第2章信号转换与z变换2

第2章信号转换与z变换信息学院·周玮zhouwei@二○一一年一月计算机控制系统本章内容:信号变换原理采样信号恢复与保持器信号转换的工程化技术

z变换/z反变换扩展z变换2.2信号变换原理2.2.1计算机控制系统信号转换分析图2.1计算机控制系统前后的信号转换关系

2.2.1计算机控制系统信号转换分析模拟信号：时间上连续，幅值上也是连续的信号，

即通常所说的连续信号。采样信号：时间上离散，幅值上连续的信号。数字信号：时间上离散，幅值上也离散且已经量化的信号，可用一序列数字表示。量化：采用一组数码（多用二进制数码）来逼近离散模拟信号的幅值，将模拟信号转换成数字信号。采样：利用采样开关，将模拟信号按一定时间间隔抽样成离散模拟信号的过程。*表示离散化。采样器采样信号量化数字信号模拟信号D/A转换——A/D变换——模拟信号、采样信号、数字信号之间的转换关系计算机控制系统信息转换图

计算机运算和处理的是数字信号，实际系统中被控对象的数学描述大多是模拟信号。计算机与被控对象组成的闭环反馈系统中信号类型是不统一的，为了设计与分析计算机控制系统，必须对模拟信号进行采样和量化，把数字信号复现成模拟信号，即对两种信息进行变换。模拟信号到数字信号的信息变换。2.2.2采样过程及采样函数的数学表示数字控制器保持器被控对象输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入x(t)T计算机控制系统方框图f(t)t0(b)连续信号f(t)f*(t)(a)采样开关T(c)开关函数KT05T3TT7T1P(t)f

*(t)kT05T3TT7T1(d)采样信号调制器f(t)f

*(t)P(t)(e)采样过程f

*(t)=p(t)f

(t)

因<<

T，所以分析时可近似认为=0，以单位脉冲函数δ(t)代替p(t)。

理论表达形式：δ(t)＝{0∞

t=0t≠0工程表达形式：δ(t)＝{01

t=0t≠0理想单位脉冲δT(t)定义：理想单位脉冲序列δT(t)：数学表达式：δT(t)t0T2T考虑物理上可实现，又可近似为：可见，具有采样信号的特性。

连续函数f(t)，经一个以T为周期的脉冲采样器调制后可以得到采样函数。由模拟信号到数字信号的信息变换，信息变换的可靠性。2.2.3采样函数的频谱分析及采样定理数字控制器保持器被控对象输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入x(t)T计算机控制系统方框图在时间内，有采样函数的一般表达式为是周期函数，可以展成傅氏级数（Fourier）:其中采样角频率：傅氏系数：于是得到：于是有：从而得到：于是采样函数的拉氏变换式为：定义拉氏变换式：采样函数f*(t)的拉氏变换式为：则采样函数的傅氏变换式为：根据拉氏变换复位移定理得到：令n=-k，得到在令周期函数，周期为

采样函数频谱与连续函数频谱之间的关系，即采样函数的傅氏变换式：为原连续函数f(t)的频谱，为采样函数的频谱。

被控对象一般具有低通滤波特性，因而f(t)的带宽是有限的，a为非周期频谱图。由于采样过程会产生高频频谱，b为周期频谱图。K=0时叫主频谱，主频谱就是原连续函数的频谱，只是幅值为原来的1/T。（1）

这时，采样信号的频谱是由多个孤立频谱组成的离散频谱。如果将经过一个频带宽带大于小于的理想滤波器,滤波器输出就是原连续函数f(t)的频谱。（2）

这时，采样函数

的频谱已变成连续频谱。重叠后的频谱中没有哪部分与原连续函数频谱相似,采样信号不能通过低通滤波方法不失真的恢复原连续信号。香农采样定理：

“如果一个连续信号不包含高于频率的频率分量（连续信号中所含频率分量的最高频率为），那么就完全可以用周期的均匀采样值来描述。或者说，如果采样频率，那么就可以从采样信号中不失真地恢复原连续信号”。香农采样定理给出了采样周期的上限，即采样频率的下限。

