福建省三明市永安名校2022-2023学年高二下学期返校考试数学试题（含答案）

永安名校2022-2023学年高二下学期返校考试数学完卷时间120分钟；满分150分；一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分.1.已知点是点在坐标平面内的射影，则点的坐标为（）A.B.C.D.2.直线的倾斜角的大小为（）A.B.C.D.3.经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（）A.B.C.D.4.设.若，则（）A.B.C.eD.5.圆与圆的位置关系为（）A.内切B.相交C.外切D.外离6.在棱长均为1的平行六面体中，，则（）A.B.C.3D.67.等差数列的公差，数列的前项和为，则的最大值为（）A.72B.66C.132D.1988.椭圆的左､右焦点分别为上存在两点满足，，则的离心率为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知空间向量，且，则（）A.B.C.D.10.已知双曲线，则不因的值改变而改变的是（）A.焦距B.顶点坐标C.顶点坐标离心率D.渐近线方程11.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，..，设第层有个球，从上往下层球的总数为，则（）A.B.C.D.12.如图，直三棱柱中，分别为，的中点，点是棱上一动点，则（）A.B.存在点平面C.平面D.存在点三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.写出直线的一个方向向量__________.14.双曲线的右焦点到的渐近线的距离为，则渐近线方程为__________.15.已知椭圆的右顶点为，直线与椭圆交于两点，若，则椭圆的离心率为__________.16.如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第个图案中所有着色的正方形的面积之和为，则数列的通项公式__________.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.18.如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，其中，且.（1）求四棱锥的侧面积；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.19.如图，在平面直角坐标系中，点，（1）求直线的方程；（2）记的外接圆为圆，若直线被圆截得的弦长为4，求点的坐标.20.如图，在正四棱锥中，为底面中心，为中点，.（1）求证：平面；（2）求：（i）点到平面的距离；（ii）求直线与平面所成角的正弦值.21.已知数列的前项和.（1）证明是等比数列，并求的通项公式；（2）在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和.22.已知抛物线焦点的横坐标等于椭圆的离心率.（1）求抛物线的方程；（2）过作直线交抛物线于两点，判断原点与以线段为直径的圆的位置关系，并说明理由.答案1-8BBDCCBBA9.AC10.CD11.BC12.AD13.【答案】14.【答案】15.【答案】16.【答案】17.【答案】（1）；（2）.18.【答案】（1）（2）19.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）延长交轴于点，根据给定条件求出即可计算作答.（2）利用待定系数法求出圆的方程，再由给定弦长确定点位置，推理计算得解.【小问1详解】延长交轴于点，如图，因，则，又，则有，又，于是得，则直线的倾斜角为，直线的斜率，因此，，即所以直线的方程为.【小问2详解】依题意，设圆的方程为，由（1）得：，解得于是得圆的方程为，即，圆心，半径，因直线被圆所截的弦长为4，则直线过圆心，其方程为，由解得，即，所以点的坐标是.20.【答案】（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）.【解析】【分析】（1）连接，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得结论成立；（2）（i）利用空间向量法可求得直线到平面的距离；（ii）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【小问1详解】证明：连接，则为的中点，且，在正四棱锥中，平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则､设平面的法向量为，则，取，则，因为，则，又因为平面，所以，平面.【小问2详解】解：（ii），则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.21.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用及已知即可得到证明，从而求得通项公式；（2）先求出通项，再利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，当时，，所以，当时，，又，解得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，故【小问2详解】因为，所以，，，所以所以22.【答案】（1）；（2）原点在以线段为直径的圆上，详见解析.【解析】【分析】