初中数学北师大版八年级下册第一章三角形的证明本章复习与测试 全市获奖

第一章三角形的证明博士寄语：亲爱的同学们，前面我们通过“观察、实验、猜想”获得了一些有关等腰三角形、直角三角形、线段的垂直平分线、角平分线的结论，这种发现的过程，可称为教学推理中的“合情推理”．本章是对以往“合情推理”所获得的有关结论通过“寻求证据、引用公理进行证明，或举反例进行证实”，可称为数学推理中的“演绎推理”，它有助于培养同学们思维的严谨性、逻辑性，养成“说理有据”的习惯，形成证明意识.为更有效地学好本章内容，博士还想告诉你：本章学习目标：1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步体会证明的必要性，掌握综合法的证明方法，体会反证法的含义，发展演绎推理能力．2．了解公理的内容，会证明与三角形、线段的垂直平分线、角平分线有关的性质定理及判定定理，并能够运用其进行相关证明．3．了解逆命题的概念，会识别互逆命题.4．会用尺规作已知线段的垂直平分线和角的平分线，已知底边和底边上的高作等腰三角形．本章重点难点：本章重点：在“对以往探索发现的结论的推理证明”过程中，掌握综合法的证明方法，进一步体会证明的必要性，发展逻辑推理能力．本章难点：将探索发现和证明有机地结合起来，使数学思维的创造性与严谨性协调发展，并在“一题多解”的训练中，开阔视野，活跃思维．本章学习建议：1.通过适量的、难度适宜的命题证明，掌握证明的基本方法，体会证明的意义，协调发展推理能力，而不要过于追求证明的技巧及题目的数量和难度．2．对于“等腰三角形三线合一”“等角对等边”“直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半”等结论的推证，能够采取多种添加辅助线的方法进行一题多证，培养思维的开阔性.3.反证法是一种重要的证明方法.通过生活实例和简单的数学例子，初步体会反证法思想，但不必掌握反证法的严格的证明格式.4.在掌握“角平分线”“线段的垂直平分线”基本尺规作图的同时，关注通过证明去验证尺规作图的有效性、正确性，体现严谨的推理论证意识，并能够将尺规作图应用到解决实际问题中.5.关注在折叠问题中对边、角、三角形的探索发现，有助于培养同学们的空间想象力和观察分析能力.等腰三角形第一课时学习目标1.了解作为证明基础的几条公理的内容，掌握证明的基本步骤和书写格式；2.经历“探索—发现—猜想—证明”的过程，能够用综合法证明等腰三角形的有关性质定理；3.能够灵活运用公理和等腰三角形有关性质定理进行相关题目的证明，进一步发展推理能力.同步练习1.如图，已知，则不一定能使的条件是（）A.B.C.D.2.如图，在和中，，.若根据“”说明，则应添加条件_____________________；若根据“”说明，则应添加条件_____________________；若根据“”说明，则应添加条件______________________.3.如图，在中，，，是边上的中线，，则的度数为___________.4.两块完全相同的三角形纸板和，按如图所示的方式叠放，阴影部分为重叠部分，点为边和的交点.不重叠的两部分与是否全等？为什么？5.如图，是等边的边上一点，以为一边向外作等边，连接.请找出图中的一组全等三角形，并进行证明.正误辨析6.如图，已知，，求证：.错误解法：证明：（已知），（等边对等角）.①在和中，，②（全等三角形的对应边相等）.③错因分析：上面的第①、②、③环节，哪一个是错误的，为什么？正确解法：（请同学们自己完成）拓展与延伸7.如图，，，，点是的中点.（1）求证：；（2）在你连接后，还能得出什么新的结论？（请写出三个，不证明）第二课时学习目标1.能够运用已有公理、定理推证等腰三角形的有关性质；2.会运用等腰三角形的性质解决实际问题.同步练习1.如图，在平行四边形中，已知，，平分交边于点，则等于_____________.2.已知等边三角形的边长为，则它一边上的高是___________，它的面积是__________.3.如图，与是两个全等的等边三角形，且，有下列四个结论：①；②；③直线与垂直；④四边形是轴对称图形.其中正确的个数是（）.A.个B.个C.个D.个观察与思考4.求证：等腰三角形两腰上的中线相等.拓展与延伸5.如图，在等边中，为的中点，为延长线上一点，且，若的周长为，则的周长为（）A.B.C.D.6.