2021-2022学年杭州市下城区启正中学初三数学第二学期开学试卷及解析

2021-2022学年杭州市下城区启正中学初三数学第二学期开学试卷一.选择题（共10小题）1．下列事件为必然事件的是（）A．明天要下雨B．a是实数，|a|≥0C．﹣3＜﹣4D．打开电视机，正在播放新闻2．若2a＝3b，则＝（）A．B．﹣C．D．﹣3．下列两个图形一定是相似图形的是（）A．菱形B．矩形C．等腰三角形D．等边三角形4．一个圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角为72°，则该正多边形的边数是（）A．4B．5C．6D．75．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，则cosB的值是（）A．B．C．D．6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F．若＝，则的值为（）A．7．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，若AB＝2（）A．3﹣B．1+C．﹣1D．﹣2B．C．D．8．直角三角形的外接圆半径为3，内切圆半径为1，则该直角三角形的周长是（）A．12B．14C．16D．189．二次函数y＝ax2+（1﹣a）x+4﹣2a的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．与y轴交点的纵坐标小于4B．对称轴在直线x＝0.5左侧C．与x轴正半轴交点的横坐标小于2D．抛物线一定经过两个定点10．如图，四边形ABCD中，对角线AC，若∠BAC＝∠BDC，则下列结论中正确的是（）①；②△ABE与△DCE的周长比③∠ADE＝∠ABC；；④S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④二.填空题（共6小题）11．已知△ABC∽△DEF，相似比为3，则它们的周长之比是．12．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有颜色不同），其中3个是红球，1个是黑球，是黑球的概率为．13．若扇形的面积为24π，圆心角为216°，则它的弧长是．14．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝x2与反比例函数y＝（x＞0）的图象如图所示，若两个函数图象上有三个不同的点A（x1，a），B（x2，a），C（x3，a），其中a为常数，令ω＝x1+x2+x3，则ω的值为．15．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD＝1，CH⊥BD于H，连接OH，则OH＝．16．如图，点A是抛物线y＝x2上不与原点O重合的动点，AB⊥x轴于点B，过点B作OA的垂线并延长交y轴于点C，则线段OC的长是，AC的最小值是．三.解答题（共7小题）17．在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中，获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球，摸到一个白球奖励一个“琮琮”，摸到一个黄球奖励一个“莲莲”．一个获奖者先从布袋中任意摸出一球，再摸出一球，求得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率．18．设二次函数y＝ax2+bx﹣3（a，b是常数，a≠0），部分对应值如表：xy……﹣2﹣1012……50﹣3﹣4﹣3（1）试判断该函数图象的开口方向．（2）当x＝4时，求函数y的值．（3）根据你的解题经验，直接写出ax2+bx﹣3＜﹣3的解．19．如图，在△ABC中，AD是角平分线，且满足∠ADE＝∠B．（1）证明：△ADB∽△AED．（2）若AE＝3，AD＝5，求AB的长．20．如图，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上的中点，过点C作直线CD⊥AE于D（1）试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AD＝2，AC＝，求AB的长．21．如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．22．已知二次函数y＝x2+2bx+c（1）若b＝c，是否存在实数x，使得相应的y的值为1？请说明理由；（2）若b＝c﹣2，y在﹣2≤x≤2上的最小值是﹣3，求b的值．23．已知，如图，⊙O中两条弦AB，且AB＝CD．（1）求证：；（2）若∠AEC＝80°，求∠A的度数；（3）过点B作BH⊥AD于点H，交CD于点G，若AE＝2BE参考答案与试题解析一.选择题（共10小题）1．【解答】解：A．明天要下雨，故A不符合题意；B．a是实数，这是必然事件；C．﹣3＜﹣4，故C不符合题意；D．打开电视机，这是随机事件；故选：B．2．【解答】解：∵2a＝3b，∴＝．故选：A．3．【解答】解：A、两个菱形的对应边的比相等，不一定是相似图形；B、两个矩形的对应角相等，不一定是相似图形；C、两等腰三角形不一定相似；D、两个等边三角形一定相似；故选：D．4．【解答】解：设正多边形的边数为n．由题意可得：∴n＝5，＝72°，故选：B．5．【解答】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10，∴cosB＝＝＝，故选：D．6．【解答】解：∵＝，＝，∵l1∥l7∥l3，∴∴＝＝．故选：B．7．【解答】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，∴AC＝AB＝，∴BC＝AB﹣AC＝3﹣故选：A．，8．【解答】解：如图，设⊙I切AB于E，切AC于D，IF，则∠CDI＝∠C＝∠CFI＝90°，ID＝IF＝1，∴四边形CDIF是正方形，∴CD＝CF＝1，由切线长定理得：AD＝AE，BE＝BF，∵直角三角形的外接圆半径为5，内切圆半径为1，∴AB＝6＝AE+BE＝BF+AD，即△ABC的周长是AC+BC+AB＝AD+CD+CF+BF+AB＝4+1+1+4＝14，故选：B．