初中数学浙教版八年级上册第1章三角形的初步知识1．3证明 一等奖

1．3证明(二)(第1题)1．(1)如图，已知∠ABD＝20°，∠ACD＝35°，∠BDC＝110°，则∠A的度数为55°；(2)在△ABC中，∠A＋∠B＝110°，∠C＝2∠A，则∠A＝35°，∠B＝75°．2．(1)如图①，在△ABC中，D，E分别是BC，AC边上的点，AD，BE交于点F，则∠1＋∠2＋∠3＋∠C＝180°．①②(第2题)(2)如图②，D是△ABC的边AC上一点，E为BD上一点，则∠A，∠1，∠2之间的关系是∠2>∠1>∠A．3.如图，将等腰直角三角形ABC绕点A沿逆时针方向旋转15°后得到△AB′C′，B′C′与AB交于点P，则∠C′PB＝__120°__．(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，D，E分别是AC，BD上的点，∠A＝65°，∠ABD＝∠DCE＝30°，则∠BEC的度数是125°．5．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E的度数是(A)(第5题)A.30°B.40°C.60°D.70°6．若三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4，则与之对应的三个内角的度数之比为(C)A．4∶3∶2B．3∶2∶4C．5∶3∶1D．3∶1∶57．直角三角形中的两锐角平分线相交而成的角的度数是(C)A．45°B．135°C．45°或135°D．145°(第8题)8．如图，将一个等边三角形剪去一个角后，∠1＋∠2等于(B)A.120°B.240°C.300°D.360°(第9题)9．如图所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高线，求∠DBC的度数．【解】设∠A＝x，则∠C＝∠ABC＝2x，∴x＋2x＋2x＝180°(三角形三个内角之和为180°)，解得x＝36°.∴∠C＝2×36°＝72°.在△BDC中，∵∠BDC＝90°(已知)，∴∠DBC＝180°－90°－72°＝18°.(第10题)10．如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数是__180°__．【解】延长CE交AB于点K，则∠D＋∠DEC＝∠KHB，∠KHB＋∠B＝∠AKC.∵∠AKC＋∠C＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.(第11题)11．如图，图中∠1，∠2，∠3，∠4的关系为(A)A.∠1＋∠2＝∠4－∠3B.∠1＋∠2＝∠3＋∠4C.∠1－∠2＝∠4－∠3D.∠1－∠2＝∠3－∠4【解】∵∠AEF是△BED的外角，∴∠AEF＝∠2＋∠3.∵∠4是△AEF的外角，∴∠4＝∠1＋∠AEF，∴∠4＝∠1＋∠2＋∠3，∴∠1＋∠2＝∠4－∠3.12．如图，已知AB∥CD，∠1∶∠2∶∠3＝1∶2∶3.求证：BA平分∠EBF.下面给出证法一．(第12题)证法一：设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x.∵AB∥CD(已知)，∴∠2＋∠3＝180°(两直线平行，同旁内角互补)，即2x＋3x＝180°，解得x＝36°，∴∠1＝36°，∠2＝72°.∵∠EBA＋(∠1＋∠2)＝180°(邻补角的定义)，∴∠EBA＝72°＝∠2.∴BA平分∠EBF.请阅读证法一后，找出与证法一不同的证法，并写出证明过程．【解】设∠1，∠2，∠3的度数分别为x，2x，3x.∵∠3是△BFG的一个外角，∴∠BGF＝∠3－∠1＝3x－x＝2x(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和)．又∵AB∥CD(已知)，∴∠EBA＝∠EGF＝2x(两直线平行，同位角相等)．又∵∠2＝2x，∴∠EBA＝∠2，∴BA平分∠EBF.13．(1)如图，将△ABC纸片沿DE折叠成图①，此时点A落在四边形BCDE内部，则∠A与∠1，∠2之间有一种数量关系保持不变，请找出这种数量关系并说明理由；(2)若折成图②或图③，即点A落在BE或CD上时，分别写出∠A与∠2，∠A与∠1之间的关系式，并说明理由；(3)若折成图④，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由；(第13题)(4)若折成图⑤，写出∠A与∠1，∠2之间的关系式，并说明理由．【解】(1)∠1＋∠2＝2∠A.理由如下：如解图①，延长BE，CD交于点P，则△BCP即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE＝∠DPE.连结AP，由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAP＋∠EPA，∠2＝∠DAP＋∠DPA，则∠1＋∠2＝∠DAE＋∠DPE＝2∠DAE，即∠1＋∠2＝2∠A.(2)图②中∠2＝2∠A.理由如下：如解图②，由三角形的外角性质知：∠2＝∠DPE＋∠DAE＝2∠DAE，即∠2＝2∠A.(第13题解)图③中∠1＝2∠A.理由如下：如解图③，∠1＝∠EAP＋∠P＝2∠EAP，即∠1＝2∠A.(3)∠2－∠1＝2∠A.理由如下：如解图④，由三角形的外角性质知：∠2＝∠3＋∠P，∠3＝∠1＋∠A，即∠2＝∠P＋∠1＋∠A＝2∠A＋∠1，故∠2－∠1＝2∠A.(4)∠1－∠2＝2∠A.理由如下：如解图⑤，∠3＝∠A＋∠2，∠1＝∠3＋∠P，即∠1＝∠A＋∠2＋∠P＝2∠A＋∠2，故∠1－∠2＝2∠A.14．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．(第14题)(1)如图①，若AB∥CD，点P在AB，CD外部，则有∠B＝∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD＝∠BPD＋∠D，得∠BPD＝∠B－∠D.将点P移到AB，CD内部，如图②，以上结论是否仍成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD，∠B，∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；(2)在图②中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图③，则∠BPD，∠B，∠D，∠BQD之间有何数量关系(不需证明)?(3)根据(2)的结论求图④中∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．【解】(1)不成立，结论是∠BPD＝∠B＋∠D.证明如下：延长BP交CD于点E.∵AB∥CD，∴∠B＝∠BED.又∵∠BPD＝∠BED＋∠D,∴∠BPD＝∠B＋∠D.(2)∠BPD＝∠BQD＋∠B＋∠D.(3)设