注意：连续信号的频谱是无限带宽，此时无论怎样提高采样频率，频谱混叠或多或少都将发生。为了不失真的使采样函数恢复原连续函数：

理论上采样频率越高越好，频率越高复现连续信号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低越好，采样频率越低对系统硬件要求越低，所以在工程实际中往往采用折中的方案。工程上，采样周期怎样确定呢？2.2.4采样周期T的讨论

如声音的最高频率为4000Hz，当采样频率为8000Hz时就能够在计算机中完全复现声音信号。

工程上一般不知道系统的最高角频率，所以常用系统的预期开环频率特性的截止频率ωc或系统预期闭环频率特性的谐振频率ω0来确定采样频率。

ωs≈10ωc采样周期选取的一般原则：（1）系统受扰动情况若扰动和噪声都较小，采样周期T应选大些；对于扰动频繁和噪声大的系统，采样周期T应选小些。（2）被控系统动态特性滞后时间大的系统，采样周期T应选大些；滞后时间小的系统，采样周期T应选小些。（3）控制品质指标要求若超调量为主要指标，采样周期T应选大些；若希望过渡过程时间短些，采样周期T应选小些。被控参数采样周期T(S)主汽压力、汽包压力、炉膛负压、凝汽器真空、汽包水位、汽机转速1流量、主汽温度、一般压力真空和电气参量3～5一般液位6～8一般温度10～20成分：Ox,NOx,Sox,COx10－30慢过程采样周期T的选择

根据系统上升时间而定采样周期，即保证上升时间内进行2到4次采样。设Tr为上升时间，Nr为上升时间采校次数，则经验公式为：快过程采样周期T的选择：由数字信号到模拟信号的信息变换。2.3采样信号恢复与保持器数字控制器保持器被控对象输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入x(t)T计算机控制系统方框图数字信号的恢复是指将采样信号恢复为模拟信号的过程，物理上能够实现这一过程的装置称为保持器。保持器脉冲序列连续信号

理想的低通滤波器在物理上是不可实现的，在实际中只能用非理想的低通滤波器来代替理想的低通滤波器。理想低通滤波器的截止频率，并且满足：

当采样频率大于时，在被控对象前加一个理想低通滤波器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频频谱分量。

如果有一脉冲序列，从脉冲序列的全部信息中恢复原来的连续信号u(t)的过程是由保持器完成的。

u(t)值的复现是通过多项式外推实现的。即是由t=kT前各采样时刻的值推算出来。实现这样外推的一个方法，是利用u(t)的幂级数展开公式：式中，kT<t<(k+1)T

。各阶导数的近似值用各阶差商表示：

由此类推，计算n阶导数的近似值需已知n+1个采样时刻的瞬时值。若右边只取前n+1项，便得到n阶保持器的数学表达式。

由数字信号到模拟信号的信息变换，信息变换的可靠性。数字控制器保持器被控对象输出y(t)u(t)u*(t)e*(t)T-y*(t)x*(t)输入x(t)T计算机控制系统方框图

零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，即。它将前一采样时刻nT的采样值u(nT)保持到下一采样时刻(n+1)T，其输入信号与输出信号的关系如图所示。

2.3.1零阶保持器零阶保持器输入输出关系a-零阶保持器单元方框图b-零阶保持器输入c-零阶保持器输出零阶保持器的单位脉冲响应为了便于计算，把脉冲响应函数分解为右图(b),根据线性函数可加性，可表示为：式中，1(t)为单位阶跃函数：由拉氏变换可得零阶保持器的传递函数：或式中

令s=j，得零阶保持器的频率特性：零阶保持器的幅频特性如图所示。它的幅值随角频率ω的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性。但是，它不是一个理想的滤波器，除了主频谱之外，还允许附加高频谱通过一部分。因此，被恢复的信号与原信号是有差别的。