在中，以、为边向外作两个等边三角形和三角形，连接、、和相交于（）求证：（1）；（2）求的度数.第三课时学习目标1.能够运用已有公理、定理推证等腰三角形的判定定理；2.了解反证法的推理方法；3.会运用“等角对等边”解决实际应用问题及相关证明题.同步练习1.如图，，，，则图中的等腰三角形一共有__________个.2.如图，已知是的、的角平分线的交点，交于，交于.若，则的周长等于________.3.如图，已知，.（1）求证：；（2）若于，求证：.正误辨析4.如图，已知中，.求证：.错误解法：证明：取中点，连接.是中点（已知），（中点定义）①在和中，，②（全等三角形对应边相等）.③错因分析：上面的第①②③环节中，哪一个是错误的？为什么？正确解法：（请同学们自己完成）观察与思考5.如图，已知中，，于，于，与交于点.（1）求证：；（2）连接，请找出图中所有的等腰三角形（除外）并进行证明.拓展与延伸6.已知：如图，中，，在上取一点，在的延长线上取一点，作，连接，交于点.求证：.第四课时学习目标1.掌握“等边三角形判定”定理及“角的直角三角形性质”定理的推证；2.会运用上述结论进行相关的计算和证明，进一步培养几何推理的严谨性、条理性.同步练习1.如图，中，，，于，，则______.2.如图，中，，，交于，，则______.3.如图，是等腰三角形内一点，将绕点顺时针方向旋转，得到，若，则______________.4.如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接，那么的长为_____________.观察与思考5.已知：如图，中，，，，.（1）判断是什么特殊的三角形，并证明你的结论；（2）求证：.拓展与延伸6.如图，是等边三角形，，、相交于，于.求证：.直角三角形第一课时学习目标1.会证明勾股定理及其逆定理，并能够用之进行计算、证明；2.结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立.同步练习1.下列说法中正确的是（）.A.如果一个命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题B.任何定理一定有逆定理C.任何命题一定有逆命题D.定理一定是命题，但不一定是真命题2.下列命题中，真命题是（）.A.周长相等的锐角三角形都全等B.周长相等的直角三角形都全等C.周长相等的钝角三角形都全等D.周长相等的等腰直角三角形都全等3.命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是：_____________________________，此逆命题是________________________（填“真命题”或“假命题”）4.如图，在中，，，，则的长为________，的长为______________.5.如图，长方体的长为，宽为，高为，点离点的距离为，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点爬到点，需要爬行的最短距离是（）.A.B.C.D.6.如图，，，，，，则四边形的面积____________.观察与思考7.如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边使点落在边的点处，已知，，求的长.第二课时学习目标能够运用证明直角三角形全等的“”定理解决相关证明题.同步练习1.满足下列条件的两个三角形一定全等的是（）.A.腰相等的两个等腰三角形B.两个角对应相等的两个直角三角形C.斜边对应相等的两个直角三角形D.底相等的两个等腰直角三角形2.如图，于，于，下列条件：①是的平分线；②；③；④.其中能够证明的条件的个数有（）A.个B.个C.个D.个3.如图，已知，.求证：.观察与思考4.如图，已知，是上一点，，求证：.拓展与延伸5.求证：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形.（尝试用两种方法进行证明）线段的垂直平分线第一课时学习目标1.掌握线段的垂直平分线定理及逆定理的证明过程，并会运用它们进行相关题目的计算与证明；2.会用尺规作线段的垂直平分线，并了解作图的实质是通过构造全等三角形得到线段的垂直平分线，能够通过线段的垂直平分线的尺规作图，解决有关作图的实际应用题.