高中数学人教A版第二章基本初等函数（Ⅰ）幂函数 全市获奖

第一课时：幂函数一、课前准备1．课时目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象.（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质.（3）重点：常见幂函数的概念、图象和性质2．基础预探（1）、所有幂函数在都有定义，并且图象都过点.（2）、①如果，则幂函数的图象过，且在区间上为.②，则幂函数图象在区间上是，在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近，当趋向于时，图象在轴上无限地逼近.（3）、当为奇数时，幂函数为；当为偶数时，幂函数为.（4）、下列形式的函数为幂函数的是：①；②；③；④；⑤，则.(5)、若函数在第一象限，其值随的增大而减小，则的取值范围是.(6)、幂函数的性质：定义域值域奇偶性单调性在上单调递增.在上单调递减；在上单调递增.在上单调递增.在上单调递增.在和上单调递增.定点二、基本知识习题化1.若幂函数在上是增函数，则（）.A．>0 B．<0 C．=0 D．不能确定2.函数的图象是（）.A.B.C.D.3.若，那么下列不等式成立的是（）.A．<l< B．1<<C．<l< D．1<<4.比大小：（1）；（2）.5.已知幂函数的图象过点，则它的解析式为.三、学习引领1．幂函数的定义一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数。说明：幂函数是五类基本初等函数中的一种，幂函数随的不同，其定义域、值域、单调性、奇偶性等都有较大的差异，但一旦具体确定后，幂函数的性质又比较容易确定，因此对幂函数的研究往往都是从具体的函数入手，对其进行分类讨论，以达到以简驭繁的目的。（1）只有形如的函数才是幂函数，如，，等形式的函数不是幂函数。（2）定义域、值域当时，，定义域为，值域为；当时，若为偶函数，如，等，定义域为，值域为；若为奇函数，如，等，定义域为，值域为；若为非奇非偶函数，如，等，，。当时，类似讨论。2．幂函数中，当=1，2，3，，时性质如下表所示：定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增时，增增增时，减时，减时，减定点结合以上特征，得幂函数的性质如下：（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都通过点。（2）如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上为增函数。（3）如果，则幂函数的图象在区间上是减函数。在第一象限内，当从右边趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在趋上方无限地逼近轴。（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。说明：①无论为何实数，幂函数的图象一定经过第一象限，且一定不经过第四象限；②作直线，它与若干个幂函数的图象相交，交点从上到下的排列顺序，正是按幂指数的降序排列的，由此可以判断不同幂函数图象的幂指数的大小；③函数图象的画法是：列表、描点、连线，那么幂函数的图象也可用此法画出。3．形如（其中，）幂函数的性质（1）当为偶数时，为偶函数；图象关于轴对称。（2）当、都为奇数时，为奇函数；图象关于原点对称。（3）当为偶数且为奇数时，是非奇非偶函数，图象只能在第一象限内。4、幂函数的图象和性质与其他函数相比，幂函数的图象的位置和形状变化复杂因为指数稍有变化，图象的位置和形状就可能发生很大的变化，作为幂函数图象时，重点考虑定义域、奇偶性、单调性及曲线变成趋向，特别在第一象限内，可把它大概分为四种情形.幂函数的图象在第一象限内具有如下特征：直线将直线坐标平面在第一象限的直线的右侧分为三个区域（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ），如图所示：11（Ⅱ）（Ⅰ）11（Ⅱ）（Ⅰ）（Ⅲ）的图象经过区域（Ⅱ）；的图象经过区域（Ⅲ）；并且在直线的右侧，从轴起，幂函数的指数由小到大递增，即“指大图高”、“指小图低”在直线的左侧，图象从下到上，相应的指数由大变小.四、典例导析题型一、根据幂函数的概念的考查例1已知是幂函数，求m，n的值.解析：由题意得，解得，所以.点评：做本题时，常常忽视m2+2m–2=1且2n表达式y=(x∈R)的要求比较严格，系数为1，底数是x，∈R为常数，如，y=1=x0为幂函数，而如y=2x2，y=(x–1)3等都不是幂函数.变式练习1、下列函数中，是幂函数的是=－x =3x2 = =2x题型二、幂式的比较大小：例2、例2比例下列各组数的大小.（1）；（2）(–2)–3和(––3；（3）–和–；（4）.分析：比较两个或多个数值的大小，一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一函数的不同函数值的大小问题，进而根据所确定的函数的单调性，比较自变量的大小即可.若所给的数值不能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题，可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较，确定出它们的大小关系，一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“－1”或“0”这些数作为中间量来进行比较.