx，故由题意切点坐标为（θ，cosθ），∴切线斜率k=y′=﹣sinx|x=θ=﹣sinθ，∴由点斜式得切线方程为：y﹣cosθ=﹣sinθ（x﹣θ），∴y=﹣sinθx+θsinθ+cosθ，∵直线过原点，∴θsinθ+cosθ=0，得θ=﹣，∴==﹣（tanθ+）sin2θ=﹣（+）?2sinθcosθ=﹣2（sin2θ+cos2θ）=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查直线与余弦曲线的交点，考查导数的几何意义，直线的点斜式方程的应用，求得θ=﹣是关键，考查三角函数间的关系的综合应用，属于难题．13.在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列的前项的和是__________?参考答案：14.定义在(－1,1)上的函数f(x)＝-3x＋sinx，如果f(1－a)＋f(1－)>0，则实数的取值范围为

．参考答案：15.命题“x∈R,x2－2ax+1＞0”是假命题，则实数a的取值范围是______参考答案：(－∞,－1]∪[1,+∞)由题意，命题，是假命题，可得出二次函数与轴有交点，又由二次函数的性质，可得即，解得或.

16.下列命题：①若函数为奇函数，则=1;②函数的周期③方程有且只有三个实数根；④对于函数，若，则.以上命题为真命题的是 ．（写出所有真命题的序号）参考答案：①②③由函数为奇函数知即.故①正确，易知②也正确，由图象可知③正确，④错误.17.已知=（，），=（2cosα，2sinα），与的夹角为60°，则|﹣2|=．参考答案：【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的模的公式，求出||，||，再由向量数量积的定义可得?，运用向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【解答】解：=（，），=（2cosα，2sinα），与的夹角为60°，可得||==1，||==2，?=||?||?cos60°=1×2×=1，则|﹣2|====．故答案为：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分1４分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，，E是CD的中点，（1）证明：平面平面PAB；（2）求二面角A—BE—P的大小。参考答案：

19.（16分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x．（1）将f（x）化成y=Asin（ωx+φ）的形式，并求f（x）的周期；（2）用“五点法”作出函数f（x）在一个周期内有图象；（3）写出函数f（x）的单调区间．x

0π2πf（x）

参考答案：考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题： 作图题；三角函数的图像与性质．分析： （1）由两角差的正弦公式化简即可得解析式：f（x）=2sin（2x﹣），由周期公式即可求解；（2）列表，描点连线即可用五点法做出图象；（3）根据正弦函数的性质即可求得单调区间．解答： （1）f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），所以函数f（x）的周期为=π．（2）列表：2x﹣0π2πxy020﹣20描点作图：（3）函数f（x）的单调递减区间是：[k，k]（k∈Z）；单调递增区间是[k，k]（k∈Z）．点评： 本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的图象与性质，五点法作图，属于基础题．20.已知函数.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）设函数，，过点作函数图象的所有切线，令各切点得横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值.参考答案：（Ⅱ）令，要使总成立，只需时.对求导得，令，则，()所以在上为增函数，所以. (6分)对分类讨论： （Ⅲ）因为，所以，设切点坐标为，则斜率为，切线方程为，

(11分)将的坐标代入切线方程，得，即， 令，，则这两个函数的图像均关于点对称，它们交点的横坐标也关于对称成对出现，方程，的根即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列的项也关于对称成对出现，在内共构成1006对，每对的和为，因此数列的所有项的和.

(13分)

考点：函数、三角函数与导数的综合应用，用导数来描述函数的单调性、极值以及函数零点.

略21.如图，为椭圆的左右焦点，是椭圆的两个顶点，，，若点在椭圆上，则点称为点的一个“椭点”.直线与椭圆交于两点，两点的“椭点”分别为，已知以为直径的圆经过坐标原点.（1）求椭圆的标准方程； （2）试探讨的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.参考答案：（1）；（2）的面积为定值1.试题解析：（1）由题可得解得，故椭圆的标准方程为.（2）设，，则，.由，即.（*）①当直线的斜率不存在时，.②当直线的斜率存在时，设其直线为，联立得，则，，同理，代入（*），整理得，此时，，∴.综上，的面积为定值1.考点：椭圆的标准方程，解析几何中的新定义问题．【名师点睛】解答圆锥曲线中平面图形的面积问题，如果图形不是三角形，通常把它分割为几个三角形，然后利用弦长公式求得三角形的一边长，再利用点到直线的距离公式公式求得三角形的高，其边长与高通常都用直线的斜率表示，从而确定平面图形面积是定值．22.（14分）已知函数f（x）=x+alnx（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点；利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出f（1）的值，求出f′（1）的值，然后直接代入直线方程的点斜式得切线方程；（Ⅱ）求出原函数的导函数，当a≥0时，在定义域内恒有f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，由导函数的零点对定义域分段，判出在各区间段内导函数的符号，由导函数的符号判断原函数的单调性；（Ⅲ）利用（Ⅱ）求出的函数的单调区间，分a≥0和a＜0讨论，当a＜0时求出原函数的最小值，由最小值大于0求解实数a的取值范围．【解答】解：（I）当a=1时，f（x）=x+lnx，，∴f（1）=1，f'（1）=2，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣1=0；（II）函数f（x）=x+alnx，．当a≥0时，在x∈（0，+∞）时f'（x）＞0，∴f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）与f'（x）在定义域上的情况如下：∴f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．∴当a≥0时f（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调减区间为（0，﹣a），单调增区间为（﹣a，+∞）．（III）由（II）可知，①当a＞0时，（0，+∞