同步练习1.如图，，，交于点，则下列说法正确的个数是（）①垂直平分；②垂直平分；③平分；④平分.A.个B.个C.个D.个2.如图，中，，是的垂直平分线，交于，垂足为点.若，则的度数是______________.3.如图，已知中，，的垂直平分线交于.（1）若，则的度数为____________；（2）若，，的周长为___________.4.如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于，，则___________.观察与思考5.已知线段.（1）求作：线段的中点；（2）求作：线段的四等分点.6.如图，在中，，，是的平分线，交于点.求证：点在的垂直平分线上.走进生活7.如图，、是两个村庄，是一条公路，为使两个村庄的居民出行方便，现在要在公路上建一个公共汽车站，并使得该公共汽车站到、两个村庄的距离相等，请作出该公共汽车站的位置.第二课时学习目标1.通过作三角形的三边的垂直平分线，探究发现其相关性质；2.初步体会三线交于一点的证明方法；3.掌握有关等腰三角形的一些特殊尺规作图.同步练习1.在联欢晚会上，有，，三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜.为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是的（）.A.三边中线的交点C.三边上高的交点B.三条角平分线的交点D.三边中垂线的交点2.如图，是三边的垂直平分线的交点，，且，则________.3.、两点在线段的中垂线上，且，，则等于（）.A.B.C.或D.或4.已知线段，求作以线段为底的等腰直角三角形.走进生活5.如图，现有三个村庄，，，为了解决村民子女的入学问题，拟新建一所小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请在图上用尺规作出学校的位置.角平分线第一课时学习目标1.掌握角平分线定理及其逆定理的证明过程，并会运用它们进行相关题目的计算与证明；2.会用尺规作角的平分线，并了解作图的实质是通过构造全等三角形得到角平分线；3.能够通过角平分线的尺规作图解决有关实际问题.同步练习1.用尺规作图法作的平分线的方法如下：以为圆心，以任意长为半径画圆弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，由作法得的根据是（）A.B.C.D.2.如图，在中，是它的角平分线，，，那么与的面积比是（）.A.B.C.D.不能确定3.如图，中，，于，是上一点，于.若，则____________度.4.已知：如图，，交于点，.求证：平分.拓展与延伸5.如图，在中，，平分，于.如果，，求：（1）的长；（2）的长.第二课时学习目标1.通过尺规作图，发现并推证三角形三条角平分线交于一点，且此点到三角形三边距离相等；2.能够综合运用角平分线定理及逆定理解决有关的计算与证明题.同步练习1.到三角形三边距离相等的点，是这个三角形的（）A.三条中线的交点B.三条角平分线的交点C.三边垂直平分线的交点D.三条高线的交点2.如图，一张直角三角形纸片，沿折叠，使两个锐角顶点、重合.若，则_________.3.如图，，，.若，则的长为___________.4.如图，，平分，，，若，则_________.走进生活5.三条公路围成了一个三角形区域，今要在这个三角形区域内建一个果品批发市场，到这三条公路的距离相等，试找出批发市场的位置.拓展与延伸6.如图，在中，，，平分，，求的周长与面积.全章综合测评题一、选择题1.如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）A.B.C.D.2.到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（）的交点.A.三个内角平分线B.三边垂直平分线C.三条中线D.三条高3.已知中，.若，则点到的距离等于（）A.B.C.D.4.如图，和都是边长为的等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的长为（）.A.B.C.D.5.如图，中，，，，点是边上的动点，则的长不可能是（）A.B.C.D.6.