解析：（1），函数在(0,+∞)上为增函数，又，则，从而.（2）幂函数y=x–3在(–∞,0)和(0,+∞)上为减函数，又∵–2＞–，∴(–2)–3＜(––3.（3）幂函数y=x–在(0,+∞)上为减函数，又∵＜，∴–＞–.（4）＞=1；0＜＜=1，＜0，∴＜＜.点评：比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.变式练习2、比较下列各组数的大小：（1），，1；（2）（－），（－），；（3），，（－）；（4），.题型三、幂函数的图象与性质例3、证明幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.分析：利用单调性的定义证明，设出变量，根据变量的大小关系，作差研究函数值的大小关系，从而判定函数的单调性.证明：设，且，则f（x1）－f（x2）=－==，因为x1－x2＜0，+＞0，所以f（x1）＜f（x2），即幂函数f（x）=在［0，+∞）上是增函数.小结：以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得＜1后，要比较f（x1）与f（x2）的大小，要注意分母的符号.变式练习3、求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性.（1）y=x；（2）y=x；（3）y=x－2.五、随堂练习1．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （）A． B． C． D．2．下列函数中既是偶函数又是 （）A． B． C． D．3．如图1—9所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（）A．B．C．D．4．函数的定义域是.5．的解析式是 .6．比较下列各组中两个值大小（1）六、课后作业1．函数在区间上的最大值是 （）A． B． C． D．2．下列命题中正确的是 （）A．当时函数的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数D．幂函数的图象不可能出现在第四象限3．当时，函数的图象恒在的下方，则的取值范围是_________.4．幂函数图象在一、二象限，不过原点，则的奇偶性为.5．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系. （A）（B）（C）（D）（E）（F）6．由于对某种商品开始收税，使其定价比原定价上涨x成（即上涨率为），涨价后，商品卖出个数减少bx成，税率是新定价的a成，这里a,b均为正常数，且a<10，设售货款扣除税款后，剩余y元，要使y最大，求x的值.第一课时：幂函数答案解析一、课前准备2．基础预探（1）、，（2）、①和，增函数②减函数，y轴，x轴（3）、奇函数；偶函数。（4）、⑤(5)、(6)、略二、基本知识习题化1.解析：根据幂函数性质可得当时，在上是增函数，故选A.2.解析：由题意得，函数为偶函数，且在第一象限内单调递增，故选A.3.解析：由题意得，根据函数的单调性，可知，故B.4.解析：根据函数的单调递增函数，可得；根据函数为单调递减函数，得.5.解析：设幂函数的解析式为，则，所以.四、典例导析变式练习1、解析：根据幂函数的定义，可得是幂函数.2、解析：（1）∵又函数y=x在（0，+∞）上单调递增，且＞＞1，所以＞＞1.（2）（－）=（），（－）=（），=［（）2］=.∵幂函数y=x在（0，+∞）上单调递减，且＜＜，∴（）＞（）＞，即（－）＞（－）＞.（3）利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0＜＜1，＞1，（－）＜0，从而可以比较出它们的大小.（4）它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现＜＜.3、解：（1）函数y=x，即y=，其定义域为R，是偶函数，它在［0，+∞）上单调递增，在（－∞，0］上单调递减.（2）函数y=x，即y=，其定义域为（0，+∞），它既不是奇函数，也不是偶函数，它在（0，+∞）上单调递减.（3）函数y=x－2，即y=，其定义域为（－∞，0）∪（0，+∞），是偶函数.它在区间（－∞，0）和（0，+∞）上都单调递减.五、随堂练习1．解析：根据幂函数的定义，可得函数为幂函数，故选B2．解析：由幂函数的图象与性质，可得，函数在上是增函数，故选C。3．解析：由题意，画出直线，通过交点可判定，故选C。4．解析：由，所以函数的定义域为，即函数的定义域为.5．解析：由题意，设幂函数，带入点，即，所以函数的解析式为.6．解：（1），.（2）函数上增函数且六、课后作业1．解析：由幂函数的图象与性质，得函数在为单调递减函数，所以，故选C.2．解析：由幂函数的定义，得A中，当时，表示除去原点的一条直线；B中，当时，幂函数的图象不经过原点；C中，如是奇函数，但在定义域内不是单调函数；D是正确的，根据函数的定义，幂函数在第四象限不可能出现图象.3．解析：由题意可知，函数在图象恒在的下方时，.4．解析：根据幂函数的性质，得为奇数，是偶数.5．解：六个幂函数的定义域，