零阶保持器的幅频特性

零阶保持器的相频特性从下图可看出，输入比输出平均滞后了T/2时间。零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统的不稳定因素。

零阶保持器的相频特性零阶保持器的频率特性为：幅频特性为：相频特性为：取整函数开关特性零阶保持器的输入和输出信号

若将阶梯波输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号滞后T/2的曲线，反映了零阶保持器的相位滞后特性。零阶保持器和一阶或高阶保持器相比，它具有最小的相位滞后，而且反应快，对稳定性影响相对减少，再加上容易实现，所以在实际系统中，经常采用零阶保持器。具有低通滤波特性，但不是一个理想的滤波器零阶保持器附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因素，平均滞后T/2

时间。零阶保持器特性：2.3.2一阶保持器

取保持器外推式的前两项，组成一阶保持器：图2.12一阶保持器工作情况(a)结构图(b)单位脉冲响应(c)单位脉冲响应分解图2.13一阶保持器的脉冲响应一阶保持器的单位脉冲响应函数：于是得到一阶保持器的传递函数为：频率特性为：图2.14一阶保持器幅频与相频特性（虚线为零阶保持器频率特性）一阶保持器特性：一阶保持器的幅频特性比零阶保持器的要高。在低频时相移比零阶保持器要小，但在整个频率范围内相移比零阶保持器要大得多，对系统稳定不利。结论：实际上较少采用为什么要进行信息变换？

参考答案：计算机与被控对象组成的闭环反馈系统的两种信号类型不统一，必须通过信息转换使信号满足各环节的输入输出关系。模拟信号是怎样按照一定的时间间隔抽样成离散信号的呢？参考答案：

连续函数f(t)，经一个以T为周期的脉冲采样器调制后可以得到采样函数。几个问题：参考答案：为了不失真的使采样函数恢复原连续函数：采样函数怎样才能不失真地恢复原连续信号？工程上，采样周期怎样确定呢？参考答案：理论上采样频率越高越好，频率越高复现连续信号的精度越高。系统硬件要求采样频率越低越好，采样频率越低对系统硬件要求越低，所以在工程实际中往往采用折中的方案。几个问题：怎样将计算机的数字信号转换为连续信号？经零阶保持器恢复的信号u*(t)与原连续函数u(t)有多大差别？参考答案：幅频特性：除了允许主频谱通过之外，还允许附加的高频频谱通过一部分。相频特性：附加了滞后相位移，增加了系统不稳定因素。几个问题：参考答案：当时，在被控对象前加一个理想滤波器，可以再现主频谱分量而除掉附加的高频分量。这种滤波器叫做保持器。ThankYou!2.4信息转换的工程化技术2.4.1A/D转换的基本工程化技术1、A/D转换的性能指标（1）A/D精度指转换后所得数字量相当于实际模拟量值的准确度，即指对应一个给定的数字量的实际模拟量输入与理论模拟量输入接近的程度。

A/D转换器精度：数字部分由A/D转换器的位数决定；模拟部分由比较器、T型网络中的电阻以及基准电源的误差决定。例如，一个A/D转换器，理论上5V对应数字量800H，但实际上4.997~4.999V均产生数字量800H，那么绝对误差将为或者相对误差将为精度的高低是用误差来衡量的，误差大精度低，误差小精度高。

（2）分辨率指输出数字量对输入模拟量变化的分辨能力，利用它可以决定使输出数码增加（或减少）一位所需要的输入信号最小变化量。设A/D转换器的位数为n，则A/D转换器的分辨率为：有时也用最小有效位LSB代表的模拟量来表示，如12位A/D芯片的分辨率为：