如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，交于，连接，，，则的周长和分别为（）A.，B.，C.，D.，7.如图，在中，，，垂足为，、分别是、上的点，且.如果，那么（）A.B.C.D.8.如图，中，，，平分交于点，，垂足为，且，则的周长为（）A.B.C.D.二、填空题9.“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的逆命题是：___________________________________.10.如图，在中，，，的垂直平分线交于，交于.若，则____________.11.如图，在上，且，，则__________.12.如图所示的图形由一系列直角三角形组成，则第个三角形的面积为______________.13.如图，是的中线，，，把沿直线折叠，点落在处，连接，那么的长为________________.三、作图题14.近年来，国家实施“村村通”工程和农村医疗卫生改革，某县计划在张村、李村之间建一座定点医疗站，张、李两村坐落在两相交公路内（如图所示）.医疗站必须满足下列条件：①使其到两公路距离相等；②到张、李两村的距离也相等.请你通过作图确定点的位置.四、解答题15.已知：如图，，是上一点，于点，的延长线交的延长线于点.求证：是等腰三角形.16.某市在“旧城改造”中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上，种植草皮美化环境.已知这种草皮每平方米要元，求买这种草皮至少需多少元.17.如图，以等腰的斜边为边作等边，连接，以为边作等边，、在的同侧.若，求的长.18.如图，已知是中边上一点，，，求证：.19.如图，中，，于点，于点，，与交于点，连接.（1）求证：；（2）若，求的长.瞭望角阿基米德当牛顿说“如果我看得比别人远，是因为我站在巨人的肩上”的时候，他心目中的巨人必定有阿基米德（，约公元前一约前年）—古代最杰出的数学家、物理学家和工程师.阿基米德一生大部分的时间是在希腊的叙拉古度过的，他受教于欧几里得.他是国王海厄洛二世的亲戚，曾为国王设计许多打仗用的机械来抵杭罗马人的侵略.阿基米德是第一位讲科学的工程师.在研究中，他使用欧几里得的方法，先假设，再以严谨的逻辑推论得到结果，他不断地寻求一般性的原则而用于特殊的工程上.他因为鉴定王冠的含金量而发现浮力原理，因此阿基米德成为物理学之父.阿基米德把杠杆原理应用于战争来保卫叙拉古的事迹是家喻户晓的.而他也以同一原理导出部分球体的体积、回转体的体积.此外，他还讨论阿基米德螺线（例如苍蝇由等速旋转的唱盘中心向外走去所留下的轨迹）、圆、球体、圆柱的相关原理，其成就在古时无人能望其项背.阿基米德将欧几里得提出的趋近观念作了有效的运用.他提出，当边数足够大时，圆内接多边形和相似圆外切多边形的周长便一个由下、一个由上地趋近于圆周长.他先用六边形，以后逐次把边数加倍，到了九十六边形，求得的估计值介于和之间.另外，他算出球的表面积是其内接最大圆面积的四倍.而令他最得意的是推导出圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，这个定理就刻在他的墓碑上，使他名垂千古.创新寄语想象力比知识更为重要.—爱因斯坦第一章三角形的证明答案等腰三角形第一课时同步练习2.，，，，，.3..4.解：全等.，，，，可证.在和中，.5..证明：和是等边三角形，，，，，，.正误辨析6.第②环节错误，使用了“边边角”这一错误结论.正确解法：，.，.又，，.在和中，，.拓展与延伸7.（1）证明：连接、.在和中，，.是的中点，.（2），，平分.第二课时同步练习1..2.，.观察与思考4.写出已知，求证，画图，利用全等证明.拓展与延伸.6.提示：（1）证明.（2）利用全等的结论、对顶角等知识，得.第三课时同步练习1..2..3.（1）证明：，.，，，.（2）证明：，，.正误辨析4.第②环节错误，使用了“边边角”这一错误结论.证明：过点作于.，.在和中，，.观察与思考5.（1）证明：，.，，.又，，.（2），，.证明略.拓展与延伸6.提示：过点作，交于，利用证明.第四课时同步练习1..2..3.4.观察与思考5.（1）是等边三角形，证明略.（2）提示：可证，.拓展与延伸6.提示：先证，再证.直角三角