南京市2020-2021学年第一学期期中调研测试高二数学

南京市2020-2021学年第一学期期中调研测试高二数学一、单项选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线x2=2y的焦点为F，准线为，则点F到准线的距离为（）A. B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程可知，即可求解.【详解】因为抛物线x2=2y，所以，即，所以焦点F到准线的距离为1，故选：B2.已知向量，，且，其中、，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由列等式可求出、的值，进而可求得的值.【详解】向量，，且，，解得，因此，.故选：B.3.若sinθ=2cos(π-θ)，则的值为（）A.3 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式化简可求出，利用两角和的正切公式求值即可.【详解】由诱导公式可知，，则，所以，故选：D4.在平面直角坐标系中，若椭圆与双曲线有相同的焦点，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据双曲线解析式得出焦点在轴上，然后令焦距为，根据椭圆与双曲线的、、三者之间的关系解得，最后根据双曲线方程即可求出渐近线方程.【详解】因为椭圆与双曲线有相同的焦点，所以它们的焦点在轴上，令焦距为，则，解得，双曲线，故双曲线的渐近线方程为，故选：D.【点睛】本题考查根据椭圆与双曲线共焦点求双曲线的渐近线方程，在椭圆中有，在双曲线中有，且双曲线的渐近线方程为，要注意焦点在轴还是在轴上，考查计算能力，是中档题.5.在平面直角坐标系中，直线与两坐标轴分别交于点、，圆经过、，且圆心在轴上，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】求出点、的坐标，设圆心坐标为，由可求出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可求得圆的方程.【详解】易知，直线交轴于点，交轴于点，设圆心的坐标为，由可得，解得，所以，圆的半径为，因此，圆的方程为，即为.故选：A.【点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线；（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．6.如图，已知圆柱的底面半径为2，与圆柱底面成角的平面截这个圆柱得到一个椭圆，则该椭圆的焦距为（）

A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图所示，设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点、圆柱的底面中心为O，则，可得，b，求出c，然后求解结果．【详解】如图所示，

设椭圆的长轴为AB，短轴为CD，中心为点，圆柱的底面中心为O，则，可得，，椭圆的焦距为:故选：D7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】用表示出，计算，开方得出AO的长度.【详解】因为四边形是平行四边形，,,,,，即.故选：A8.在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线的左焦点为F，点M，N在双曲线C上，若四边形OFMN为菱形，则双曲线C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用四边形OFMN(O为坐标原点)为菱形，结合双曲线的对称性，求出M的坐标，代入双曲线方程然后求解离心率.【详解】由题意可知，由四边形OFMN为菱形，可得，设点M在F的上方，可知M、N关于y轴对称，可设，代入双曲线方程可得:，又由，化简可得两边同除以，可得，解得，因为，解得，故选：C【点睛】关键点点睛：根据四边形OFMN(O为坐标原点)为菱形，，能写出点M的坐标，是建立方程的关键，结合双曲线的对称性，发现M点横坐标为是突破口.二、多项选择题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，不选或有选错的得0分.9.已知两个不重合的平面α，β及直线m，下列说法正确的是（）A.若α⊥β，m⊥α，则m//β B.若α/β，m⊥α，则m⊥βC.若m//α，m⊥β，则α⊥β D.若m//α，m//β，则α//β【答案】BC【解析】【分析】根据线面和面面的位置关系依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A，若，，则或，故A错误；对选项B，若，，则，故B正确；对选项C，若，则平面内存在直线，使得，又，所以，故，故C正确；对选项D，若，，则或与相交，故D错误.故选：BC10.在平面直角坐标系xoy中，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，点A在椭圆上.若△AF1F2为直角三角形，则AF1的长度可以为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】ABC【解析】【分析】利用已知条件判断三角形的直角顶点的位置，转化求解AF1的长，判断选项即可.【详解】由椭圆可知，焦点坐标为，通径为，因为△AF1F2为直角三角形，所以A为直角顶点时，A在短轴端点，此时AF1的长为2；为直角顶点时，A在y轴左侧，此时AF1的长为1;为直角顶点时，A在y轴右侧，此时AF1的长为3;故选：ABC.11.如图，直线相交于点O，点P是平面内的任意一点，若x，y分别表示点P到的距离，则称（x，y）为点P的“距离坐标”.下列说法正确的是（）