9．【解答】解：由图象知，抛物线开口向下，∴a＜0，令x＝0，则y＝7﹣2a＞4，∴抛物线与y轴的交点大于3，故A错误；二次函数的对称轴为x＝∵a＜3，，∴＞，故对称轴在x＝2.5右侧，故B错误；取a＝﹣1，抛物线为y＝﹣x4+2x+6，其与x轴正半轴的交点为：x＝＝1+，故C错误；y＝ax6+（1﹣a）x+4﹣3a＝a（x2﹣x﹣2）+x+5，令x2﹣x﹣2＝4，解得：x＝2或x＝﹣1，当x＝7时，y＝6，当x＝﹣1时，y＝3，∴抛物线经过点（2，6）和（﹣4，故D正确．故选：D．10．【解答】解：①∵∠BAC＝∠BDC，∠AEB＝∠DEC，∴△AEB∽△DEC，∴；故①正确；②∵△AEB∽△DEC，∴△ABE与△DCE的周长比③∵∠BAC＝∠BDC，∴A，B，C，D共圆，∴∠ADE＝∠ACB，；故②正确；如果∠ADE＝∠ABC，∴∠ABC＝∠ACB，但这两个角不一定相等，故③错误；④假设S△ABE•S△DCE＝S△ADE•S△BCE．∴＝，∵△ABE和△ADE共高，∴＝，∵△BCE和△DCE共高，∴∴＝＝，，故④正确．∴结论中正确的是①②④，故选：C．二.填空题（共6小题）11．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3，∴它们的周长之比为3，故答案为：3．12．【解答】解：因为袋子中共有4个球，其中黑球只有1个，所以从中任意摸出一个球，是黑球的概率为，故答案为：．13．【解答】解：设扇形的半径为R，弧长为l，∵扇形的面积为24π，圆心角为216°，∴＝24π，解得：R＝2（负数舍去），∴×l＝24π，π，解得：l＝即它的弧长是故答案为：π，π．14．【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a）在二次函数y＝x8的图象上，∵二次函数y＝x2的图象关于y轴对称，∴当y＝a时，x1、x2关于y轴对称，所以x1+x2＝8，∵C（x3，a）在反比例函数的图象上，∴当y＝a时，x3＝，因此ω＝x1+x2+x2＝．故答案为：．15．【解答】解：在BD上截取BE＝CH，连接CO，∵∠ACB＝90°，CH⊥BD，∵AC＝BC＝3，CD＝1，∴BD＝，∴△CDH∽△BDC，∴，∴CH＝，∵△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，∴AO＝OB＝OC，∠A＝∠ACO＝∠BCO＝∠ABC＝45°，∴∠OCH+∠DCH＝45°，∠ABD+∠DBC＝45°，∵∠DCH＝∠CBD，∴∠OCH＝∠ABD，在△CHO与△BEO中，∴△CHO≌△BEO，，∴OE＝OH，∠BOE＝∠HOC，∵OC⊥BO，∴∠EOH＝90°，即△HOE是等腰直角三角形，∵EH＝BD﹣DH﹣CH＝﹣﹣＝，∴OH＝EH×＝，故答案为：．16．【解答】解：设点A（a，a8），则点B坐标为（a，∴OB＝|a|，AB＝a7，∵∠AOB+∠OBC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，∴∠AOB＝∠BCO，∴△AOB∽△BCO，∴，∴OB2＝CO•AB，即a2＝a2•CO，解得CO＝6，∴C（0，8），∵AC5＝（xc﹣xA）2+（yC﹣yA）2＝a7+a4﹣6a2+64＝（a8﹣64a2）+64＝（a6﹣32）2+48，∴当a2＝32时，AC4＝48为最小值，即AC＝4故答案为：2，4．．三.解答题（共7小题）17．【解答】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的结果有2种，∴得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为＝．18．【解答】解：（1）∵图象经过（0，﹣3），﹣6），∴图象对称轴为直线x＝由表格可得，x＜1时，＝1，∴抛物线图象开口向上；、（2）∵（﹣5，5）关于直线x＝1的对称点是（4，∴x＝4时，函数y的值为5；（3）∵抛物线开口向上，且经过点（2，（2，∴当0＜x＜8时，ax2+bx﹣3＜﹣7，故ax2+bx﹣3＜﹣8的解为0＜x＜2．19．【解答】（1）证明：∵AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠EAD．∵∠ADE＝∠B，∴△ADB∽△AED．（2）解：∵△ADB∽△AED，∴，∵AE＝3，AD＝5，∴，∴AB＝．20．【解答】解：（1）相切，连接OC，∵C为的中点，∴∠1＝∠2，∵OA＝OC，∴∠5＝∠ACO，∴∠2＝∠ACO，∴AD∥OC，∵CD⊥AD，∴OC⊥CD，∴直线CD与⊙O相切；（2）方法1：连接CE，∵AD＝2，AC＝∵∠ADC＝90°，∴CD＝，＝，∵CD是⊙O的切线，∴CD2＝AD•DE，∴DE＝4，∴CE＝＝，∵C为的中点，∴BC＝CE＝，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝3．方法2：∵∠DCA＝∠B，易得△ADC∽△ACB，∴＝，∴AB＝4．21．【解答】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝5BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即，∴．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym8，则，∵，∴BE＝10﹣x＞4，解得x＜，∴（0＜x＜）．22．【解答】解：（1）由y＝1得x2+6bx+c＝1，∴x2+6bx+c﹣1＝0∵△＝6b2﹣4b+8＝（2b﹣1）7+3＞0，则存在两个实数，使得相应的y＝7；（2）由b＝c﹣2，则抛物线可化为y＝x2+8bx+b+2，其对称轴为直线x＝﹣b，①当x＝﹣b≤﹣2时，则有抛物线在x＝﹣4时取最小值为﹣3﹣3＝（﹣7）2+2×（﹣7）b+b+2，解得b＝3；②当x＝﹣b≥8时，则有抛物线在x＝2时取最小值为﹣3﹣2＝22+5×2b+b+2，解得b＝﹣，舍去，③当﹣2＜﹣b＜2时，则＝﹣62﹣b﹣5＝7，解得：