如果输入电压最大值为5V，则12位A/D芯片能够分辨的输入电压最小变化量为：（3）转换时间从A/D转换的启动信号加入时起，到获得数字输出信号（与输入信号对应之值）为止所需的时间称为A/D转换时间。该时间的倒数称为转换速率。A/D的位数越大，则相应的转换速率就越慢。逐次逼近式A/D转换器转换时间为几微秒~几百微秒，双积分式A/D转换器的转换时间为几十毫秒~几百毫秒。

启动A/D转换有内、外两种启动方式。（4）量程量程指测量的模拟量的变化范围，一般有单极性（例如0~10V、0~20V）和双极性（例如-5V~+5V、-10V~+10V）两种。为了充分发挥A/D转换器件的分辨率，应尽量通过调理环节（放大器）使待转换信号的变化范围充满量程。

2、A/D转换的典型芯片ADC0809是一种采用逐次逼近式转换原理的8位8通道的A/D转换器芯片。主要特性参数如下：分辨率：8位，零位误差和满量程误差均小于0.5LSB；量程：0～5V；通道：8个模拟量输入通道，有通道地址锁存、输出数据三态锁存功能；转换时间：约为100；工作温度范围：-40～+85℃；功耗：15mW；电源：单一的+5V电源供电。

START为A/D转换启动信号（输入，高电平有效）；EOC为A/D转换结束信号（输出，转换期间该端一直为低电平，当A/D转换结束时，输出一个高电平）。OE为数据输出允许信号（输入，高电平有效），当A/D转换结束时，向该端输入一个高电平，才能打开输出三态门，输出数字量。

VREF(+)、VREF(－)为基准电压引脚，基准电压的取值范围为-10~+10VDC，可视实际情况选择。A/D转换器的输入电压Vin，位数n，参考电压VREF(+)、VREF(-)的关系为：

ADC0809为8位A/D转换器，故n=8。单极性输入时，若VREF(+)＝5V，VREF(-)＝0V，Vin＝1.5V，则D＝[(1.5-0)/(5-0)]×256＝76.8≈77＝4DH。双极性输入时，若VREF(+)＝+5V，VREF(-)＝-5V，Vin＝-1.5V，则D＝[(-1.5+5)/(5+5)]×256＝89.6≈90＝5AH。3、A/D转换芯片的选择满足用户的各种技术要求

A/D输出的方式（中断方式、查询方式等）

A/D芯片对启动信号的要求

A/D的转换精度和转换时间稳定性及抗干扰能力等。A/D转换器位数选择：

设A/D转换器的位数为n，模拟输入信号的最大值为A/D转换器的满刻度，则模拟输入信号的最小值应大于等于A/D转换器的最低有效位。即有

所以模拟输入信号的最大值模拟输入信号的最小值4、A/D转换的标度变换A物理量A0~Am传感器信号标准信号B0~Bm数字信号C0~Cm传感器变送器A/D进入计算机之前使用工程量进行编程显示与管理等计算机内部标度转换相同于上述过程的逆过程XYC假设映射为线性关系，于是由得到：由得到若，于是得到由上式得到式中C为计算机已知的数字量，计算出来的X就是被检测的工程量。

以PLCS7-200和0~5V标准输入信号为例。经A/D转换器转换后，得到的数值是6400~32000,C0=6400，Cm=32000，于是有若温度传感器检测的温度范围为-10~60℃，用上述的方程可表达为当计算机的A/D转换数据，即采样数据为C=16000时，得到X=16.25，意味着此时温度值为16.25℃。

2.4.2D/A转换的基本工程化技术1、D/A转换的性能指标（1）D/A精度

D/A的精度指实际输出模拟量值与理论值之间接近的程度，与D/A转换器的字长、基准电压有关，主要由线性误差、增益误差及偏移误差的大小决定。图2.16D/A转换器的误差