A.距离坐标为（0，0）的点有1个 B.距离坐标为（0，1）的点有2个C.距离坐标为（1，2）的点有4个 D.距离坐标为（x，x）的点在一条直线上【答案】ABC【解析】【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合即可得答案．【详解】对于A，若距离坐标为（0，0)，即P到两条直线的距离都为0，P为两直线的交点，即距离坐标为（0，0)的点只有1个，A正确，对于B，若距离坐标为(0，1)，即P到直线的距离为0，到直线的距离为1，P在直线上，到直线的距离为1，符合条件的点有2个，B正确，对于C，若距离坐标为（1，2)，即P到直线的距离为1，到直线的距离为2，有4个符合条件的点，即四个交点为与直线相距为2的两条平行线和与直线相距为1的两条平行线的交点，C正确，对于D，若距离坐标为（x，x)，即P到两条直线的距离相等，则距离坐标为(x，x)的点在2条相互垂直的直线上，D错误，故选：ABC12.世纪年代，人们发现利用静态超高压和高温技术，通过石墨等碳质原料和某些金属反应可以人工合成金刚石，人工合成金刚石的典型晶态为立方体（六面体）、八面体和立方八面体以及他们的过渡形态.其中立方八面体（如图所示）有条棱、个顶点，个面（个正方形、个正三角形），它是将立方体“切”去个“角”后得到的几何体.已知一个立方八面体的棱长为，则（）A.它的所有顶点均在同一个球面上，且该球的直径为B.它的任意两条不共面的棱所在的直线都互相垂直C.它的体积为D.它的任意两个共棱的面所成的二面角都相等【答案】ACD【解析】【分析】利用立方八面体与正方体之间的关系计算出正方体的棱长，可判断A、C选项的正误；计算出不共面的棱所成角的大小可判断B选项的正误，计算相邻的两个面所成二面角的大小可判断D选项的正误.【详解】如下图所示，由题意可知，立方八面体的顶点为正方体各棱的中点，故立方八面体的棱为正方体相邻两条棱的中点的连线，故正方体棱长为，由对称性可知，立方八面体的外接球球心为正方体的中心，外接球的直径为正方体的面对角线长，该球的半径为，A选项正确；设、为立方八面体的两条不共面的棱，如下图所示，则，在正方体中，且，则四边形为平行四边形，，，由于，易知为等边三角形，则，所以，与所成角为，B选项错误；立方八面体的体积为，C选项正确；设正方体底面的中心为点，连接交立方八面体的棱于点，连接，则为的中点，且为等边三角形，所以，，，为的中点，，、分别为、的中点，则，，所以，为立方八面体的底面与由平面所成二面角的平面角，立方八面体的棱长为，，，，平面，平面，，在中，，所以，，同理可知，立方八面体的相邻两个面所成二面角的余弦值为，D选项正确.故选：ACD.【点睛】作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在平面直角坐标系中，已知直线和直线，，若与平行，则与之间的距离为_________.【答案】【解析】【分析】利用两直线平行求出参数的值，然后利用平行线间的距离公式可求得直线与之间的距离.【详解】由于直线与平行，则，解得，所以，直线的方程为，直线的方程为，因此，直线与之间的距离为.故答案为：.14.在空间直角坐标系中，若三点A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)满足：，则实数a的值为_________.【答案】【解析】【分析】先根据点的坐标得到，的坐标表示，再根据向量垂直对应的数量积为零计算出的值即可.【详解】由题意，所以，解得.故答案为：15.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术•商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术•商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中PA⊥平面ABC，PA=AC=1，BC=，则四面体PABC的外接球的表面积为________.【答案】【解析】【分析】根据“鳖臑”四面体PABC的特征，可确定外接球球心为的中点，即可求解.【详解】如图，由题意,则取的中点为点，可得，即为球心，则其半径，则其表面积为，故答案为：16.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系xoy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为___________.

