泰州2022-2023学年度第一学期期末调研测试数学期末 - 副本 - 副本

2022-2023学年度第一学期期末调研测试高三数学试题一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，，若，则A． B． C． D．【答案】B 【解析】，则，，，即，，选B.2．若是实系数一元二次方程的一个根，则A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，选C.3．若，则的值为A． B． C． D．【答案】A【解析】时，时，，选A.4．在音乐理论中，若音的频率为，音的频率为，则它们的音分差.当音与音的频率比为时，音分差为，当音与音的频率比为时，音分差为，则A． B．C． D．【答案】C【解析】，，，选C.5．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点，则的值为A． B． C． D．【答案】C【解析】，消可得，令，，，，选C.6．在平面直角坐标系中，已知点，将绕点顺时针旋转后得，则的纵坐标为A． B． C． D．【答案】A【解析】设是角终边上一点，则，，绕点顺时针旋转后得，则，选A.7．已知函数，若，，的最小正周期，则的值为A． B． C． D．【答案】D【解析】，，则，，，即，，，，选D.8．若实数满足，，则的大小关系是A． B． C． D．【答案】D【解析】方法一：，，，，，，，，，，，，，，，选D.方法二：由，而，，，，，，选D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知一组数据为：，则A．标准差为 B．众数为和C．分位数为 D．平均数为【答案】BCD【解析】，D对.，方差为，A错.众数为和，B对.，按大小顺序排为，第位数的平均数为，C对.10．用一个平面截正方体，则截面的形状不可能是A．锐角三角形 B．直角梯形 C．正五边形 D．边长不相等的六边形【答案】BC【解析】如图（1）截面为锐角三角形，A不选.当截面为四边形时可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形，B选.当截面为五边形时，不可能出现正五边形，C选.如图（2）可以是边长不全相等的六边形，D不选，选BC.11．已知定义域为的函数，则A．存在位于的实数，使函数的图象是轴对称图形B．存在实数，使函数为单调函数C．对任意实数，函数都存在最小值D．对任意实数，函数都存在两条过原点的切线【答案】ACD【解析】方法一：时，，为偶函数关于轴对称，A对.，时，，时，不可能恒正或恒负，B错.，，在，，时，有且仅有一个零点，，有最小值.时，有且仅有一个零点，，有最小值.时，有两个零点，，有最小值.，同时有三个零点，在，有最小值，C对.对于D，设切点，，切线：过，，有两解，则有两切线，D对.方法二：最强秒杀对于A，可利用一个结论.若为轴对称图形，则且关于对称，为轴对称图形，，A正确.对于B，，当时，，时，，对，至少有一个变号零点，不可能为单调函数，B错.对于C，当以及时，均，由在上连续，中间必存在最小值，C正确.对于D，设切点，，，在处切线方程为它过原点，有两解，存在两条切线，D正确.选：ACD.12．过圆内一点作两条互相垂直的弦，得到四边形，则A．的最小值为 B．当时，C．四边形面积的最大值为 D．为定值【答案】ABD【解析】方法一：当为中点时最小，，，A对.到的距离分别为，，，，，，B对.，C错..分别取的中点，为定值，D对，选ABD.方法二：当时，最小，此时，A正确.过分别作于点，于点，设，，当时，，此时，，B正确.对于C，，C错.对于D，为定值，D正确，选ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若椭圆的焦点在轴上，且与椭圆的离心率相同，则椭圆的一个标准方程为__________.【答案】【解析】椭圆的离心率为，椭圆可取：.14．某公司决定从甲、乙两名员工中选一人去完成一项任务，两人被选中的概率都是.据以往经验，若选员工甲，按时完成任务的概率为；若选员工乙，按时完成任务的概率为.则选派一名员工，任务被按时完成的概率为__________.【答案】【解析】.15．设正项等比数列的前项和为，若，则的值为__________.【答案】【解析】方法一：等比数列中，成等比数列，成等比数列，，，.方法二：设公比为，，。16．一名学生参加学校社团活动，利用技术打印一个几何模型.该模型由一个几何体及其外接球组成，几何体由一个内角都是的六边形绕边旋转一周得到，且满足，，则球与几何体的体积之比为__________.【答案】【解析】方法一：设，，，，，.方法二：设，旋转形成的几何体为一个圆台挖去一个圆锥，，几何体存在外接球，设中点为，为球心，由，，，，.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）记的内角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若，求的值.【解析】（1），，.（2）由，.18．（12分）已知数列满足，，.（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和.【解析】（1），令，结合，解得，，成首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）知，.19．（12分）甲、乙两个学校进行球类运动比赛，比赛共设足球、篮球、排球三个项目，每个项目胜方得分，负方得分，没有平局，三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲校在三个项目中获胜的概率分别为，各项目比赛互不影响.（1）求乙获得冠军的概率；（2）用表示甲校的总得分，求的分布列与期望.【解析】（1）乙校获得冠军的情形分为乙在两个项目中获胜或三个项目均获胜.（2）的所有可能取值为，，，，的分布列如下：的期望.20．（12分）如图，在三棱台中，已知平面平面，，，.（1）求证：直线平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值.【解析】（1）证明：在等腰梯形中，过作于点，，且，，，，，平面平面，平面平面，平面，，平面.（2）平面，，又，，平面，平面，平面平面，如图建系，则由，，，，.设平面与平面的一个法向量分别为，设平面与平面所成角为，，.21．（12分）在平面直角坐标系中，过点的直线与曲线的左支交于两点，直线与双曲线的右支交于点.已知双曲线的离心率为，当直线与轴垂直时，.（1）求双曲线的标准方程；（2）证明：直线与圆相切.【解析】（1）当轴时，此时，，，由，，，，，在双曲线上，双曲线的标准方程为：.（2）设直线的方程为，，，，，，方程为而，而到直线的距离，直线圆相切.22．（12分）已知函数（为非零常数），记，.（1）当时，恒成立，求实数的最大值；（2）当时，设，对任意的，当时，取得最小值，证明：且所有点在一条定直线上；（3）若函数都存在极小值，求实数的取值范围.【解析】（1）由令，，在上；上，，即的最大值为.（2），，，，，时，，当时，，令当时，；当时，时，取得最小值，且，为在定直线上运动.（3