例如：一个D/A转换器，某二进制数码的理论输出为2.5V，实际输出值为2.45V，则该D/A转换器的精度为2%。

若已知D/A转换器的精度为±0.1%，则理论输出为2.5V时，其实际输出值可在2.5025～2.4975V之间变化。（2）分辨率分辨率指输入数字量发生单位数码变化时输出模拟量的变化量。分辨率也常用数字量的位数来表示，如对于分辨率为12位的D/A转换器，表示它可以对满量程的1/212=1/4096的增量做出反应。（3）转换时间从接收一组数字量时起－到完成转换－输出模拟量为止所需的时间称为D/A转换时间。一般为微秒级，有时可以短到几十纳秒。D/A转换器一般具有零阶保持功能（数字锁存）。（4）输出电平与代码形式对于D/A来说，不同型号的D/A转换器的输出电平相差较大，一般为5V~10V，高压输出型的输出电平可达24V~30V。还有一些电流输出型，低的有20mA，高的可达3A（一般D/A带负载能力不够，需接入功率放大器）。D/A转换器单极性输出时，有二进制码、BCD码；当双极性输出时，有原码、补码、偏移二进制码等。2、D/A转换的主要芯片8位D/A转换器芯片DAC0832，有R-2RT型电阻网络.主要特性参数如下：输入数字量分辨率：8位；电流建立时间：1；精度：1LBS；基准电压：-10V~+10V；电源电压：+5V~+15V；输入电平：符合TTL电平标准；功耗：20mW。3、D/A转换的输出信号形式运算放大器A1在电路中起反相比例求和作用，可以实现D/A的单极性输出。此时，VOUT1、VREF、D7~D0(D)的关系为：上式说明，对于DAC0832（n=8），若取VREF=5V，当D7~D0=00H（0）时，VOUT1=0V。当D7~D0=FFH（255）时，VOUT1=-5V；当D7~D0=7FH（127）时，VOUT1=-2.5V。

上式说明，对于DAC0832（n=8），若取VREF=5V，当D7~D0=00H（0）时，VOUT2=-2.5V；当D7~D0=FFH（255）时，VOUT2=2.5V；当D7~D0=7FH（127）时，VOUT2=0V。

4、D/A转换芯片的选择性能满足要求结构和应用上接口方便外围电路简单

D/A的转换分辨率

D/A的转换精度和转换时间稳定性及抗干扰能力等对于D/A转换器的字长的选择，可以由计算机控制系统中D/A转换器后面的执行机构的动态范围来选定。设执行机构的最大输入电压为umax，执行机构的死区电压为uR，D/A转换器的字长为n，则计算机控制系统的最小输出单位应小于执行机构的死区电压，即执行机构的最大输入电压执行机构的死区电压所以5、D/A转换的标度变换数字信号C0~Cm标准信号物理量A0~AmX执行机构计算机控制系统前向通道（信号出计算机）使用工程量进行编程显示与管理等计算机内部标度转换相同于上述过程的逆过程D/A转换C假设各环节的变换皆为线性变换关系，因此上述过程恰是A/D变换过程中信号变换的逆过程，因此A/D变换过程的标度变换公式仍然适用，即上式中，X为计算机内部计算得到的物理量，即执行机构输出的物理量，范围为A0~Am；C为与X对应的数字量，即D/A变换前的数字量，范围为C0~Cm。ThankYou!的拉普拉斯变换式为的采样信号为

其拉普拉斯变换式为

引入一个新的复变量2.5

z变换2.5.1z变换的定义时域s域z域时间序列(信号幅值信息)序列时刻(时间信息)：单位延迟因子z变换定义：一个连续的函数可进行拉氏变换，采样后的函数同样可以进行拉氏变换.注：与不是一一对应关系，一个可有无穷多个与之对应。