【答案】(1).(2).【解析】【分析】根据题意，设桥拱所在抛物线的方程为，溢流孔ABC所在方程为，运用待定系数法，求得，，可得右边第二个溢流孔所在方程，联立抛物线方程，可得所求.【详解】设桥拱所在抛物线方程，由图可知，曲线经过，代入方程，解得：，所以桥拱所在抛物线方程；四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线，由图抛物线经过点，则，解得，所以，点即桥拱所在抛物线与的交点坐标，设由，解得：所以点A的横坐标为.故答案：；【点睛】关键点点睛：此题考查根据实际意义求抛物线方程和交点坐标，关键在于合理建立模型正确求解，根据待定系数法，及平移抛物线后方程的形式即可.四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算骤.17.在①sin(A-B)=sinB+sinC；②2acosC=2b+c；③△ABC面积（a2-b2-c2）三个条件中任选一个（填序号），补充在下面的问题中，并解答该问题.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，，D是边BC上的一点，∠BAD=，且b=4，c=2，求线段AD的长.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】选择条件①②③，.【解析】【分析】首先选择条件②，利用正弦定理，结合三角形内角和以及诱导公式求得，得到，利用余弦定理求得，再利用余弦定理求得，之后在直角三角形中，求得结果.【详解】若选①，因为sin(A-B)=sinB+sinC，所以，即，因为，所以，因为，所以，由余弦定理可得，所以，，所以在中，，所以有，所以.选择条件②；因为2acosC=2b+c，所以有，在三角形中，所以有，整理得，因为，所以，由余弦定理可得，所以，，所以在中，，所以有，所以.若选③，因为（a2-b2-c2），所以，由正弦定理可得，整理得，因为，所以，由余弦定理可得，所以，，所以在中，，所以有，所以.【点睛】方法点睛：关于此类问题的解题方法有：（1）根据自己对题中条件的理解，选择好条件；（2）利用正余弦定理对式子进行边角转化，结合三角形的内角和以及诱导公式求得角的大小；（3）从余弦定理入手求边长；（4）观察图形的特征，解三角形即可得结果.18.在平面直角坐标系xoy中，已知圆F：（x-2）2+y2=1，动圆M与直线：x=-1相切且与圆F外切.(1)记圆心M的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)已知A（-2，0），曲线C上一点P满足PA=PF，求∠PAF的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义即可求出曲线的方程；（2）求出的坐标，利用的斜率即可求出∠PAF的大小.【详解】(1）设M(x，y)，圆M的半径为r.点M到点F(2，0)的距离等于M到定直线的距离，根据抛物线的定义知，曲线C是以F(2，0)为焦点，为准线的抛物线.故曲线C的方程为（2）设,由，得，又，解得，故，所以，故19.如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）求证：平面；（2）若，，且，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于点，再连接，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可得出平面；（2）取的中点，连接，证明出平面，求出的长以及的面积，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积.【详解】（1）如下图所示，连接交于点，再连接，则为的中点，、分别为、的中点，则，平面，平面，因此，平面；（2）取的中点，连接，在直三棱柱中，平面，平面，，，，平面，、分别为、的中点，则且，平面，平面，平面，，且，，所以，三棱锥的体积为.【点睛】若所给几何体体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解，利用等体积法要结合线面垂直的条件或结论来确定的底面与高来求解.20.在平面直角坐标系xoy中，已知圆O：x2+y2=1，点A，B是直线x-y+m=0(m∈R)与圆O的两个公共点，点C在圆O上.（1）若△ABC为正三角形，求直线AB的方程；（2）若直线x-y-=0上存在点P满足，求实数m取值范围.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根据圆心到直线的距离列方程计算的值，得出直线的方程；（2）求出以为直径的圆的方程，令直线与圆有公共点列出不等式，解出的范围．【详解】（1）圆的半径为1，若是正三角形，则到的距离为，，，直线的方程为或．（2）直线与圆有两个公共点，，即，，的中垂线方程为，联立方程组可得，即的中点坐标为，，以为直径的圆的方程为，直线上存在点满足，直线与圆有公共点，，解得．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系，解题关键是利用圆心到直线的距离判定直线与圆的位置关系．本题中根据条件为直径的圆的方程，然后直线上存在点满足，转化为直线与圆有公共点．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．21.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；（2）设二面角的大小为，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值；（2）求出平面和平面的法向量，利用空间向量法可得出关于实数的方程，结合可求得实数的值.【详解】（1）平面平面，平面平面，，平面，平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则、、、、，当时，，则，设平面的法向量为，，，由，可得，得，取，则，，所以，平面的一个法向量为，，因此，直线与平面所成角的正弦值为；（2）设平面的一个法向量为，，，由，得，可得，令，则，，所以，平面一个法向量为，设平面的一个