任何采样时刻为零值的函数与相加，得曲线，将不改变的采样值，因而它们的z变换相同。由此可见，采样函数与是一一对应关系，与是一一对应的，而与不是一一对应关系，一个可有无穷多个与之对应。将离散函数展开如下然后利用公式直接展开2.5.2z变换方法1、级数求和法（2.50）例2.1求单位阶跃函数1(t)的z变换解：单位阶跃函数1(t)在任何采样时刻的值均为1代入式（2.50）中，得：（2.51）将式（2.51）两边乘以，有：（2.52）上两式相减，得：所以将两边同乘以，得解:根据公式可得上两式相减，可以求得例2.2求衰减指数的z变换。通常无重极点的能够分解成如下的部分分式形式：式中，与都是复变量的多项式。利用已知的典型函数z变换，便可求出各个环节的z变换。设连续函数的拉氏变换为有理函数，具体形式如下：2、部分分式法例2.3求的z变换解：例2.4求的z变换。解：将分解成部分分式：所以上式中等号右边第一项不常见，查表2.2，得到求拉氏变换式的变换的含义是，将拉氏变换式所代表的连续函数进行采样，然后求它的变换。为此，首先应通过拉氏反变换求得连续函数，然后对它的采样序列做变换。

说明：3、留数计算法若已知连续时间函数的拉氏变换式及全部极点，则的z变换可由下面留数计算公式求得：

极点上的留数分两种情况求取：（1）单极点情况

（2）n阶重极点情况例2.6求的z变换。解：上式有两个单极点,于是例2.7求的z变换。解：上式有二重极点,于是2.5.3

z变换的基本定理线性函数满足齐次性和迭加性，若1、线性定理、为任意常数，则右位移函数表示，相对时间起点延迟了个采样周期。该定理还表明经过一个的纯滞后环节，相当于其时间特性向后移动步。2、滞后定理（右位移定理）如果，则3、超前定理（左位移定理）如果则左位移函数表示，相对时间起点超前个采样周期出现。该定理还表明经过一个的纯超前环节，相当于其时间特性向前移动步。

3、超前定理（左位移定理）如果则4、初值定理如果的z变换为，而存在，则5、终值定理如果的z变换为，而在z平面以原点为圆心的单位圆上或圆外没有极点，则在离散控制系统中，与连续控制系统积分相类似的概念叫叠分，用来表示如果则6、求和定理（叠值定理）如果的z变换为，a是常数，则7、复域位移定理8、复域微分定理如果的z变换为，则如果的z变换为，则9、复域积分定理10、卷积定理两个时间序列（或采样信号）f(k)和g(k)，相应的z变换为F(z)和G(z)，当时，，的卷积记为，其定义为或则2.6

z反变换从z变换求出的采样函数，称为z反变换，表示为定义：2.6.1长除法用表达式的分子除以分母，得到升幂排列的级数展开式，即：例2.12求的z反变换。解：首先按的升幂排列的分子和分母，即应用长除法于是得到相应的脉冲采样函数为2.6.2

部分分式法将写成如下有理式标准形式：对的分母进行因式分解，即(2.77)各个分式所对应的时间序列为通常熟悉的指数序列：1、所有极点是互不相同的单极点例2.13求的z反变换解：将除以z，并展开成部分分式，得上式两边乘以z，得于是得到2、F(z)含重极点设含有二重极点，其余极点互不相同。首先将展开成部分分式第一项的z反变换为例2.15求的z反变换解：对的分母进行因式分解，得首先将展开：

其中上式中的系数

于是得到2.6.3

留数法在留数法中，,采样函数等于各个极点上留数之和。（1）单极点情况：（2）n阶重极点情况：例2.16求的z反变换。解：中有两个单极点，，时，时，于是有：例2.17求的z反变换。解：中有一个单极点和两个重极点：时，时，于是有：当k=0时，式（2.84）中的被积函数为，它比k>0时的被积函数多一个z=0的极点。分析F(z)的z有理分式的分子中无z公因子的情况：只适合k>0的情况（2）k=0时刻序列值f(0)，应由初值定理确定或令k=0再用式（2.84）来计算。（1）(2.84)原因：当时，，含有3个简单极点：，，。但是，当时，只有2个极点，。因此必须分别求以及